北师大版2022-2023学年度下学期七年级期末模拟考试
数学试题精编A卷
满分120分,限时100分钟
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1.小马虎在下面的计算中只做对了一道题,他做对的题目是 (　　)
A.a3·a4=a12　　　　B.(a3)4=a12
C.a3+a4=a7　　　　D.a8÷a4=a2
2.在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中,是轴对称图形的是 (　　)
A
B
C
D
3.下列事件属于必然事件的是 (　　)
A.掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数是奇数
B.车辆随机经过一个路口,遇到红灯
C.任意画一个三角形,其内角和是180°
D.有三条线段,将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
4.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为,它与π的误差小于0.000 000 3.将0.000 000 3用科学记数法可以表示为 (　　)
A.3×10-7　　　　B.0.3×10-6　　
C.3×10-6　　　　D.3×107
5.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列结论中,正确的个数为 (　　)
①AB⊥AC;②AD与AC互相垂直;③点C到AB的垂线段是线段AB;④点A到BC的距离是线段AD;⑤线段AB的长度是点B到AC的距离;⑥∠BAD=∠C.
A.2个　　　　B.3个
C.4个　　　　D.5个
6.如图所示的是甲和乙两位同学用尺规作∠AOB的平分线的图示,对于两人不同的作法,下列说法正确的是 (　　)
A.甲对乙不对　　　　B.甲乙都对
C.甲不对乙对　　　　D.甲乙都不对
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,若AB=6 cm,则△DBE的周长是 (　　)
A.6 cm　　　　B.7 cm
C.8 cm　　　　D.9 cm
8.赵先生手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表(如下):
年龄 /岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24
身高 h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4
下列说法中错误的是 (　　)
A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢
B.赵先生的身高在21岁以后基本不增长了
C.赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5 cm
D.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1 cm
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC上一点,DA⊥AB.若∠CAD=38°,则∠ADB= (　　)
A.60°　　B.62°　　C.64°　　D.66°
10.小兰在计算一个二项式的平方时,得到的正确结果是x2+(■-1)xy+9y2,但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了,则■处所表示的数可能是　 (　　)
A.1　　　　B.-5
C.7　　　　D.7或-5
11.从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形(如图2),上述操作能验证的等式是 (　　)
　　图1　　　　　　 图2
A.a2+ab=a(a+b)
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
12.如图①,荧光屏上的甲、乙两个光斑(可看成点)分别从相距8 cm的A,B两点同时开始沿线段AB运动,运动过程中甲光斑与点A的距离s1(cm)与时间t(s)的关系图象如图②,乙光斑与点B的距离s2(cm)与时间t(s)的关系图象如图③,已知甲光斑全程的平均速度为1.5 cm/s,且两图象中△P1O1Q1≌△P2Q2O2,下列叙述正确的是 (　　)
A.甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B.乙光斑从点A到点B的运动速度小于1.5 cm/s
C.甲乙两光斑全程的平均速度一样
D.甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
13.从-1,0,2中任取两个不同的数求和,则和为正的概率为　　　　.
14.若am=7,an=3,则am+2n=　　　　.
15.如图所示,用棋子摆成“T”字形,按照图①,图②,图③的规律摆下去,若摆成第n个“T”字形需要m颗棋子,则m关于n的关系式是　　　　.
16.如图,把长方形纸片ABCD(其中,AB∥CD,AD∥BC)沿EF折叠,点C、D分别落在点P、Q处.若∠DFE=110°,则∠1的大小是　　　　.
17.直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF⊥CD,作射线OG⊥OE.若∠EOF=54°,则∠AOG的度数为　　　　.
18.如图,∠AOB=30°,M,N分别是射线OA,OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP=7 cm,则△PMN的周长的最小值为　　　　cm.
三、解答题(共7小题,共66分)
19.(12分)
(1)计算:-12x2y3÷(-3xy2)·;
(2)计算:(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2;
(3)计算:+4×(-1)2 023-|-23|+(π-5)0;
(4)先化简,再求值:(a+2b)(a-2b)+(a+2b)2+(2ab2-8a2b2)÷(2ab),其中a=1,b=2.
20.(6分)如图,∠B=∠C,∠E=∠F.试说明AB∥CD.
21.(8分)如图所示的是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象,两地间的距离是80 km,请你根据图象解决下面的问题.
(1)谁出发较早 早多长时间 谁到达乙地较早 早到多长时间
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少
(3)若y表示骑自行车者行驶过的路程,x表示骑自行车者行驶的时间,写出y与x的关系式.
22.(10分)如图,在正方形网格中,△ABC是格点三角形.
(1)画出△A1B1C1,使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称;
(2)过点C作线段CD,使得CD∥AB,且CD=AB;
(3)求以A、B、C、D为顶点的四边形的面积.
23.(10分)小明和小亮两位同学做掷骰子(质地均匀的正方体)游戏,他们共做了100次试验,结果如下:
朝上一面 的点数 1 2 3 4 5 6
出现的 次数 15 14 23 19 15 14
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率.
