中考专题 二次函数培优训练
一．试题
1．将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（　　）2-1-c-n-j-y
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
3．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
4．已知点A（a，y1），B（a+5 ( http: / / )，y2），C（c，y3）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，下列选项正确的是（　　）
A．若c＜0，则a＜c＜0 B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜c D．若c＞0，则0＜c＜a+5
5．点P（m，n）在抛物线y＝x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是 　 　．【版权所有：21教育】
6．设函数，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　）
A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜1＜n，则a1＜a2
C．若m＜n＜1，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　）
A． B．±1 C．﹣1或 D．1或
8．已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（　　）
A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2
9．二次函数y＝ax +bx﹣3（a ( http: / / )＜0，a、b为常数）的图象经过A（﹣6，y1），B（﹣4，y2），C（2，y2），D（3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
10．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m的图象经过A（1，y1），B（5，y2）两个点，下列选项正确的是（　　）
A．若m＜1，则y1＞y2 B．若1＜m＜3，则y1＜y2
C．若1＜m＜5，则y1＞y2 D．若m＞5，则y1＜y2
11．二次函数y＝ax2+bx ( http: / / )+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝7的解为 　 　.
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
12．在平面直角坐标系中，若 ( http: / / )抛物线y＝x2+（2m﹣n）x﹣2m﹣2与y＝x2﹣（m+2n）x+n关于直线x＝1对称，则符合条件的m，n的值可以为（　　）
A．， B．m＝﹣1，n＝1
C．m＝1，n＝9 D．m＝2，n＝2
13．如图①所示，点A、B是⊙O上两定点，圆 ( http: / / )上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）
( http: / / / )
A． B． C．5 D．
14．已知二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣ ( http: / / )2x+3，将其图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y1随x增大而增大；当4＜x＜5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值范围是（　　）
A．1≤k≤3 B．2≤k≤3 C．3≤k≤4 D．4≤k≤5
15．二次函数y＝ax2+bx+ ( http: / / )c的图象经过点A（﹣3，0），B（4，0），则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 　 　．
16．某游乐园要建造一个直径为2 ( http: / / )0m的圆形喷水池，使喷水刚好落在水池边缘，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（AB，AC），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板AB所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 　 　，n的值为 　 　．
( http: / / / )
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+m经过点A（﹣2，﹣1）．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）在x轴上方作平行于x轴的直 ( http: / / )线l，与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左边），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形BCDE为正方形时，求B点的坐标．
( http: / / / )
18．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣4）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D（m，n）为抛物线上 ( http: / / )第二象限内的点，过点D作x轴的平行线交抛物线于另一点E，过y轴右侧抛物线上点C（a，﹣4）作CF⊥DE于点F，当CF+DF＝18时，求m的值．
( http: / / / )
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值；
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数y＝x2+bx+c图象上，其中m+n，当﹣2＜m＜1时，求n的取值范围．
20．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点（5，），（0，﹣1）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，若y1，y2始终小于0，求x1的取值范围．
