考点10 三角形的中位线综合（名校最新期末好题）（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2023·全国·八年级期末）如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（　　）
( http: / / / )
A．3 B． C． D．4.5
【答案】C
【分析】先根据图2求出的长度，再根据中位线定理求出的长度，然后根据三角形面积公式结合和重合时面积最大，求出的值．
【详解】解：由图象知，当点P在上运动时，的面积的面积不变，
∴，
∵是中位线，
∴，
当点P在线段上时，，
由图象知，当点P和点C重合时，即时，的面积，
∴，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，涉及三角形中位线定理，关键是结合图2得出的长度．
2．（2023·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（ ）
( http: / / / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积，同理第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图：过点A作于G，交于H，则，
( http: / / / )
、E、F分别为、、的中点，
、、分别为的中位线，
，，，，
，，
，
同理：第三个三角形的面积=，
第四个三角形的面积第三个三角形面积，
……，
∴第2013个三角形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键．
3．（2023·山东烟台·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）
( http: / / / )
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，，证明，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：取的中点H，连接，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
( http: / / / )
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2022春·山东济南·八年 ( http: / / )级统考期末）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ 　）
( http: / / / )
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
【答案】D
【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．
【详解】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，
∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，
在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选D．
( http: / / / )
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解.【来源：21·世纪·教育·网】
5．（2022春·安徽芜湖·八年级校联考期 ( http: / / )末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
( http: / / / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取AB的中点M，连接CM，EM，当CE＝CM+EM时，CE的值最大，根据旋转的性质得到AC′＝AC＝2，由三角形的中位线的性质得到EMAC′＝1，根据勾股定理得到AB＝2，即可得到结论．
【详解】取AB的中点M，连接CM，EM，∴当CE＝CM+EM时，CE的值最大．
∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，∴AC′＝AC＝2．
∵E为BC′的中点，∴EMAC′＝1．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2，∴CMAB，∴CE＝CM+EM．
故选B．
( http: / / / )
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21·cn·jy·com
6．（2022春·江苏无锡·八年级宜 ( http: / / )兴市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )
( http: / / / )
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】取MB的中点P，连接FP，EP，DN ( http: / / )，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为 EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解．
【详解】取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是 MNB的中位线，EF是 DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=，EF∥DN，EF=，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为 EFP．
∴当点N与点A重合时，FP===4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，
∴AQ=8-5=3，
∴DQ=，
∴当点N与点Q重合时，EF=，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴ EFP中，FP上的高=2，
∴当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积=×4×2=4．
故选A．
( http: / / / )
【点睛】本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
7．（2022春·陕西西安·八年 ( http: / / )级校考阶段练习）如图：C，D是线段AB上两点，P是线段CD上的动点，分别以AP，BP为边在AB同侧作两个等边△APE，△BPF，M是EF的中点，已知AB＝20，AC＝BD＝2，当P从C运动到D时（无重复运动），M点的运动路径长为（ ）
( http: / / / )
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】延长AE、BF交于点G，连接GC ( http: / / )、GD，PG，易证四边形PEGF为平行四边形，得出M为PG的中点，则M运动的轨迹为△GCD的中位线，再求出CD的长，运用中位线的性质即可求出．
【详解】如图，
( http: / / / )
延长AE、BF交于点G，连接GC、GD，PG，
∵△APE，△BPF是等边三角形，
∴∠A＝∠FPB＝60°，
∴AE∥FP，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴PE∥BG，
∴四边形PEGF为平行四边形，
∴GP与EF互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为PG的中点，即在P运动过程中，点M始终为GP的中点，
∴M运动的轨迹为△GCD的中位线．
∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝20﹣2﹣2＝16，
∴△GCD的中位线为CD＝8．
∴M点的运动路径长为8．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形及中 ( http: / / )位线的性质，平行四边形的性质与判定，以及动点问题，是中考热点，确定出点M运动的轨迹为△GCD的中位线是解题的关键．【出处：21教育名师】
