专题01 相交线与平行线精选好题（原卷版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2022春·河南信阳·七年级统考期 ( http: / / )末）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）版权所有
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A．102° B．108° C．124° D．128°
2．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
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A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)
3．（2022·浙江·七年级期末）将图1中 ( http: / / )周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
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A．16 B．24 C．30 D．40
4．（2022春·河北石家庄·七年级统考期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）21cnjy.com
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
5．（2022春·河北张家口·七年级统考期 ( http: / / )末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）www.21-cn-jy.com
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A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
6．（2022春·广东肇庆·七年级统考期末）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　） 【来源：21·世纪·教育·网】
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A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
7．（2022春·江西新余·七年级统考期末）如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
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A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
8．（2022春·广东广州·七年级广州大学附属中学校联考期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（2022春·河北承德·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )
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A．° B．°
C．° D．
10．（2023春·浙江·七年级期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）21·世纪*教育网
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A．129° B．72° C．51° D．18°
二、填空题
11．（2022春·贵州黔东南·七年级统考期末）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．www-2-1-cnjy-com
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12．（2022春·山东聊 ( http: / / )城·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．21*cnjy*com
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13．（2022·江苏·七年级期末）某 ( http: / / )段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．21教育网
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14．（2022春·江西上饶·七年级统考期末）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．【来源：21cnj*y.co*m】
15．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
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16．（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．【出处：21教育名师】
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17．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知，平分，，，则___________．【版权所有：21教育】
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18．（2022·辽宁沈阳·七年级沈阳市雨田实验中学校考期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为______．21*cnjy*com
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19．（2023春·浙江·七年级期 ( http: / / )末）在一副三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
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20．（2023春·浙江·七年级期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．
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三、解答题
21．（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
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(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图（1），求的度数；
(3)如图（2）若三角板保持不动，将三角板的边与边重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，与有何数量关系？请说明理由．2·1·c·n·j·y
22．（2022·四川宜宾·七年级统考期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
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(1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ；
(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；
(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ；
如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ；
如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示)21教育名师原创作品
23．（2022·重庆沙坪坝·七年级统考期末）已知：如图，直线，于点，连接且分别交直线于点．
(1)如图①，若和的角平分线、交于点，请求的度数；
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(2)如图②，若的角平分线分别和直线及的角平分线的反向延长线交于点和点，试说明：；
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(3)如图③，点为直线上一点，连结，的角平分线交直线于点，过点作交的角平分线于点，若记为，请直接用含的代数式来表示．
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24．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
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(1)填空： （填“”“”或“”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②当时，求的度数（用含的式子表示）．
25．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．21·cn·jy·com
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(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．2-1-c-n-j-y
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题01 相交线与平行线精选好题（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2022春·河南信阳·七年级统考期 ( http: / / )末）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）版权所有
( http: / / / )
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF ( http: / / )=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．21教育网
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．【版权所有：21教育】
2．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
( http: / / / )
A．540° B．180°n C．180°(n-1) D．180°(n+1)
【答案】C
【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，作，，，
( http: / / / )
∵，
∴，，，……
∴，……
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．
3．（2022·浙江·七年级期末）将 ( http: / / )图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
( http: / / / )
A．16 B．24 C．30 D．40
【答案】D
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正 ( http: / / )方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．
【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方 ( http: / / )形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如图，
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故选：D．
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【点睛】此题考查整式加减的应用，平 ( http: / / )移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
4．（2022春·河北石家庄·七年级统考期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【分析】首先由两个角的两边分别平行， ( http: / / )可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一 ( http: / / )次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
5．（2022春·河北张家口 ( http: / / )·七年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）
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A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝ AB PC＝ AC BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
6．（2022春·广东肇庆·七年级统考期末）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　）
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A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
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（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
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（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
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（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
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（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．【来源：21·世纪·教育·网】
7．（2022春·江西新余·七年级统考期末）如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
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A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【答案】C
【详解】根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.
故选C.
