湖南省岳阳市2023年中考数学考前冲刺试卷
一、单选题(共8题；共24分)
1．（3分）5的绝对值是（　　）
A． 5 B．-5 C． D． .
2．（3分）下列运算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方体块搭成，它的俯视图是(　　)
A． B． C． D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣2x+3=0根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．（3分）边长为 的正六边形的面积等于（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．70°
7．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是(　　)
A．70° B．110° C．130° D．140°
8．（3分）函数y＝ax2＋1的图像经过点（－2，0），则 的方程 的实数根为（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题(共8题；共32分)
9．（4分）分解因式： =　 　．
10．（4分）3月无锡市商品房平均每平方价格为7500元，7500元用科学记数法表示为　 　元．
11．（4分）抛物线的顶点坐标是　 　
12．（4分）若两个连续的整数、满足，则的值为　 　 ．
13．（4分）如图，以点 为位似中心，把 放大2倍得到 '，① ；② ；③ ；④点 、 、 三点在同一直线上.则以上四种说法正确的是　 　．
14．（4分）如图，△AOB，AB∥x轴，OB＝2，点B在反比例函数y＝ 上，将△AOB绕点B逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴的正半轴上时，AB的对应边A′B恰好经过点O，则k的值为　 　．
15．（4分）已知圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的底面圆半径为　 　．
16．（4分）如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点B、 C分别在边OM、ON上，当B在边OM上运动时，C随之在边ON上运动.若CD=3，BC=8，运动过程中，点D到点O的最大距离为　 　.
三、解答题(共8题；共64分)
17．（6分）计算：.
18．（6分）如图，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的关系，并说明理由．
19．（8分）如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）（4分）求反比例函数的解析式；
（2）（4分）点也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
20．（8分）为迎接建党100周年、巴中市组织了多形式的党史学习教育活动，某校开展了以“听党话、跟党走”为主题的知识竞赛，成绩以A、B、C、D四个等级呈现.现将九年级学生成绩统计如图所示.
（1）（1分）该校九年级共有　 　名学生，“D”等级所占圆心角的度数为　 　；
（2）（3分）请将条形统计图补充完整；
（3）（3分）学校从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选2名同学参加全市现场党史知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4.从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理.
21．（8分）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
（1）（4分）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）（4分）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
22．（8分）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
23．（10分）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答：
（1）（2分）如图1，白天在阳光下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 .
①若木杆 的长为 ，则其影子 的长为　 　 ；
②在同一时刻同一地点，将另一根木杆 直立于地面，请画出表示此时木杆 在地面上影子的线段 ；　 　
（2）（6分）如图2，夜晚在路灯下，小彬将木杆 水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段 .
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点 ；
②若木杆 的长为 ，经测量木杆 距离地面 ，其影子 的长为 ，则路灯 距离地面的高度为 .
24．（10分）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 ．
（1）（2分）求 满足的关系式及 的值；
（2）（2分）当 时，求抛物线解析式，并直接写出当 时 的取值范围．
（3）（3分）当 时，若 的函数值随 的增大而增大，求 的取值范围；
（4）（3分）如图，当 时，在第二象限的抛物线上找点 ，使 的面积最大，求出点 坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： 5的绝对值是 5.
故答案为：A。
【分析】一个正数的绝对值等于它本身。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A、只有同类项才能合并，x2+x4不能计算，因此A不符合题意；
B、( x3 ) 2=x6，因此B符合题意；
C、只有同类项才能合并，2a+3b不能计算，因此C不符合题意；
D、x6÷x3=x3 ( x ≠ 0 )，因此D不符合题意。
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义，只有同类项才能合并，可对A、C作出判断；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断，即可得出答案。
3．【答案】C
【解析】【解答】这个几何体的俯视图有2列，从左往右小正方形的个数分别是2，2，
故答案为：C.
【分析】俯视图：从物体上面所看的平面图形，据此判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：x2﹣2x+3=0，
△=（﹣2）2﹣4×1×3＜0，
所以方程没有实数根，
故选A．
【分析】求出△的值，再判断即可．
5．【答案】C
【解析】【解答】边长为a的等边三角形的面积是 ，则边长为a的正六边形的面积等于6× = ．
故答案为：C.