8．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）
( http: / / / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE＝30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根据勾股定理计算OC和OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC＝90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．
【详解】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝1，
∵BC＝2，
∴EC＝1，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC＋∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°＋30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝，
故②错误；
③由②知：∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，即：，
故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质 ( http: / / )、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键系．
9．（2022春·浙江·八年级 ( http: / / )义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）版权所有
( http: / / / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．21·世纪*教育网
【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
( http: / / / )
∵∠BAD=45°，AB=10
∴为等腰直角三角形，
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，当、两点重合时，
即的最小值为
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线 ( http: / / )的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
10．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若，则下面结论正确的是（　　）
①∠CAH＝∠ABC；②；③AO＝3NO；④．
( http: / / / )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【分析】①证明∠ABC与∠CAH都是∠BAH的余角，便可判断①的正误；②设AN的中点为E，连接EM，根据中位线的性质可得，，证明ME=BN，再证明△OBN≌△OME，得OE=ON，进而得AN=4ON，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得△ABO的面积，便可判断②的正误；③由②得OE=ON，AE=EN得AO与ON的关系，便可判断③的正误；④过点C作CF⊥BC，与BM的延长线交于点F，证明△AMI≌△CMF，得AI=CF，当H不是BC的中点时，，此时，便可判断④的正误．
【详解】解：①∵∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠ABC+∠BAH=∠BAH+∠CAH=90°，
∴∠CAH=∠ABC，故①正确；
②设AN的中点为E，连接EM，
( http: / / / )
∵M是AC中点，E是AN的中点，
∴ME是△ACN的中位线，
∴，
∵CN=2BN，
∴ME=BN，
∵，
∴∠OBN=∠OME，
∵∠BON=∠MOE，
∴△OBN≌△OME（AAS），
∴ON=OE，
∵AE=EN，
∴AN=4ON，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③∵AE=EN，OE=ON，
∴AO=3NO，故③正确；
④过点C作CF⊥BC，与BM的延长线交于点F，
又∵AH⊥BC，
∴
( http: / / / )
∴∠AIM=∠F，
∵M是AC的中点，
∴AM=CM，
∵∠AMI=∠CMF，
∴△AMI≌△CMF（AAS），
∴AI=CF，
∵，
当H不是BC的中点时，，
∴，故④错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于构造全等三角形．21教育网
二、填空题
11．（2022秋·黑龙江大 ( http: / / )庆·八年级校考期末）如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / / )
【答案】 16
【详解】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，
∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，
故答案为：16，64×（）n-1．
12．（2022春·江苏徐州 ( http: / / )·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若AB＝10，BC＝8，则EF的长是_____．21教育名师原创作品
( http: / / / )
【答案】1
【详解】根据三角形的中位线的性质，可知DE=AB=5，且DE∥AB，然后根据平行线的性质可知△BDF为等腰三角形，即BD=DF，再根据中点的性质可求得BD=4，因此可知EF=DE-DF=5-4=1.
故答案为1.
13．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点D为△ABC的边AC的中点，点E为AB上一点，若∠AED＝150°，∠ABC＝120°，则的值为 __．
( http: / / / )
【答案】
【分析】如图：取AB中点F，连接DF，作FG⊥DE于G．由三角形中位线定理得出DF//BC，DF＝BC，根据平行线的性质得出∠EFD＝∠ABC＝120°，再证明∠DEF＝∠EDF＝30°，那么DF＝EF，根据等腰三角形三线合一的性质得出DG＝DE．然后解Rt△DGF，得出DG＝DF，进而求出的值．
【详解】解：如图，取AB中点F，连接DF，作FG⊥DE于G．
∵点D为△ABC的边AC的中点，F为AB中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF//BC，DF＝BC，
∴∠EFD＝∠ABC＝120°，
∵∠AED＝150°，
∴∠DEF＝180°﹣∠AED＝30°，
∠EDF＝∠AED﹣EFD＝30°，
∴∠DEF＝∠EDF＝30°，
∴DF＝EF，
∵FG⊥DE，
∴DG＝DE．
在Rt△DGF中，∠DGF＝90°，∠GDF＝30°，
∴GF＝DF，DG＝GF＝DF，
∴＝＝＝．
故填．
( http: / / / )
【点睛】本题主要考查了中位 ( http: / / )线的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质，30度所对的边为斜边的一半、勾股定理等知识点，作辅助线构造中位线和直角三角形是解答本题的关键．
14．（2023·广东广州·八年级广 ( http: / / )州大学附属中学校考阶段练习）如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________
( http: / / / )
【答案】5
【分析】如图，分别延长AC、BD交 ( http: / / )于点H，易证四边形CPDH为平行四边形，根据平行四边形的性质可得CD与HP互相平分，可得 G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．由此即可求解.