8．（2022春·广东广州·七年级广州大学附属中学校联考期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EFHC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①ADBC；②GK平分∠AGC；③∠DGH=37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定 ( http: / / )理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正确；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正确；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③正确；
设∠AGM=α，∠MGK=β，
∴∠AGK=α+β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK=α+β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°+α=β+α+β，
∴β=18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
9．（2022春·河北承德·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是( )
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A．° B．°
C．° D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．
【详解】解：∵CD∥EF，
∴∠C+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°-y，
∵AB∥CD，
∴x=z+∠CEF，
∴x=z+180°-y，
∴x+y-z=180°，
故选：B．
10．（2023春·浙江·七年级期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
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A．129° B．72° C．51° D．18°
【答案】C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
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当时，如图2所示，过点G作，
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同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
二、填空题
11．（2022春·贵州黔东南·七年级统考期末）一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．
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【答案】
【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．
【详解】解：分10种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°或135°；；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°或45°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°．
故答案为：10．
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【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．
12．（2022春·山东聊城·七年级统考期 ( http: / / )末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．21·cn·jy·com
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【答案】150
【详解】首先根据直角定义可得∠COE=90°，
根据角的和差关系可得∠AOC=∠COE+∠AOE=90°+60°=150°，
根据对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=150°．
故答案为：150
13．（2022·江苏·七年级期末）某段铁路 ( http: / / )两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
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【答案】30或110/110或30
【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
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②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
( http: / / / )
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．2·1·c·n·j·y
14．（2022春·江西上饶·七年级统考期末）在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．
【答案】25°或50°
【分析】根据平行线的性质以及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵与的两边一边平行，另一边垂直，
∴有两种情况，
如下图所示：
( http: / / / )
由题意得，AC∥BD，∠A＝3∠B-10°，BC⊥AD
∵AC∥BD
∴∠C＝∠B
∵BC⊥AD
∴∠A+∠C＝90°
∴3∠B-10°+∠B＝90°，
∴∠B=25°
如下图所示：
( http: / / / )
由题意得，AN∥BM，∠A＝3∠B-10°，BH⊥AM
∵AN∥BM
∴∠A+∠M＝180°，
∵BH⊥AM
∴∠B+∠M＝90°
∴∠A-∠B＝90°
∵∠A＝3∠B-10°
3∠B﹣10°﹣∠B=90°，
∴∠B＝50°，
综上所述，∠B的度数为25°或50°，
故答案：25°或50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
15．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为______时，与平行．
( http: / / / )
【答案】2秒或38秒
【分析】分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：存在．分三种情况：
( http: / / / )
如图，与在的两侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
；
旋转到与都在的右侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
；
旋转到与都在的左侧时，
，，
，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
16．（2022春·四川成都·七年级统考期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．www.21-cn-jy.com
( http: / / / )
【答案】
【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．
【详解】分别过点，作，
( http: / / / )
∵，
∴
∵射线平分
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵射线平分
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
同理：
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．
17．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知，平分，，，则___________．
( http: / / / )
【答案】/30度
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，
( http: / / / )
则，
设，则，，
平分，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，，
又，
，
解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
18．（2022·辽宁沈阳·七年级沈阳市雨田实验中学校考期末）一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，的值为______．www-2-1-cnjy-com
( http: / / / )
【答案】或或
【分析】分①当在左边且平分时，②当在右边且平分时，③当在右边且平分时，三类讨论位置，根据平角定义列式即可得到答案．
【详解】解：①当在左边且平分时，
∵，，
∴；
②当在右边且平分时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③当在右边且平分时，
∵，
∴，
∴，
综上所述的值为或或．
【点睛】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是分类讨论位置．
19．（2023春·浙江·七年级期末）在一副 ( http: / / )三角尺中∠BPA=45°，∠CPD=60°，∠B=∠C=90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t =______秒时，两块三角尺有一组边平行．
( http: / / / )
【答案】6或9或15或33
【分析】分五种情形分别构建方程即可解决问题．
【详解】解：根据题意，∠MPA=2t，∠NPD=3t，
当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
则运动时间为t=(秒)；
当PA∥CD时，即∠APC=∠C=90°，∠CPD=60°，
( http: / / / )
∴∠MPA+∠APC+∠CPD+∠NPD=180°，即2t+90+60+3t =180，
解得：t =6(秒)；
当PD∥AB时，即∠B=∠BPD=90°，∠BPA=45°，