【分析】先求出边长为a的等边三角形的面积是 ，再计算求解即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，∵D是 的中点，∴ ，∴BD=CD，根据等腰三角形的内角和．∴∠DBC=∠DCB= =50°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据等腰三角形的性质，即可求解.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O ，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=110°，
故答案为：B.
【分析】由题意可得四边形ABCD内接于⊙O，依据圆内接四边形的性质即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=- ，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程- （x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故答案为：A．
【分析】本题主要考察一元二次方程与二次函数的关系，把点的坐标代入解析式 ，再用直接开平方法解方程即可求得，掌握一元二次方程与二次函数的关系是突破口，正确解方程是关键。
9．【答案】a（a﹣b）
【解析】【解答】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【分析】直接提取公因式a即可分解因式.
10．【答案】7.5×103
【解析】【解答】解：7500=7.5×103．
故答案为：7.5×103．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于7500有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．
11．【答案】
【解析】【解答】∵抛物线的解析式是，
∴它的顶点坐标是.
故答案是：.
【分析】抛物线（a≠0）的顶点坐标为（h，k），据此解答即可.
12．【答案】
【解析】【解答】∵，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：
【分析】先求出，再求出，，最后求解即可。
13．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，
∴ ，故②符合题意；
由位似图形中，对应边平行可知： ，故①符合题意；
∵ 放大2倍得到 ，
∴ ，
∴ ，故③不符合题意；
由位似图形中对应点的连线都经过同一点，
∴点C、点O、点C’三点在同一直线上，故④符合题意；
故答案为：①②④．
【分析】根据以点 为位似中心，把 放大2倍得到 ，对每个选项一一判断求解即可。
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝∠BOO′，
∵∠ABO＝∠A′BO′，
∴∠BOO′＝∠OBO′，
∴OO′＝O′B，
∵OB＝BO′，
∴△BOO′是等边三角形，
∴∠BOO′＝60°，
∵OB＝2，
∴B（1， ）；
∵双曲线y＝ 经过点B，
∴k＝1× ＝ ，
故答案为 ．
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠ABO＝∠BOO′，根据旋转的性质得出∠ABO＝∠A′BO′，故∠BOO′＝∠OBO′，根据等角对等边得出OO′＝O′B，根据旋转的性质得出OB＝BO′，利用三边相等的三角形是等边三角形得出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出B点的坐标，再将B点的坐标代入 y＝ 即可算出k的值，从而得出答案。
15．【答案】3cm
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面积得
解得
故答案为
【分析】设圆锥的底面半径为r，通过圆锥的侧面积建立一个关于r的方程，解方程即可.
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点E，连接OE、DE、OD，
∵ ，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵CD=3，BC=8，∠DCB=90°，
∴OE=EC= BC=4，
DE= ，
∴OD的最大值为：4+5=9.
故答案为9.
【分析】如图，取BC的中点E，连接OE、DE、OD，由 可得当当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，进而根据直角三角形斜边中线定理及勾股定理可求解.
17．【答案】解：原式=
=
=3.
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及算术平方根的概念可得原式=×3+2÷1-，然后计算乘除法，再计算加减法即可.
18．【答案】解：EF=BE﹣CF．
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
又∵ED∥BC，∴∠EDB=∠DBC；
∴∠ABD=∠EDB，∴BE=ED；
同理可证：CF=FD；
∵EF=ED﹣FD，
∴EF=BE﹣CF
【解析】【分析】此题主要根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角，发现两个等腰三角形：△BDE和△CDF，即可得出所求的结论．
19．【答案】（1）解：把B（m，2）代入y=x+1中，得2=m+1．
∴m=1．
∴点B（1，2）．
把B（1，2）代入y＝中，得2＝，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：把点D(2，n)代入反比例函数，得n＝=1，
∴，
如图：过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，延长EB、FD相交于A，
则四边形AEOF是矩形，
∴A(2，2)，
∴
=
=1.5．
【解析】【分析】（1）先求出点B的坐标，再将点B的坐标代入求出k的值即可；
（2）过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，延长EB、FD相交于A，先求出点A的坐标，再利用割补法求出△DOB的面积即可。
20．【答案】（1）500；36°
（2）解：B等级的人数为：500 150 100 50＝200（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：此规则不合理，理由如下：
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，选甲乙的结果有8种，选丙丁的结果有4种，
∴选甲乙的概率为 ＝ ，选丙丁的概率为 ＝ ，
∵ ＞ ，
∴此规则不合理.