【详解】如图，分别延长AC、BD交于点H，
( http: / / / )
∵∠A=∠DPB=60°，
∴AH∥PD，
∵∠B=∠CPA=60°，
∴BH∥PC，
∴四边形CPDH为平行四边形，
∴CD与HP互相平分．
∵G为CD的中点，
∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．【版权所有：21教育】
∴MN=AB=5，即G的移动路径长为5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
15．（2023·北京海淀·八年级校考阶段练习）在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
( http: / / / )
【答案】或
【分析】分点O在内部和点O在外部两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质，结合中位线性质，等腰三角形的判定和性质，求出即可．
【详解】解：当点O在内部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
( http: / / / )
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
当点O在外部时，连接交于点F，连接，延长交于点M，连接，如图所示：
( http: / / / )
同理可得：，
∴，
∵，，
∴，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴、A、O、M四点共圆，
∴，
∵为的中点，A为的中点，
∴，
∴；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的 ( http: / / )判定和性质，三角形中位线性质，垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是分类讨论，作出图形，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
16．（2022春·湖南永州·八年级校考阶段练习）已知、，其中，，．将绕着点旋转．
( http: / / / ) ( http: / / / ) ( http: / / / )
(1)当旋转到图1位置，连接、交于点，连接，证明：BF平分；
(2)当旋转到图2位置，连接、，过点作于点，交于点，证明：；
(3)当旋转到图3位置，分别取、、中点为、、，连接、，请直接写出、、三者之间的数量关系．2-1-c-n-j-y
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明△ABD≌△CBE（SAS），再根据全等三角形对应边上的高相等，推出BG=BH，可得结论；
（2）在BG上截取BF，使BF=AE，连接DF，用SAS证明△EBA≌△BDF，再证明△CBH≌△DFH，可得结论；
（3）证明△ABD≌△CBE，利用中位线证明PN=PM，∠MPN=90°，得∠PMN=45°，即可求解．
（1）
证明：如图，过点B作BG⊥AD于点G，BH⊥EC于点H，
( http: / / / )
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠CBE，
又∵BA=BC，BD=BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
又BG⊥AD，BH⊥CE，
∴BG=BH（全等三角形对应边上的高相等），
∴BF平分∠AFE；
（2）
证明：在BG上截取BF，使BF=AE，连接DF，
( http: / / / )
∵BG⊥AE，
∴∠BEG+∠EBG=90°，
∵∠DEB=∠DBG+∠EBG=90°，
∴∠DBG=∠BEG，
又∵BD=BE，
∴△EBA≌△BDF（SAS），
∴BA=DF，∠EBA=∠BDF，
∵BA=BC，
∴DF=BC，
∵∠DBE+∠ABC=180°，
∴∠DBC+∠ABE=180°，
∴∠DBC+∠BDF=180°，
∴BC∥DF，
∴∠BCH=∠HDF，∠HBC=∠HFD，
∵DF=BC，
∴△CBH≌△DFH(ASA)，
∴HB=HF，
∴AE=2BH．
（3）
解：，理由如下：
连接CE，PN，
( http: / / / )
∵∠ABC=∠DBE=90°
∴∠ABD=∠CBE，
又∵BA=BC，BD=BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，
∵AC、DE、DC中点为M、N、P，
∴PM∥AD，，PN∥CE，，
∴∠CPM=∠CDA，∠DPN=∠DCE，PM=PN，
设∠BDP=α，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠DBO+∠BDO=∠OCE+∠OEC，
∴∠OCE+∠OEC=90°+α，
∴∠OCE+∠BDA=90°+α，
∴∠OCE+α+∠ODA=90°+α，
∴∠OCE+∠ODA=90°，
∴∠DPN+∠CPM=90°，
∴∠MPN=90°，
∵PM=PN，
∴∠PMN=45°，
∴．
【点睛】本题属于旋转变换综合 ( http: / / )题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（2022春·四川成都·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点为线段的中点．2·1·c·n·j·y
( http: / / / )
(1)求证：；
(2)若，分别是，的中点．
判断的形状并证明你的结论；
当，且时，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析，
(2)的形状为等腰三角形，理由见解析；②24
【分析】（1）由平行四边形的性质易证，再证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得出，即可得出结论；
（2）①易证，由为中点，得出，再由、分别是、的中点，得出，由平行四边形的性质得，即可得出，则是等腰三角形；
②先证四边形是平行四边形，得出，，再证、、都是等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理求出，得出，，最后由，即可得出答案．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
点为线段的中点，
，
；
（2）①的形状为等腰三角形，理由如下：
是等腰三角形，是中点，
，
，
为中点，
，
、分别是、的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
解：四边形是平行四边形，
，，，，
、分别是、的中点，
，是的中位线，
，，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由得：，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或不合题意，舍去，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质 ( http: / / )、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．www.21-cn-jy.com