21．已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．
（1）求b、c的值；
（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．
22．如图，某水库上游有一单孔抛物 ( http: / / )线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？
( http: / / / )
23．某街心公园设置灌溉喷枪为绿色观 ( http: / / )叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移，以地面为x轴，喷水口所在竖直方向为y轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为xm，距地面的高度为ym，y与x的部分对应数值汇总如下表．
x … 1 2 3 4 5 …
y … 1.875 2 1.875 1.5 0.875 …
（1）求这股水流的路径所在抛物线的解析式，并求出其最大射程；
（2）在图1的平面直角坐标系中，根据已知数据画出该函数在网格中的图象（包括边界）；
（3）如图2，在地面上距离喷水杆2m处 ( http: / / )有一段斜坡MN长，坡角为30°，若要使喷出的水正好落在N处，那么须将P处的喷水口向上竖直提高多少？
( http: / / / )
中考专题 二次函数培优训练
参考答案与试题解析
一．试题
1．将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据“左加右减”的规律得到平移后抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣14；然后将点（5，2）代入来求m的值即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣8x+2＝（x﹣4）2﹣14，
∴将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m个单位后所得二次函数解析式为：y＝（x﹣4+m）2﹣14．
将（5，2）代入，得（5﹣4+m）2﹣14＝2，
解得m＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二 ( http: / / )次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标可得当1＜x≤5时的函数取值范围，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣5），
将x＝5代入y＝x2﹣4x﹣1得y＝4，
∴当1＜x≤5时，﹣5≤y≤4，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与方程及不等式的关系．
3．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
【分析】根据a的值先确定抛物线的开口方向， ( http: / / )然后再根据已知当x＞1时，y随x的增大而增大，可得抛物线的对称轴1，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2+bx+1的图象开口向上，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴1，
解得：b≥﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．已知点A（a，y1），B（a+5，y2 ( http: / / )），C（c，y3）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，下列选项正确的是（　　）
A．若c＜0，则a＜c＜0 B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜c D．若c＞0，则0＜c＜a+5
【分析】先根据解析式画出 ( http: / / )函数图象，顶点为（1，﹣3），由0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧可知a＜0，a+5＞0，由函数图象的性质可得c＜a或c＞a+5，从而得到C选项正确．21·世纪*教育网
【解答】解：根据解析式画出图象，如图：
( http: / / / )
∵0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，
∴a＜0，a+5＞0，
若c＜0，则c＜a＜0，故A、B不符合题意，
若c＞0，则c＞a+5＞0，故D不符合题意，C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据函数值确定A、B、C三点的位置是解题的关键．
5．点P（m，n）在抛物线y＝x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是 　y＜4　．2·1·c·n·j·y
【分析】求出当x＝1时，当x＝﹣1时，y的值，结合函数图象即可求出n的取值范围．
【解答】解：当x＝1时，y＝1+1+2＝4，
当x＝﹣1时，y＝1﹣1+2＝2，
∵y＝x2+x+2＝（x）2，
∴当﹣1＜x＜1时，y的取值范围为y＜4，
∴点P到y轴距离小于1，则n的取值范围为y＜4，
故答案为：y＜4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
6．设函数，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　）www-2-1-cnjy-com
A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜1＜n，则a1＜a2
C．若m＜n＜1，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1
【分析】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解．
【解答】解：如图所示，若1＜m＜n，则a1＞a2，
( http: / / / )
故A选项错误；
如图所示，若m＜1＜n，则a1＞a2或a1＜a2，
( http: / / / ) ( http: / / / )
故B选项错误；
如图所示，若m＜n＜1，则a1＜a2，
( http: / / / )
故C选项正确，D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　）21教育名师原创作品
