2023年江苏省九年级数学中考模拟题分项选编：勾股定理
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·统考三模）如图，在中，，，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点．则的长为（ ）

A． B．8 C． D．10
2．（2023·江苏无锡·统考三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：① 的长为；②的周长为；③；④的长为，其中所有正确的结论有（ ）

A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
3．（2023·江苏盐城·统考二模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．3
4．（2023·江苏南通·统考二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 ”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺 设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
6．（2023·江苏苏州·模拟预测）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2
C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）2
二、填空题
7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，则的面积是________．

8．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则两点的距离是______．（结果请保留根号）．

9．（2023·江苏常州·统考二模）如图，OP平分，点A是上一点，点B是上一点，.若，，则点B到的距离是 ______ ．

10．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在四边形中，平分，，则的长为_______．
11．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，两个等边三角形的中心重合，并且三组边分别平行．若每组边之间的距离是4，则两个等边三角形边长的差是______．
12．（2023·江苏苏州·模拟预测）如果一个直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为，那么斜边的长为______．
13．（2023·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，的直角顶点在边的中点处，其中，，绕点自由旋转，且，分别交，于点，，当，时，的长为______．
14．（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
15．（2023·江苏徐州·统考二模）如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA的长度为________________．
16．（2023·江苏苏州·统考一模）如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4.按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所面的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是_______________．
17．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
18．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在中，，点D在边上（不与点A，点C重合），连接，．

(1)当时，求的度数；
(2)若，求的长．
19．（2023·江苏南通·统考二模）【阅读材料】
老师的问题： 已知：线段． 求作：线段上的点P，使． 小明的作法： （1）分别以点A和B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于M，N两点； （2）作直线，交于点O； （3）以点O为圆心，长为半径画弧，交直线于点C；连接，再以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点P． 点P就是所求作的点．
【解答问题】
请你判断小明的作法是否正确，并说明理由．
20．（2023·江苏盐城·统考一模）如图，在中，，点D在边上（不与点A，点C重合），连接，．
(1)设时，求的度数；
(2)若，，求的长．
21．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，已知：∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
(1)求证：OB＝OC；
(2)若AC＝4，DO＝1，求BC的长度．
22．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B＝90°，AD＝2cm，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C匀速运动，设线段DP扫过四边形ABCD所形成的阴影面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0≤t≤9），请解答以下问题：
（1）边DC的长为 　 　cm；
（2）当点P在BC上运动时，求出阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据作图痕迹得知为的平分线，然后根据等腰三角形的性质得到，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：根据作图痕迹得知为的平分线，又，，
∴，，
∴在中，由勾股定理得，
故选：A．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质，得到为的平分线是解答的关键．
2．A
【分析】过点作，分别交于点正方形的性质可知，利用相似三角形的判定与性质可得即可解答．
【详解】解：过点作，分别交于点，
∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠的性质可得：，且，
∴四边形为正方形，
∴，
故①正确；
∵，
∴和为等腰直角三角形，且，
设，则，
∴，，
由折叠的性质可知：，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴解得：，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故④错误；
∵和为等腰直角三角形，且，，
∴，，
∴的周长为，
∴，
故②不正确，③正确；
综上可得：①③正确；
故选；

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．C
【分析】根据勾股定理可得，利用整体代入的思想求出（a b）2的值即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，且ab＝6，
∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理并能准确对代数式进行变形、求值．
4．A
【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可；
【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得到：；
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题．
5．A
【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，
连接，
则最短路径，
故选A
【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．
6．C
【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x 1）尺，根据勾股定理可得方程（x 1）2＋52＝x2．
【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：
（x 1）2＋52＝x2，
即x2﹣52＝（x﹣1）2
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
7．25
【分析】如图，过点作于，交于，过点作于，先证明是等腰直角三角形，再证明，表示出和的长，根据三角形的面积公式可解答．
【详解】解：如图，过点作于，交于，过点作于，

，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
设则，
，
在中
∴
∴
的面积
的面积．
故答案为：25．
【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
8．
【分析】根据题意可得，然后运用勾股定理列方程进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，运用勾股定理解方程求解是本题的关键．
9．
【分析】过点B作，，利用勾股定理得出，再由三角形等面积法得出，再由角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过点B作，，