18．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点.
( http: / / / )
(1)观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由.
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，， ，判断的形状，并说明理由.
【答案】(1)，，理由见解析；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵点P，N是，的中点，
∴，，，
∵点P，M是，的中点，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：由旋转知，，
在和中，
，
∴，，
∴，，
利用三角形的中位线得，，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得， ，
∴，
同（1）的方法得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
19．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，已知在和中，．
( http: / / / )
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；21*cnjy*com
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，，再证明，得到，，则，求出
，即可利用勾股定理求出；
（2）如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，先求出，再由已知条件得到
，即可证明都是等边三角形，得到，由全等三角形的性质得到
，即可证明，推出是等边三角形，则，证明得到，再证明是
的中位线，得到，即可证明；
（3）如图所示，连接，，根据轴对称的性质得到，则，由三角形三边的关系得到，则当
三点共线时，最小，最小值为，过点G作交延长线于T，求出，，，即可求出，则
．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
( http: / / / )
（2）证明：如图所示，延长到Q使得，延长到使得，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵N是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，即，
∴；
( http: / / / )
（3）解：如图所示，连接，，
∵和关于直线成轴对称图形，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小值为，
过点G作交延长线于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
( http: / / / )
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定 ( http: / / )，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．21*cnjy*com
20．（2022秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，A（a，0）为x轴负半轴上一点，B（0，b）为y轴负半轴上一点，连接．
( http: / / / )
(1)若，求的度数；
(2)如图1，若点A的坐标为（，0），以B为顶点，AB为腰向右作等腰，点C纵坐标为c，求的值；21cnjy.com
(3)如图2，若A、B分别在x、y轴负半轴上运动，且，于点D，以OB为边向右作等边△OBE，连接交OD于点F，试问：在A、B两点的运动过程中，式子的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用绝对值与二次根式的非负性求出a和b，确定，即可求出；
（2）作，证明，，，再由即可求出结果；
（3）在线段上截取，根据等腰三角形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，得到，进而得出，易求，可证明，得出，，结合，从而问题得解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
故答案为：；
（2） ( http: / / / )
解：如图，作，
则，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中，
，，
，
，
；
故答案为：；
（3）解：不变；
( http: / / / )
如图，在线段上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，又
∴，
在与中，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查了绝对值与二次根式的 ( http: / / )非负性，等腰三角形等边对等角、三线合一，截长补短，三角形全等的判定，等边三角形的性质，转化线段是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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考点10 三角形的中位线综合（名校最新期末好题）（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2023·全国·八年级期末）如图，在中，是直角，是中位线，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（　　）21·cn·jy·com
( http: / / / )
A．3 B． C． D．4.5
2．（2023·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / / )
A． B． C． D．
3．（2023·山东烟台·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，F是延长线与的交点，若，则（ ）2·1·c·n·j·y
( http: / / / )
A．3 B．2 C． D．
4．（2022春·山东济南·八年级统考期末）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ 　）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / / )
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
5．（2022春·安徽芜湖·八年级校联考期末）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE,则CE的最大值为( ).