A． B．±1 C．﹣1或 D．1或
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax ( http: / / )+a+2＝a（x﹣1）2+2，可以得到该函数的对称轴，再根据当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4和二次函数的性质，可以得到|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，然后求解即可．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，
∵当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，
∴当|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，
解得a1＝1，a2＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．已知点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，若y1＜y2，则n的取值范围为（　　）
A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2
【分析】将n，n﹣2代入二次函数解析式即可得出n的取值范围．
【解答】解：∵点A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函数的y＝﹣x2+2x+3图象上，且y1＜y2，
∴﹣n2+2n+3＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+3，
化简整理得，4n﹣8＜0，
∴n＜2，
∴n的取值范围是n＜2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意列出不等式是解题的关键．
9．二次函数y＝ax +bx﹣3（a ( http: / / )＜0，a、b为常数）的图象经过A（﹣6，y1），B（﹣4，y2），C（2，y2），D（3，y3）四点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＜0）的图象经过B（﹣4，y2），C（2，y2），求出对称轴，再根据函数图象判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＜0）的图象经过B（﹣4，y2），C（2，y2），
∴二次函数对称轴为直线x1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴y1，y2，y3的大小关系为y2＞y3＞y1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够找出对称轴和掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．www.21-cn-jy.com
10．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m的图象经过A（1，y1），B（5，y2）两个点，下列选项正确的是（　　）
A．若m＜1，则y1＞y2 B．若1＜m＜3，则y1＜y2
C．若1＜m＜5，则y1＞y2 D．若m＞5，则y1＜y2
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据函数的对称性和增减性即可解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+m的图象经过A（1，y1），B（5，y2）两个点，
∴若m＜1，过A（1，y1），B（5，y2）两个点都在抛物线对称轴的右边，y随x的增大而增大，则y1＜y2，故A选项错误，不符合题意；
∴若1＜m＜3，点A（1，y1）比点B（5，y2）更接近抛物线的对称轴，则y1＜y2，故B选项正确，符合题意；
∴若1＜m＜5，不能确定过A（1，y ( http: / / )1），B（5，y2）两个点都在抛物线对称轴的右边或左边，不能判定抛物线的增减性，则不能确定y1，y2的大小，故C选项错误，不符合题意；
∴若m＞5，过A（1，y1），B（5，y2）两个点都在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性和增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键．
11．二次函数y＝ax2+b ( http: / / )x+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝7的解为 　x1＝﹣1，x2＝3　.
x … ﹣3 0 1 3 5 …
y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
【分析】利用抛物线与x轴的交点问 ( http: / / )题得到一元二次方程ax2+bx+c＝7的解为x1＝﹣3，x2＝5，再把方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝7看作关于（2x﹣1）的一元二次方程，则2x﹣1＝﹣3或2x﹣1＝5，然后解两个一次方程即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：由表中数据得x＝﹣3或x＝5时，y＝7，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝7的解为x1＝﹣3，x2＝5，
把方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝7看作关于（2x﹣1）的一元二次方程，
∴2x﹣1＝﹣3或2x﹣1＝5，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
即一元二次方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+c＝7的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的 ( http: / / )交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上的点的坐标特征和二次函数的性质．【出处：21教育名师】