( http: / / / )
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+90+3t =180，
解得：t =9(秒)；
当CD∥AB时，即PB与PC重合，∠BPA=45°，∠CPD=60°，
( http: / / / )
∴∠MPA+∠BPA+∠BPD+∠NPD=180°，即2t+45+60+3t =180，
解得：t =15(秒)；
当CP∥AB时，则四边形BECP为长方形，∠CPB=90°，
( http: / / / )
∴∠D=∠BPD=30°，
∴∠APD=∠APB-∠BPD =45°-30°=15°，
∴∠MPA+∠APD+∠NPD=180°，即2t+15+3t =180，
解得：t =33(秒)；
当CD∥PA时，则∠D=∠APD=30°，
( http: / / / )
∴∠MPA +∠NPD-∠APD =180°，即2t+3t-30 =180，
解得：t =42>40，不符合题意；
综上，当运动时间t 为6或9或15或33秒时，两块三角尺有一组边平行．
故答案为：6或9或15或33．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21cnjy.com
20．（2023春·浙江·七年级期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是______．
( http: / / / )
【答案】4
【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠ME=(∠BME-1+∠DME-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答．
【详解】解：如图：作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE,
∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128°
同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，
∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°
…
∠ME=(∠BME-1+∠DME-1) =
由题意得：=8°，解得n=4．
( http: / / / )
故答案为4．
【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．
三、解答题
21．（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
( http: / / / )
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图（1），求的度数；
(3)如图（2）若三角板保持不动，将三角板的边与边重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，与有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)与互补，理由见解析
【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据的度数可得，再根据可得；
（2）再根据直角三角板的性质可直接得出结论；
（3）当分两种情况：与有重叠部分时和当与没有重叠部分时．
【详解】（1）若，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴；
（3）与互补．
当与有重叠部分时，
∵，
∴．
∵，
∴，
当与没有重叠部分时，
，
又∵，
∴．
【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义，垂直的定义以及三角形内角和定理等知识的综合运用，解决本题的关键是掌握：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角．
22．（2022·四川宜宾·七年级统考期末）几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
( http: / / / )
(1)导入：如图①，已知，如果，，那么 ；
(2)发现：如图②，已知，请判断与，之间的数量关系，并说明理由；
(3)运用：(i)如图③，已知，，点、分别在、上，，如果 ，那么 ；
如图④，已知，点、分别在、上， 、分别平分和． 如果，那么 ；
如图⑤，已知，点、分别在、上， 、分别平分和，且． 如果，那么 ．(用含的代数式表示)
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)(i)； (ii)； (iii)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可求解；
（2）过点作，根据（1）的方法即可求解；
（3）（）由（2）可得， ，得出，根据，即可求解；
（）由“猪蹄模型”，可得，，根据角平分线的性质得出，继而根据，即可求解；
（）如图所示，延长交于点，设，，根据平行线的性质得出，，根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，
( http: / / / )
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：．
（2）,
如图所示，过点作，
( http: / / / )
，
，
，
，
，
；
（3）解：（）由（2）可得， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
( http: / / / )
（）解：如图所示，∵
由“猪蹄模型”，可得，；
∵、分别平分和
∴
∴
∴，
∴,
故答案为：．
( http: / / / )
（）解：如图所示，延长交于点，
( http: / / / )
设，
∵、分别平分和，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴
∴
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定求角度，掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（2022·重庆沙坪坝·七年级统考期末）已知：如图，直线，于点，连接且分别交直线于点．21·世纪*教育网
(1)如图①，若和的角平分线、交于点，请求的度数；
( http: / / / )
(2)如图②，若的角平分线分别和直线及的角平分线的反向延长线交于点和点，试说明：；
( http: / / / )
(3)如图③，点为直线上一点，连结，的角平分线交直线于点，过点作交的角平分线于点，若记为，请直接用含的代数式来表示．
( http: / / / )
【答案】(1)
(2)说明见解析
(3)
【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义可得，；，即，过点M作直线交于点，可得,，进而可得．
（2）过点C作直线，由平行线的性质可得，由题意得，可得，由角平分线的定义可得，由得，由对顶角相等可得，可得；2-1-c-n-j-y
（3）由题意可知，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，，进而可得，由，，，即，可得，进而可求．【出处：21教育名师】
【详解】（1）∵，
∴．
∵、分别平分和，
∴；，
∴，
过点M作直线交于点，，
∵，
∴，
∴,，
∴．
( http: / / / )
（2）过点C作直线，
∵，
∴，
∴.
又∵
∴
又∵、分别平分和，
∴
∵，
∴
又∵
∴．
( http: / / / )
（3）．
理由如下：由题意可知，
∵，
∴，即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，，
则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，理解平行线的性质，利用其性质转换角度之间的关系是解决问题的关键．
24．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
( http: / / / )
(1)填空： （填“”“”或“”）；
(2)若的平分线交直线于点，如图②．
①当，时，求的度数；
②当时，求的度数（用含的式子表示）．
【答案】(1)
(2)①；②的度数为 或
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【详解】（1）解：过点作，
( http: / / / )
，
，
，
，
，
故答案为：
（2）①，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
；
②点在的右侧时，如图②，
( http: / / / )
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，
( http: / / / )
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为 或．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
25．（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．21*cnjy*com
( http: / / / )
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．21教育名师原创作品
【答案】(1)；见解析
(2)见解析
(3)的大小不会发生变化，其值为，见解析
【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知，进而可证；
（2）利用（1）中平行线的性质推知，然后根据角平分线的定义、三角形内角和定理证得，结合，可证；21*cnjy*com
（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；再由邻补角的定义、角平分线的定义推得，然后由图形中角与角的和差关系求得即可．
【详解】（1）如图1，∵与互补，
∴．
又∵，，
∴，
∴；
（2）如图2，由（1）知，，
∴．
又∵与的角平分线交于点P，
∴，
∴，即．
∵，
∴；
（3）的大小不会发生变化，其值为理，由如下：
∵
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴的大小不会发生变化，其值为．
【点睛】本题考查了平行线的性 ( http: / / )质与判定，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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