∵，，，
∴，
∴即，
∴，
∵OP平分，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形及角平分线的性质，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．
10．
【分析】把沿翻折得，由翻折的性质可，，过点C作于点F，则，，利用勾股定理求出的长即可利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵平分，
∴把沿翻折得，如图所示，
∴，
∴，
过点C作于点F，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
11．
【分析】做辅助线如详解所示，由题意可得，由每组边之间的距离是4可求出和的长，即可求解．
【详解】解：做辅助线如图所示，则，
等边三角形的中心重合，并且三组边分别平行，
，
，
，
，
两个等边三角形边长的差是，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用等边三角形的性质和含角的直角三角形求线段的长度，解题的关键是做辅助线构造含角的直角三角形，理解两个等边三角形边长的差即是与的和．
12．
【分析】根据较长的直角边长为，直角三角形的一个内角等于，可设所对的边长为x，然后根据勾股定理可得斜边的长
【详解】∵直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为，
∴较长的直角边对应的角度是，
∴设所对的边长为x，则斜边长为：，
根据勾股定理得：，
解得：，
∴斜边长为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键
13．
【分析】连接AO，证明，得，在利用勾股定理求出的长即可．
【详解】如图，连接AO，
∵由题意可知是等腰直角三角形，，是边的中点
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
14．7
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得即可．
15．（）n
【分析】根据题意分别表示出OA1，OA2，OA３，OA4，OA5，OA6的长度，然后找到长度和A点下标之间的关系，即可表示出线段OA的长度．
【详解】解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，
∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2= ；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA2＝OA2＝2=；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4=．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4=，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8=．
∴OA的长度为（）n．
故答案为：（）n．
【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和规律问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理．
16．4
【分析】利用基本作图得到∠FCB＝∠B，则FC＝FB，再利用勾股定理计算出CF＝5，则AB＝8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【详解】解：由作法得∠FCB＝∠B，
∴FC＝FB，
在Rt△ACF中，
∵∠A＝90°，AC＝4，AF＝3，
∴CF＝＝5，
∴BF＝5，
∴AB＝AF＋BF＝8，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质作图，逐步操作即可．
17．4
【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值；
【详解】解：，点为的中点，
，
是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；
，
，，
，
，
；
的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1），由等腰三角形的性质得出，，最后根据列出方程，求出x的值即可；
（2）过点B作于点M设，则，由勾股定理列方程即可．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即；
（2）解：过点B作于点M，

∵，，
∴
设，则，
∵，
∴，
∵在与中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
19．正确，理由见解析
【分析】由作法可知垂直平分，设，求出，即可证明．
【详解】正确，理由如下：
由作法可知：，
设，
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，作线段的垂直平分线和做一条线段等于已知线段，以及勾股定理熟练掌握尺规作图，注意数形结合的思想是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1），由等腰三角形的性质得出，，最后利用列方程即可则可；
（2）过点B作于点M设，则，由勾股定理列方程即可．
【详解】（1）设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，
即；
（2）过点B作于点M，
∵，，
∴
设，则，
∵，
∴
∵在与中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
21．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据HL定理先证明Rt△ABC≌Rt△DCB，再证明∠ACB＝∠DBC，再利用等腰三角形两腰相等证明OB=OC
（2）通过勾股定理先算出AB长度，再求BC长度．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AC＝BD＝4，
∵OB＝OC，
∴OA＝OD＝1，
∴OB＝OC＝3，
在Rt△OAB中，AB＝＝2，
在Rt△ABC中，BC＝＝2．
【点睛】本题考查HL定理和勾股定理的应用，掌握这两个定理是本题关键．
22．（1）5；（2）（3≤t≤9）；（3）存在，；（4）5或．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求解即可；
（2）当点P在BC上运动时，画出相应图形，利用梯形的面积公式计算即可；
（3）假设存在，先计算梯形ABCD的面积以及ABD的面积，由此可判断使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，则点P在线段BC上，再结合（2）的关系式计算即可；
（4）假设存在，分两种情况讨论，当点P在AB上时，当点P在BC上时，结合图形逐个计算即可．
【详解】解：（1）如图，过点D作DE⊥BC于点E，
由题意可得：四边形ABED为长方形，
∴AD＝BE＝2cm，AB＝DE＝3cm，∠DEC＝90°，
又∵BC＝6cm，
∴CE＝BC－BE＝4cm，
在中，cm，
故答案为：5；
（2）如图，当点P在BC上运动时，3≤t≤9，
∴
，
∴阴影面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的关系式为（3≤t≤9）；
（3）假设存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
由题意可得：
，
当t＝3时，点P与点B重合，
此时，
∴＜，
∴点P在线段BC上，
∵线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴，
即：，
解得：，
∴存在某一时刻t，使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分，此时；
（4）假设存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，
当点P在线段AB上时，则0≤t＜3，AP＝t，BP＝3－t，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴，，
由图可知，若DPC是直角三角形，则∠PDC＝90°，
∴，
∴，
解得：（符合题意），
当点P在线段BC上时，则3≤t≤9，BP＝t－3，CP＝9－t，
∴PE＝BE－BP＝2－(t－3)＝5－t，
∵∠DEC＝∠DEB＝90°，
∴，
由图可知，若DPC是直角三角形，则∠DPC＝90°，
此时点P与点E重合，
∴t＝AB+BE＝3+2＝5，
综上所述，存在某一时刻t，使DPC恰好是直角三角形，此时t的值为5或．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及梯形与三角形的面积公式，能够根据题意画出相应图形，对（3）进行分类讨论是解决本题的关键．