(2)小明说:“根据这次试验结果可知在每个掷骰子试验中出现3点朝上的概率最大.”小亮说:“若投掷1 000次,则出现5点朝上的次数正好是130次.”小明和小亮的说法正确吗 为什么
(3)小明将一枚骰子任意投掷一次,求朝上一面的点数不小于4的概率.
24.(10分)
(1)计算并观察下列各式填空:
(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=　　　　;
(2)请根据你发现的规律直接填写:(x-1)·(　　　　　　　)=x6-1;
(3)利用你发现的规律填空:(x-1)(x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=　　　　;
(4)利用该规律计算:1+2+22+23+…+22 022的值.
25.(10分)
(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD.
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请说明理由;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并说明理由.
答案解析
1.B　∵a3·a4=a7,
∴选项A不符合题意;
∵(a3)4=a12,
∴选项B符合题意;
∵a3+a4≠a7,
∴选项C不符合题意;
∵a8÷a4=a4,
∴选项D不符合题意,
故选B.
2.A　A.是轴对称图形,故该选项符合题意;
B.不是轴对称图形,故该选项不符合题意;
C.不是轴对称图形,故该选项不符合题意;
D.不是轴对称图形,故该选项不符合题意.
故选A.
3.C　A.掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数是奇数,是随机事件,不符合题意;
B.车辆随机经过一个路口,遇到红灯,是随机事件,不符合题意;
C.任意画一个三角形,其内角和是180°,是必然事件,符合题意;
D.有三条线段,将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形,是随机事件,不符合题意.
故选C.
4.A　0.000 000 3=3×10-7,故选A.
5.B　∵∠BAC=90°,∴AB⊥AC,故①正确;
∵∠DAC≠90°,∴AD与AC不互相垂直,故②错误;
点C到AB的垂线段是线段AC,故③错误;
点A到BC的距离是线段AD的长度,故④错误;
线段AB的长度是点B到AC的距离,故⑤正确;
根据同角的余角相等可得∠BAD=∠C,故⑥正确.
故选B.
6.B　利用基本作图可判断甲同学的作法正确;
由乙的作图得OC=OD,OE=OF,
∵∠COF=∠DOE,∴△ODE≌△OCF(SAS),
∴∠OED=∠OFC,∵OE-OC=OF-OD,∴CE=DF,∵∠EPC=∠FPD,∴△PCE≌△PDF(AAS),
∴PC=PD,又∵OC=OD,OP=OP,
∴△OPC≌△OPD(SSS),
∴∠COP=∠DOP,∴OP平分∠AOB,
∴乙同学的作法正确.故选B.
7.A　∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,AD=AD,
∴DE=CD,△ADC≌△ADE,∴AC=AE,
∵AC=BC,
∴AC=BC=AE,
∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB,
∵AB=6 cm,
∴△DBE的周长=6 cm.故选A.
8.C　∵100-48=52,130-100=30,140-130=10,150-140=10,158-150=8,165-158=7,170-165=5,170.4-170=0.4,52>30>10=10>8>7>5>0.4,
∴赵先生的身高增长速度总体上先快后慢,A正确;
∵21岁时赵先生的身高为170 cm,24岁时赵先生的身高为170.4 cm,
∴赵先生的身高在21岁以后基本不增长了,B正确;
∵(150-48)÷12=8.5(cm),
∴赵先生的身高从0岁到12岁平均每年增高8.5 cm,C错误;
∵(170.4-48)÷24=5.1(cm),
∴赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高5.1 cm,D正确.
故选C.
9.C　∵DA⊥AB,∴∠BAD=90°,∵∠CAD=38°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=128°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=26°,∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=116°,∴∠ADB=180°-∠ADC=64°,故选C.
10.D　∵(x±3y)2=x2±6xy+9y2,
∴■-1=±6,
∴■处所表示的数可能是7或-5,
故选D.
11.D　题图1中,涂色部分的面积为a2-b2,题图2中长方形的面积为(a+b)(a-b),
∴能验证的等式为(a+b)(a-b)=a2-b2.
故选D.
12.C　甲光斑到点B所用时间为t0 s,从点B回到点A所用时间为4t0-t0=3t0 s,
∵路程不变,∴甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A运动速度的3倍,
∴A错误.由于△P1O1Q1≌△P2Q2O2,甲光斑全程平均速度为1.5 cm/s,
∴乙光斑全程平均速度也为1.5 cm/s,
∵乙光斑由点B到点A的时间是其由点A到点B时间的3倍,
∴乙光斑由点B到点A的速度低于平均速度,乙光斑由点A到点B的速度大于平均速度,
∴B错误.由已知得两个光斑往返总时间及总路程相等,则两个光斑全程的平均速度相同,∴C正确.根据题意,甲、乙光斑与点A的距离随时间变化的图象如图,两个图象相交时对应两个光斑相遇,故可知两个光斑相遇两次,故D错误.
13.
解析　-1+0=-1,-1+2=1,0+2=2,
由上可得,任取两个不同的数求和一共有3种等可能的结果,其中和为正的结果有2种,
∴从-1,0,2中任取两个不同的数求和,和为正的概率为,
故答案为.
