元谋县第一中学2022-2023学年高二下学期数学期末模拟（六）试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A. B. C. D.
5.若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
6.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
7. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
B．若，若函数为偶函数，则
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（ ），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
D．已知，，若，则
10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
11. 已知函数在处取得极小值，与此极小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为
12. 正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角为 B. 点到平面的距离为
C. 四面体的外接球体积为 D. 四面体内切球表面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，，若，则___________.
14,某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的分位数为______.
15.在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.
16.已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为___________.
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
17．某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机插驭了100位学生进行调查，结果如下：回答 “满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的， 在回答“不满意”的人中，女生人数占.
（1）请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断: 学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关？
满意 不满憨 合计
男生
女生
合计
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：， 其中
①为了解增加体育锻炼时长盾体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低子60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著，已知这100名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著．
附：若，则，
.
18.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
19.（2023届黑龙江牡丹江期末）（12分）已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，若，且，，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，数列的前n项和为，求，.
(1)，
(2)，
20．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出
的长：若不存在，说明理由．
21.（12分）已知椭圆的右焦点为F，点M，N在椭圆C上，且M，N，F三点共线.
(1)若直线MN的倾斜角为，求的值；
(2)已知点，其中，若直线MN不与坐标轴垂直，且点B到直线AM，AN的距离相等，求的值.
22.,已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
元谋县第一中学2022-2023学年高二下学期数学期末模拟（六）试卷答案解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
解析：因为，，
所以. 故选：A
2.若，则( )
A. B. C. D.i
解析：由，得，所以，故选D.
3.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为( )
A. B. C. D.
解析：甲、乙两名同学各从4门校本劳动选修课程中任选2门的选法共有种，其中甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法共有种，所以甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率 .故选B.
4.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A. B. C. D.
解析：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，
球的大圆是该等边三角形的内切圆，所以，，
，所以球与圆锥的表面积之比为.
故选：C.
5.若为偶函数，则　　
A． B．0 C． D．1
解析：由，得或，
由是偶函数，
，
得，
即，
，得，
得．
故选：．
6.已知为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
解析：因为为锐角，所以.
由可得，
则，又，
故，故选A.
7. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
解析：设圆圆心为M，则圆M：，则，半径为.如图，最长弦为过的直径，长度为10.最短弦为过且与最长弦垂直的弦，设E，则由垂径定理可得，.
又，则.
又，则四边形的面积为：.
故选D
8．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
解析：因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
B．若，若函数为偶函数，则
C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验（ ），可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05
D．已知，，若，则
答案：BCD
解析：对于A，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，
反之两个变量的线性相关性越弱，A错误；
对于B，函数为偶函数，则，
即，
又，故区间与关于对称，
所以，B正确；
对于C，因为，故可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05，C正确；
对于D，由，，，
可得,故,
则，则，D正确，
故选：BCD
10．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
答案：BC
解析：若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
11. 已知函数在处取得极小值，与此极小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上的值域为
答案：ACD
解析：第一步：根据余弦函数的图象与性质求出，，的值，判断A选项
A选项：由题知，，
设的最小正周期为，
则，∴，∴.（三角函数图象的相邻对称中心与对称轴之间的距离为，其中为该三角函数的最小正周期）
∵，
∴，则，
得，（整体思想）
又，∴，
∴，故A正确；
第二步：利用三角函数图象的平移变换法则判断B选项
B选项：的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，
故B错误；
第三步：利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断C，D选项
C选项：由得，则区间上单调递减，
故C正确；
D选项：∵，∴，∴，
∴，
∴在区间上的值域为，故D正确.
故选:ACD.
12. 正多面体因为均匀对称的完美性质，经常被用作装饰材料.正多面体又叫柏拉图多面体，因古希腊哲学家柏拉图及其追随者的研究而得名.最简单的正多面体是正四面体.已知正四面体的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成角为 B. 点到平面的距离为
C. 四面体的外接球体积为 D. 四面体内切球表面积为
解析：
由题意，四面体为正四面体，
取底面的中心为，连接并延长，交于，
则为的中点，且，
连接，则平面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，故A错；
由四面体的所有棱长为，得，又，
，故B正确；
设四面体的外接球的球心为，半径为，
连接，则，解得，
则四面体的外接球的体积为，故C正确；
根据对称性，正四面体的外接球和内切球球心均是，
设正四面体内切球半径为，则，
又，，
所以,
则四面体的内切球表面积为.故D正确.
故选：BCD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，，，若，则___________.
解析：由得，解得，所以，所以，所以
14,某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的分位数为______.
答案：122
解析：根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，成绩在110分以下的学生所占比例为，因此分位数一定位于内，由，故可估计该校学生成绩的分位数为122.
15.在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.
解析：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.
故答案为：135.
16.已知过抛物线的焦点F且互相垂直的直线分别交抛物线于点A，B和点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，则的最小值为___________.
解析：由题意知直线的斜率均存在且不为零，，因此可设直线的方程为，则直线的方程为.由，消去x，得.设，则，所以，将其代入直线的方程，得，故点，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为32.
四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）
17．某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机插驭了100位学生进行调查，结果如下：回答 “满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的， 在回答“不满意”的人中，女生人数占.
（1）请根据以上信息填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断: 学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关？
满意 不满憨 合计
男生
女生
合计
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：， 其中
①为了解增加体育锻炼时长盾体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低子60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著，已知这100名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著．
附：若，则，
.
解：（1）由题意：回答“满意”的人数有50人，且男生人数是女生人数的，故回答“满意”
的男生有人，回答“满意”的女生有人，回答“不满意”的人
中，女生人数，故补充列联表如图：
满意 不满意 合计
男生 15 40 55
女生 35 10 45
合计 40 50 100
则
故认为学生对于体育时长的满意度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001
（2）因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，
故该校参加锻炼时长后达标效果显著.
18.已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
解析：(1)，，
，
，，
由正弦定理可得.
(2)由(1)知，则，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，
由知，A为锐角，
所以A的最大值为，的最大值为.
19.（2023届黑龙江牡丹江期末）（12分）已知等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，若，且，，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，数列的前n项和为，求，.
(1)，
(2)，
解析：(1)，，成等差数列，①，
又，，成等差数列，，得②，
由①②得，，，；
(2)，
，
又，
.
20．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中 点，，.
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出
的长：若不存在，说明理由．
20．解：（1）连接
在中，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，，平面，
所以，，
又，所以，
以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为
所以
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，
设
则
由（2）知，平面的一个法向量为，
则
即，所以
故存在满足题意的点，此时.
21.（12分）已知椭圆的右焦点为F，点M，N在椭圆C上，且M，N，F三点共线.
(1)若直线MN的倾斜角为，求的值；
(2)已知点，其中，若直线MN不与坐标轴垂直，且点B到直线AM，AN的距离相等，求的值.
21.答案：（1）
（2）4
解析：（1）依题意得，直线.
联立消去y得.
设，则，
则.
（2）设直线.
由题意知，，且.
设直线AM，AN的斜率分别为，则.
由点到直线AM，AN的距离相等，得.
因为在直线上，
所以，
则.
联立消去x，得，
则，
则，
即，故或（舍去）.
故的值为4.
22.,已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
解析：（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以（a），
即（a），
所以得证，