12．在平面直角坐标系中，若抛物线y ( http: / / )＝x2+（2m﹣n）x﹣2m﹣2与y＝x2﹣（m+2n）x+n关于直线x＝1对称，则符合条件的m，n的值可以为（　　）
A．， B．m＝﹣1，n＝1
C．m＝1，n＝9 D．m＝2，n＝2
【分析】根据两条抛物线的对称轴关于直线x＝1对称，得出m，n的关系式即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣n）x﹣2m﹣2与y＝x2﹣（m+2n）x+n关于直线x＝1对称，
∴当x＝1时，y相等，
∴1+2m﹣n﹣2m﹣2＝1﹣m﹣2n+n，
解得m＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握对称的性质．
13．如图①所示，点A、B是⊙O上 ( http: / / )两定点，圆上一动点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是（　　）
( http: / / / )
A． B． C．5 D．
【分析】由图②可得，当x＝2时，y＝AP ( http: / / )＝6cm，即此时A、O、P共线，则圆得半径为3cm，当x＝0时，AB＝APcm，由勾股定理的逆定理可得∠AOB＝90°，进而得到当x＝2时，点P走过的角度为90°，算出P走过的弧长为cm，点P的运动速度为cm/s，当x＝m时，AP＝3cm，此时△AOP为等边三角形，点P走过的角度为210°，算出P走过的弧长为cm，最后利用时间的路程÷速度即可求出m．
【解答】解：由图②可得，当x＝2时，y＝AP＝6cm，即此时A、O、P共线，
则圆得半径为AP＝3（cm），
当x＝0时，y＝APcm，
此时AB＝APcm，
∵OA＝OB＝3cm，ABcm
∴AB2＝OA2+OB2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，
当x＝2时，点P运动到点C，如图，
( http: / / / )
则点P走过的角度为90°，
∴点P走过的弧长为（cm），
∴点P的运动速度为（cm/s），
当x＝m时，y＝AP＝3cm，如图，
此时，△AOP为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
∴点P走过的角度为90°+（180°﹣60°）＝210°，
∴点P走过的弧长为（cm），
∴m．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、等 ( http: / / )边三角形的判定、勾股定理的应用、弧长的计算，理解函数图象中的点在不同时刻所代表的实际意义是解题关键．
14．已知二次函数的表达式为y＝ ( http: / / )﹣x2﹣2x+3，将其图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y1随x增大而增大；当4＜x＜5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值范围是（　　）
A．1≤k≤3 B．2≤k≤3 C．3≤k≤4 D．4≤k≤5
【分析】将二次函数y＝﹣x2﹣2x ( http: / / )+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，根据当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移k（k＞0）个单位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的图象，
∴新图象的对称轴为直线x＝k﹣1，
∵当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小，且抛物线开口向下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案可以为：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
故选：D．
【点评】此题主要考查了抛物线的平移变换及二次函数的性质，解题的关键是数形结合思想的应用．
15．二次函数y＝ax2+b ( http: / / )x+c的图象经过点A（﹣3，0），B（4，0），则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 　x1＝﹣2，x2＝5　．
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿 ( http: / / )x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴 ( http: / / )的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形 ( http: / / )喷水池，使喷水刚好落在水池边缘，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m．以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系如图，若要在喷水池中心的正上方设计挡板（AB，AC），使各方向喷出的水柱擦挡板后，汇合于喷水池中心装饰物M处，挡板AB所在直线的表达式为，则抛物线l的表达式为 　y（x﹣4）2+6（0≤x≤10）　，n的值为 　　．
( http: / / / )
【分析】（1）由题意可写出当x＞0时，抛物线的顶点式解析式，用待定系数法求得其解析式，令x＝0，求得y值，则可得这个装饰物的高度；
（2）根据直线AB与抛物线相切，得到判别式Δ＝0，解方程求出n．
【解答】解：（1）由题意可得，当x＞0时，抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6（0≤x≤10），
把（10，0）代入得：0＝a（10﹣4）2+6，
解得：a，
∴抛物线的解析式为y（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；
（2）根据题意知，直线AB与抛物线相切，
∴x+n（x﹣4）2+6，
整理得：x2﹣5x﹣20+6n＝0，
∴Δ＝52﹣4×（﹣20+6n）＝0，
解得：n，
故答案为：y（x﹣4）2+6（0≤x≤10）；．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．21cnjy.com