14.63
解析　当am=7,an=3时,am+2n=am·a2n=am·(an)2=7×32=63.
15.m=3n+2
解析　由题意得,第1个“T”字形需要3+2=5颗棋子;
第2个“T”字形需要5+3=8颗棋子;
第3个“T”字形需要7+4=11颗棋子;
……
∴第n个“T”字形需要的棋子颗数为(2n+1)+(n+1)=3n+2,∴m=3n+2.
故答案为m=3n+2.
16.40°
解析　∵AD∥BC,∴∠DFE+∠FEC=180°,
∵∠DFE=110°,∴∠FEC=180°-110°=70°,
∵把长方形纸片ABCD沿EF折叠,点C,D分别落在点P,Q处,
∴∠FEC=∠PEF=70°,
∴∠1=180°-∠PEF-∠CEF=180°-70°-70°=40°.
故答案为40°.
17.54°或126°
解析　∵OF⊥CD,∴∠FOD=90°,∵∠EOF=54°,∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-54°=36°,∵OE平分∠BOD,∴∠BOD=2∠DOE=72°,
分两种情况:
当射线OG在OE的下方时,如图:
∵OG⊥OE,∴∠EOG=90°,
∵OE平分∠BOD,∴∠BOE=∠BOD=36°,
∴∠AOG=180°-∠EOG-∠BOE=54°;
当射线OG在OE的上方时,如图:
∵OG⊥OE,∴∠EOG=90°,
∵∠DOE=36°,∴∠COG=180°-∠EOG-∠DOE=54°,
∴∠AOG=∠AOC+∠COG=∠BOD+∠COG=72°+54°=126°,
综上所述,∠AOG的度数为54°或126°,
故答案为54°或126°.
18.7
解析　如图,作P点关于OA对称的点C,作P点关于OB对称的点D,连接CD,OC,OD,CD与OA、OB的交点为M、N,此时△PMN的周长取得最小值,最小值为CD的长,
∵点P与点D关于OB对称,
∴PO=OD,∠BOP=∠BOD,
∵点P与点C关于OA对称,
∴OP=OC,∠AOP=∠COA,
∴OD=OC,
∵∠AOB=30°,
∴∠COD=60°,
∴△OCD为等边三角形,
∵OP=7 cm,
∴CD=7 cm,
∴△PMN的周长的最小值为7 cm,
故答案为7.
19.解析　(1)原式=4xy·x2y2.
(2)原式=4x2-y2-4x2+4xy-y2=4xy-2y2.
(3)原式=(-3)2+4×(-1)-8+1=9-4-8+1=-2.
(4)原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab+b
=2a2+b,
∵a=1,b=2,∴原式=2a2+b=4.
20.证明　∵∠E=∠F,∴AC∥BD,∴∠EAB=∠B,∵∠B=∠C,∴∠C=∠EAB,∴AB∥CD.
21.解析　(1)由图象可知,骑自行车者出发较早,早3小时,骑摩托车者到达乙地较早,早到3小时.
(2)骑自行车者行驶的速度为80÷8=10(km/h),
骑摩托车者行驶的速度为80÷2=40(km/h).
(3)由骑自行车者行驶的速度是10 km/h可得,y=10x.
22.解析　(1)如图,△A1B1C1为所求作的图形.
(2)如图,线段CD或线段CD'为所求作的线段.
(3)以A、B、C、D为顶点的四边形的面积=3×4-2××2×2-2××1×2=6.
23.解析　(1)∵共做了100次试验,由统计表可得“1点朝上”和“6点朝上”的次数分别为15,14,
∴“1点朝上”的频率为15÷100=0.15,“6点朝上”的频率为14÷100=0.14.
(2)小明的说法错误.因为只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.
小亮的说法错误.因为事件发生具有随机性,一次试验中的频率不能等于概率.
(3)∵小明将一枚骰子任意投掷一次,朝上一面的点数不小于4的有4、5、6三种情况,
∴P(朝上一面的点数不小于4)=.
24.解析　(1)∵(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1,
∴(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1,
故答案为x4-1.
(2)x5+x4+x3+x2+x+1.
(3)x8-1.
(4)1+2+22+23+…+22 022
=(2-1)(22 022+22 021+22 020+22 019+…+23+22+2+1)
=22 023-1.
25.解析　(1)证明:如图①,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°,AB=AD,
∴△ABG≌△ADF(SAS),∴AG=AF,∠1=∠2,又∵∠EAF=∠BAD,∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD,∴∠GAE=∠EAF,又∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF,∵EG=BE+BG=BE+DF,∴EF=BE+FD.
(2)结论EF=BE+FD不成立.应是EF=BE-FD,
理由:如图②,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG,∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF,又∵AB=AD,BG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,又∵∠EAF=∠BAD,∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD,∴∠GAE=∠EAF,又∵AE=AE,AG=AF,∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF,∵EG=BE-BG=BE-FD,∴EF=BE-FD.
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