人教A版（2019）选修三7.3.1离散型随机变量的均值
（共18题）
一、选择题（共11题）
有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为 ，．由此可以估计
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
若随机变量 的分布列为则 的数学期望 是
A． B． C． D．
已知随机变量 满足 ，，则下列选项正确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
已知随机变量 满足 ，，．若 ，则
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
若随机变量 的分布列如表所示，且 ，则
A． B． C． D．
某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 粒，补种的种子数记为 ，则 的数学期望为
A． B． C． D．
现有 个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为 或 的人去参加篮球活动，掷出点数大于 的人去参加乒乓球活动．用 ， 分别表示这 个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数，记 ，则随机变量 的数学期望 为
A． B． C． D．
随机变量 的分布列如表，若 ，则
A． B． C． D．
如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 ，则 的均值 等于
A． B． C． D．
甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有 人．经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式．第一种：从 人中随机抽取 人．第二种：从排除组的 人中随机抽取 人．用 ， 分别表示两种抽样方式下 岁及以上的人数与 岁以下的人数之比．给出下列四个结论：
①在第一种抽样方式下，抽取的 人中一定有 人在确诊组；
②在第二种抽样方式下，抽取的 人都小于 岁的概率是 ；
③ ， 的取值范围都是 ；
④ ．
其中，正确结论的个数为
A． B． C． D．
设随机变量 ，随机变量 ，若 ，则
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
离散型随机变量 的分布列为：且 ，则 ； ．
袋中有 个红球 个黄球， 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ， ．
为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院 人和B医院 人中，按分层抽样的方法，选出 人加入“援鄂医疗队”，现拟再从此 人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院至少有一人的概率是 ．设两名联络人中B医院的人数为 ，则 的期望为 ．
受新冠肺炎疫情的影响， 年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某企业的线上招聘方式分为资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙两名大学生报名参加了该企业的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．若甲、乙通过笔试的概率分别为 和 ，甲、乙通过面试的概率分别为 和 ，则甲被正式录取的概率为 ；若甲、乙被正式录取的人数之和为变量 ，则 的数学期望 ．
三、解答题（共3题）
为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：
锻炼时间不超过 小时，免费；
锻炼时间为 小时以上且不超过 小时，收费 元；
锻炼时间为 小时以上且不超过 小时，收费 元；
锻炼时间超过 小时的时段，按每小时 元收费（不足 小时的部分按 小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过 小时，设甲、乙锻炼时间不超过 小时的概率分别是 和 ，锻炼时间为 小时以上且不超过 小时的概率分别是 和 ．
(1) 求甲、乙两人所付费用相同的概率；
(2) 设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ．
为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了 名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在 ，，，，，（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
(1) 由图中数据求 的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在 的概率；
(2) 为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的 名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在 和 的人中任选 人，求其中在 的人数 的分布列和数学期望；
(3) 假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
袋中装有黑球和白球共 个，从中任取 个球都是白球的概率为 ．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 球，甲先取，乙后取，然后甲再取 ，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用 表示终止时所需要的取球次数．
(1) 求袋中原有白球的个数；
(2) 求随机变量 的概率分布列及期望．
答案
一、选择题（共11题）
1. 【答案】B
【解析】因为 ，
所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
2. 【答案】C
3. 【答案】B
【解析】 ；．故 ，．
故选：B．
4. 【答案】A
【解析】因为 ，，
所以 ，
因为 ，，
所以 ．
5. 【答案】C
【解析】由题可得 ，解得 ．
又由 ，解得 ，
所以方差 ．
6. 【答案】B
【解析】．
7. 【答案】D
8. 【答案】B
9. 【答案】B
【解析】由题意知 ，，，，，
所以 ．
10. 【答案】B
11. 【答案】A
【解析】因为随机变量 ，
所以 ，
所以 ，
因为随机变量 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
二、填空题（共4题）
12. 【答案】 ；
【解析】因为 ，
所以由离散型随机变量 的分布列，得：
解得 ，．
13. 【答案】 ；
【解析】 ，所以 ，
，所以 ，则 ．
由于 ，，，
所以 ．
14. 【答案】 ；
【解析】按分层抽样的方法，这 人中，
A医院有 人，
B医院有 人，
故从这 人中选 人，B医院至少有 人的概率为：
，
由题意知 取 ，，，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
故 的数学期望 ．
15. 【答案】 ；
三、解答题（共3题）
16. 【答案】
(1) 根据题意，分别记 " 甲付费 元， 元， 元 " 为事件 ，，，它们彼此互斥，且 ，，所以 ,分别记 " 乙付费 元， 元， 元 " 为事件 ， 它们彼此互斥，且 , ,所以 ,由题知，，， 与 ，， 相互独立，记甲，乙两人所付费相同为事件 ，则 ，
所以
(2) 根据题意 的可能取值为： .
；
；
；
；
；
；
所以 的分布列为：所以 的数学期望： ,
答：甲，乙两人所付锻炼费相同的概率为 , 的数学期望 .
17. 【答案】
(1) 因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在 的学生有 人，
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在 的概率为 ．
(2) 由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在 和 的人分别有 人和 人．
所以 的所有可能取值为 ，，，，
，
，
，
，
所以 的分布列为所以 的期望 ．
(3) 样本中的 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在 ．
18. 【答案】
(1) 设白球个数为 ，则黑球个数为 个．
因为从 个球中任取两个球都是白球的概率为 ，所以 ，所以解得即袋中原有 个白球．
(2) 由题意， 的可能取值为 ，，，，．
；；；
；．
所以随机变量 的分布列为所以 ．