2023年浙教版八年级下册期末考试专题复习一
二次根式与二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．8，-2，3 B．8，-2，-3 C．-8，2，3 D．8，2，-3
3．如果，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若一个三角形两边的长分别是3和7，且第三边的长是方程的一个实数根，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．17
5．一元二次方程的根的情况是（ ）.
A．有两个实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
6．若关于x的一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则m的取值为( ) .
A．m=0 B．m>0 C．m<-1 D．m>-1
7．若，为实数，且，则代数式的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
8．若，则（ ）（其中表示不超过A的最大整数）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二、填空题
9．当时，化简：_____．
10．若关于x的一元二次方程的一个根是-2，则另一个根是_______
11．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步 ”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步 若设宽为x步，则根据题意可列方程为_________．
12．设，则的值为________．
13．已知 ，，则 _____．
14．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用，到年底，全市已有公租自行车辆，预计到年底，全市将有公租自行车辆，则两年的平均增长率为________．
三、解答题
15．（1）计算：；
（2）化简：．
16．用适当方法解下列方程
(1)；
(2)
17．小芳在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与求解的：
，，，即，
，．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：．
(2)若，化简，求的值．
18．关于x的方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若k为正整数，求此时方程的根．
19．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升．
(1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
(2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
20．阅读材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现；当a＞0，b＞0时，有＝a﹣2＋b≥0，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当x＞0时，x＋的最小值为 ；当x＜0时，x＋的最大值为 ．
(2)当x＞0时，求y＝的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为12和27，求四边形ABCD面积的最小值．


()
()
参考答案：
1．D
【分析】利用最简二次根式的条件进行选择即可．
【详解】解：A．被开方数是分数，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解与运用，判断最简二次根式可以从以下三个方面入手：（1）根号内不含分母；（2）分母中不含有根号；（3）被开方数不含有开方开得尽的因数或因式．
2．B
【分析】根据一元二次方程定义直接得到答案．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数为、一次项系数为和常数项为，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
3．A
【分析】直接利用，进而根据不等式的性质得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了无理数的估算，正确得出的取值范围是解题的关键．
4．C
【分析】先通过解方程求出三角形的第三条边，根据三角形三边关系进行取舍后再计算周长．
【详解】解方程x2－8x＋12＝0，
得x1＝2，x2＝6，
2＋3＜7，故2不是三角形的第三边，
3＋6＞7，故6是三角形的第三边．
所以三角形的周长为3＋7＋6＝16．
故选：C．
【点睛】此类题目要读懂题意，掌握一元二次方程的解法以及三角形的三边关系，解出方程的解后要注意代入实际问题中判断是否符合题意，进行取舍．
5．B
【详解】试题分析：由题意可知，a=1，b=-4，c=5代入△=b -4ac进行计算，即可判断方程根的情况．
考点：根的判别式.
点评：本题主要考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b -4ac．关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
6．C
【分析】方程无实数根，则△<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【详解】解：由题意得：△=4+4m<0，
∴m<-1．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
7．D
【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，故可求出y的值，即可求解．
【详解】解：依题意可得，解得x=3，
∴y=2，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质应用，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．
8．C
【分析】根据，得出，将进行变形为：
【详解】解：对于正整数，有
，
∴，
∴
，
因此，不超过A的最大整数为2021，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的关键．
9．1
【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：是解题的关键．
10．.
【详解】试题分析：设关于x的一元二次方程的另一个根为x1，
∵关于x的一元二次方程的一个根是-2，
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得.
考点：一元二次方程根与系数的关系.
11．x（60-x）＝864
【分析】由宽和长共六十步，可得出长为（60-x）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设宽为x步，则长为（60-x）步，根据题意得：
x（60-x）＝864．
故答案为：x（60-x）＝864．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．
12．
【分析】根据，利用完全平方公式可得，，根据，利用二次根式的性质计算即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，
∴＞0，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值及二次根式的性质及运算，熟练掌握完全平方公式及生产过剩的运算法则是解题关键．
13．/
【分析】先化简，后代入求值即可．
【详解】解：因为，，，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练化简是解题的关键．
14．
【详解】试题分析：一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设增长率为x，由题意可得25000（1+x）2=42250，经解和检验后得增长率是30%．
解：设增长率为x，由题意可得25000（1+x）2=42250
解得x=0.3或﹣2.3（不合题意，舍去）
即增长率是30%，
故答案为30%．
考点：一元二次方程的应用．
15．（1）；（2）
【分析】（1）按二次根式的乘除法法则，从左往右依次算起；
（2）将原式每项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式，
．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算、二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除的运算法则，会将二次根式化为最简二次根式．
16．(1)x1=, x2=
(2)x1=1，x2=-
【分析】（1）利用配方法法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
（1）
解：
x2-6x=11
x2-6x+9=20
（x-3）2=20
x-3=±2
∴x1=， x2=；
（2）
（x-1）（2x+5）=0
∴x1=1，x2=-．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
17．(1)19
(2)
【分析】（1）根据平方差公式可以求出所求式子的值；
（2）根据平方差公式可以化简，然后即将变形，即可得到的值，再整体代入化简后的式子计算即可；
【详解】（1）
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式解答．
18．(1)
(2)，
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）由（1）可得．从而得到该方程为，再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵有两个不相等的实数根，
∴，即．
解得．
（2）解：由（1）得，，
又∵k为正整数，
∴．
∴该方程为．
解得，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题的关键．
19．(1)该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为
(2)下调后每辆汽车的售价为21万元
【分析】（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
（2）设下调后每辆汽车的售价为m万元，则销售量为辆，然后可得方程为，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意可把2020年新能源汽车的销售总量看作单位“1”，则设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，则有：
，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为．
（2）解：设下调后每辆汽车的售价为m万元，由题意得：
解得：，
∵尽量让利于顾客，
∴；
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
20．(1)2；﹣2；
(2)y的最小值为17；
(3)四边形ABCD面积的最小值为75
【分析】（1）当x＞0时，根据公式a+b≥2直接计算即可，当x＜0时，先将x化为﹣（﹣x），再根据公式a+b≥2直接计算即可；
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2计算的形式，计算即可；
（3）设S△BOC＝x，根据同高三角形的性质得到S△AOD，再利用公式计算即可．
【详解】（1）解：当x＞0时，0，
∴x2，
当x＜0时，0，
∴﹣x＞0时，0，
∴﹣x2，
∴﹣（﹣x）≤﹣2，
即x2，
故答案为：2；﹣2；
（2）当x＞0时，
yx+55＝17，
∴y的最小值为17；
（3）设S△BOC＝x，
∵S△AOB＝12，S△COD＝27，
∴由同高三角形可得：
S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，
∴x：27＝12：S△AOD，
∴S△AOD，
∴四边形ABCD面积＝12+27+x39+x39+275，
∴四边形ABCD面积的最小值为75．
【点睛】本题考查二次根式、乘方公式的综合应用，分式的化简，同高三角形的性质，解题的关键是读懂材料的方法并灵活运用．