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+m经过点A（﹣2，﹣1）．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）在x轴上方作平行于 ( http: / / )x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左边），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形BCDE为正方形时，求B点的坐标．
( http: / / / )
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由矩形BCDE为正方形，得到BC＝BE，即可求解．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，﹣1）代入y＝﹣x2+2x+m．
则﹣4﹣4+m＝﹣1，
∴m＝7，
∴y＝﹣x2+2x+7＝﹣（x﹣1）2+8，
∴抛物线的顶点为（1，8）；
（2）∵抛物线的顶点为（1，8），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设点B（n，﹣n2+2n+7），则点C（2﹣n，﹣n2+2n+7），
∵矩形BCDE为正方形，则BC＝BE，
即2﹣n﹣n＝﹣n2+2n+7，
解得：n＝5（舍去）或﹣1，
当n＝﹣1时，﹣n2+2n+7＝4，
∴点B（﹣1，4）．
【点评】本题考查的是抛物 ( http: / / )线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数与方程的转化．版权所有
18．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣4）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D（m，n）为抛物线 ( http: / / )上第二象限内的点，过点D作x轴的平行线交抛物线于另一点E，过y轴右侧抛物线上点C（a，﹣4）作CF⊥DE于点F，当CF+DF＝18时，求m的值．
( http: / / / )
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据（1）中求得的 ( http: / / )解析式即可得到nm2﹣m﹣4，利用抛物线的解析式其实C的坐标，进一步利用CF+DF＝18，得到m2﹣m+2﹣m＝18，解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣4）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为yx2﹣x﹣4；
（2）∵点D（m，n）为抛物线上第二象限内的点，
∴nm2﹣m﹣4，
∵点C（a，﹣4）在y轴右侧抛物线上，
∴a2﹣a﹣4＝﹣4，
解得a1＝2，a2＝0（舍去），
∴C（2，﹣4），
∴F（2，n），
∴CF＝n+4m2﹣m﹣4+4m2﹣m，DF＝2﹣m，
∵CF+DF＝18，
∴m2﹣m+2﹣m＝18，即m2﹣2m﹣16＝0，
解得m1＝﹣4，m2＝8，
∵点D（m，n）为抛物线上第二象限内的点，
∴m＝﹣4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21*cnjy*com
19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12）．
（1）求b，c的值；
（2）若点A（m，k），B（n，k）在二次函数y＝x2+bx+c图象上，其中m+n，当﹣2＜m＜1时，求n的取值范围．
【分析】（1）将点（2，﹣3），（﹣1，12）代入函数y＝x2+bx+c即可求b、c；
（2）由题意可知，A、B关于对称轴对称，则有m+n＝6，再结合m的取值范围即可求n的范围．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c的图象经过点（2，﹣3），（﹣1，12），
∴，
∴；
（2）∵b＝﹣6，c＝5，
∴y＝x2﹣6x+5，
∴函数的对称轴为直线x＝3，
∵点A（m，k），B（n，k）在二次函数图象上，
∴A点与B点关于对称轴对称，
∴m+n＝6，
∴m＝6﹣n，
∵﹣2＜m＜1，
∴﹣2＜6﹣n＜1，
∴5＜n＜8．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，由函数的对称性得到m、n的关系是解题的关键．
20．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点（5，），（0，﹣1）．
（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．
（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，若y1，y2始终小于0，求x1的取值范围．
【分析】（1）把点（5，），（0，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax+c得出关于a，c的二元一次方程组，解方程组得出a，c的值，即可得出抛物线的解析式，把抛物线解析式化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）把抛物线解析式化为交点式后，将M点、N点的坐标代入结合题意得出关于x1得不等式组，解不等式组即可得出x1的取值范围．
【解答】解：（1）把点（5，），（0，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax+c得：，
解得：，
∴yx2x﹣1（x﹣1）2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，）；
（2）yx2x﹣1
（x2﹣2x﹣8）
（x﹣4）（x+2），
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，
∴y1（x1﹣4）（x1+2），y2（x2﹣4）（x2+2）（x1﹣1）（x1+5），
∵y1，y2始终小于0，
∴（x1﹣4）（x1+2）＜0，（x1﹣1）（x1+5）＜0，
∴﹣2＜x1＜4，﹣5＜x1＜1，
∴﹣2＜x1＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法及利用二次函数的系数求不等式组的解集是解决问题的关键．
21．已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．
（1）求b、c的值；
（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．