( http: / / / )
A． B． C． D．
6．（2022春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M为BC上异于B、C的一定点，点N为AB上的一动点，E、F分别为DM、MN的中点，当N从A到B的运动过程中，线段EF扫过图形的面积为 ( )21*cnjy*com
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A．4 B．4.5 C．5 D．6
7．（2022春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图：C，D是线段AB上两点，P是线段CD上的动点，分别以AP，BP为边在AB同侧作两个等边△APE，△BPF，M是EF的中点，已知AB＝20，AC＝BD＝2，当P从C运动到D时（无重复运动），M点的运动路径长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / / )
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点、．连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数是（ ）
( http: / / / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022春·浙江·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / / )
A． B． C． D．
10．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC，M是AC中点，CN＝2BN，BM交AN于O，BM交AH于I，若，则下面结论正确的是（　　）
①∠CAH＝∠ABC；②；③AO＝3NO；④．
( http: / / / )
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题
11．（2022秋·黑龙江大庆· ( http: / / )八年级校考期末）如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．www-2-1-cnjy-com
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12．（2022春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.若AB＝10，BC＝8，则EF的长是_____．【版权所有：21教育】
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13．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点D为△ABC的边AC的中点，点E为AB上一点，若∠AED＝150°，∠ABC＝120°，则的值为 __．21教育名师原创作品
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14．（2023·广东广州·八年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是_________21*cnjy*com
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15．（2023·北京海淀·八年级校考阶段练习）在中，，点O是所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使，且，连接DE．若，且，，则的大小为______．
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三、解答题
16．（2022春·湖南永州·八年级校考阶段练习）已知、，其中，，．将绕着点旋转．
( http: / / / ) ( http: / / / ) ( http: / / / )
(1)当旋转到图1位置，连接、交于点，连接，证明：BF平分；
(2)当旋转到图2位置，连接、，过点作于点，交于点，证明：；
(3)当旋转到图3位置，分别取、、中点为、、，连接、，请直接写出、、三者之间的数量关系．
17．（2022春·四川成都·八年级校考期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点为线段的中点．www.21-cn-jy.com
( http: / / / )
(1)求证：；
(2)若，分别是，的中点．
判断的形状并证明你的结论；
当，且时，求平行四边形的面积．
18．（2022秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点.
( http: / / / )
(1)观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由.
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，， ，判断的形状，并说明理由.
19．（2022秋·重庆·八年级统考期末）如图，已知在和中，．
( http: / / / )
(1)如图1，若，，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，若，，E、F分别为边上的动点，与相交于点M，，连接，点N是的中点，证明：；21教育网
(3)在（2）的条件下，G是的中点，，连接，H是所在平面内一点，连接，和关于直线成轴对称图形，连接，求的最小值．21cnjy.com
20．（2022秋·湖南长沙·八年级校考阶段练习）已知：在平面直角坐标系中，A（a，0）为x轴负半轴上一点，B（0，b）为y轴负半轴上一点，连接．21·世纪*教育网
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(1)若，求的度数；
(2)如图1，若点A的坐标为（，0），以B为顶点，AB为腰向右作等腰，点C纵坐标为c，求的值；版权所有
(3)如图2，若A、B分别在x、y轴负半轴上运动，且，于点D，以OB为边向右作等边△OBE，连接交OD于点F，试问：在A、B两点的运动过程中，式子的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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