【分析】（1）把点（0，3）、（1，﹣2）代入二次函数解析式，即可求解；
（2）分三种情况讨论：当0≤m＜3时，当3≤m＜6时，当m≥6时，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2），
∴
解得：；
（2）由（1）得，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6．
∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x＞3时，y随x的增大而增大，
①当0≤m＜3时，
当x＝0时，y取最大值，最大值是3，当x＝m时，y取最小值，最小值是（m﹣3）2﹣6，
∴3+（m﹣3）2﹣6＝1，
解得m1＝1，m2＝5（舍去）．
②当3≤m＜6时，
当x＝6时，y取最大值，y的最大值是3，
当x＝3时，y取最小值，y的最小值是﹣6．
∵﹣6+3＝﹣3≠1，
∴不符合题意．
③当m≥6时，
当x＝m时，y取最大值，y的最大值是（m﹣3）2﹣6，
当x＝3时，y取最小值，y的最小值是﹣6．
∴﹣6+（m﹣3）2﹣6＝1，
解得，（舍去）．
综上所述，m的值为1或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．如图，某水库上游有一单孔 ( http: / / )抛物线型拱桥，它的跨度AB为100米．最低水位（与AB在同一平面）时桥面CD距离水面25米，桥拱两端有两根25米高的水泥柱BC和AD，中间等距离竖立9根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱EF长5米．
（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
（2）在最低水位时，能并排通过两艘宽28米，高16米的游轮吗？（假设两游轮之间的安全间距为4米）
（3）由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出13米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？
( http: / / / )
【分析】（1）如图，以AB为x轴 ( http: / / )，AB的中点为原点建立直角坐标系．则A、B、F的坐标分别是（﹣50，0），（50，0），（0，20）．设抛物线的解析式为y＝ax2+20，将B的坐标代入求出a即可．
（2）求出x＝30时的函数值，即可判断．函数值大于等于16可以通过，函数值小于16不能通过．
（3）求出x＝±30，±20，±40的函数值，即可判断．
【解答】解：（1）如图，以AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系．
( http: / / / )
则A、B、F的坐标分别是（﹣50，0），（50，0），（0，20）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+20，
将B的坐标代入得：a，
∴抛物线的表达式是yx2+20，
（2）把x＝28+2＝30代入解析式，yx2+20302+20＝12.8，
∵12.8＜16∴不能并列通过两艘游轮．
（3）由（2）得，当x＝±30时，y＝12.8，
又∵当x＝±20时，y202+20＝16.8＞13，
∴水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱．
∵当x＝±40时，y402+20＝7.2，
∴没在水面下的立柱总长为2[（13﹣7.2）+13﹣12.8）]＝12米．
【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21·cn·jy·com
23．某街心公园设置灌溉 ( http: / / )喷枪为绿色观叶植物进行浇水，喷枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，喷枪可通过调节喷水杆的高度改变水柱落地点的位置，喷头上下移动时，抛物线型水流随之竖直上下平移，以地面为x轴，喷水口所在竖直方向为y轴建立直角坐标系，设水流路径上的某一位置与喷水口的水平距离为xm，距地面的高度为ym，y与x的部分对应数值汇总如下表．
x … 1 2 3 4 5 …
y … 1.875 2 1.875 1.5 0.875 …
（1）求这股水流的路径所在抛物线的解析式，并求出其最大射程；
（2）在图1的平面直角坐标系中，根据已知数据画出该函数在网格中的图象（包括边界）；
（3）如图2，在地面上距离喷水杆2m处有一段 ( http: / / )斜坡MN长，坡角为30°，若要使喷出的水正好落在N处，那么须将P处的喷水口向上竖直提高多少？
( http: / / / )
【分析】（1）由表格中的数据 ( http: / / )可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为（2，2），故设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，再把点（4，1.5）代入求出a即可；
（2）先求出x的范围，再画出函数图象即可；
（3）作NA⊥x轴于A，先解直角三角形AM ( http: / / )N，求出，MA＝3m，进而可得点，然后设竖直向上平移后的抛物线为，再把点N坐标代入求出k即可．21教育网
【解答】解：（1）由表格中的数据可得：这股水流的路径所在抛物线的顶点为（2，2），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把（4，1.5）代入，得1.5＝4a+2，
解得：，
∴这股水流的路径所在抛物线的解析式为；
（2）当x＝0时，y＝1.5，
当y＝0时，，
解得：x＝6或x＝﹣2（舍去）；
∴0≤x≤6，
则该函数在网格中的图象如图所示：
( http: / / / )
（3）作NA⊥x轴于A，如图，则MN，∠AMN＝30°，
∴，m，
∵OM＝2，
∴OA＝5，
∴点，
由题意可设竖直向上平移后的抛物线为，
当点N在抛物线上时，，解得，
∴须将P处的喷水口向上竖直提高m．
( http: / / / )
【点评】本题考查了二次函数的应用和解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．21*cnjy*com
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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