【解析】【解答】解：（1）该校九年级共有学生：150÷30%＝500（名），
则D等级所占圆心角的度数为：360°× ＝36°，
故答案为：500，36°；
【分析】（1）利用A的人数除以所占的比例可得总人数，利用D的人数除以总人数，然后乘以360°可得D所在扇形圆心角的度数；
（2）求出B等级的人数，据此补全条形统计图；
（3）画出树状图，找出总情况数以及选甲乙、选丙丁的情况数， 根据概率公式求出选甲乙、选丙丁的概率。进而比较即可.
21．【答案】（1）解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得，
解得：．
答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元
（2）解：设购买B种防疫物品m件，则购买A种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
∴m的最大值为100．
答：B种防疫物品最多购买100件．
【解析】【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买B种防疫物品m件，则购买A种防疫物品件，根据题意列出不等式求解即可。
22．【答案】解：过B点作BD⊥AC，垂足为D．
根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，
在Rt△ABD中，
∵cos∠ABD= ，
∴cos37°= ≈0.80，
∴BD≈10×0.8=8（海里），
在Rt△CBD中，
∵cos∠CBD= ，
∴cos50°= ≈0.64，
∴BC≈8÷0.64=12.5（海里），
∴12.5÷30= （小时），
∴ ×60=25（分钟）．
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处．
【解析】【分析】首先B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：∠ABD=∠BAM=37°，∠CBD=∠BCN=50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，继而求得答案．
23．【答案】（1）1；如图所示，线段 即为所求；
（2）①如图所示，点 即为所求；
②过点 作 分别交 、 于点 、
∵ ∥
∴
， ，
解得： ，
路灯 距离地面的高度为3米.
【解析】【解答】解：（1）①根据题意： ∥ ， ∥ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ；
故答案为：1；
【分析】（1）①利用太阳光线的投影是平行投影，可证得四边形是平行四边形，可证得AB=A'B'，即可求出A'B'的长；
②利用太阳光线的投影是平行投影，过点C作CM∥BB'，交A'D于点M，DM就是木杆AB的影子；
（2）①利用路灯灯泡是中心投影，因此连接E'E，F'F并延长交于点，点P的位置就是灯泡的位置；
②过点P作PH⊥E'F'，交EF，E'F'于点G，H，可得到EF∥E'F'，可推出△PEF∽△PE'F'，利用相似三角形的对应边成比例，可求出PG的长，即可得到PH的长.
24．【答案】（1）解：将y=0代入 中，解得：x=-2；将x=0代入 中，解得：y=2
∴点A的坐标为（-2,0），点B的坐标为（0,2）
将点A、B的坐标代入 中，得
解得：b=2a＋1，c=2
（2）解：∵
解得：
∴抛物线解析式为
抛物线的对称轴为：直线x= =
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ×2－（-2）=3
由图象可知：当 时，-2＜x＜3
（3）解：抛物线的对称轴为直线x= ，开口向下
∴x≤ 时，y随x的增大而增大
∵当 时，若 的函数值随 的增大而增大，
∴ ≥0
∴2a＋1≥0
解得：a≥
∴
（4）解：当 时，抛物线的解析式为
过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q
设点P的坐标为（x， ），则点Q的坐标为（x， ）
∴PQ=（ ）－（ ）=
∴S△PAB= PQ·
= （ ）×2
=
=
∴当x=-1，S△PAB最大，S△PAB最大值为1
此时点P的坐标为（-1,2）
【解析】【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入二次函数解析式中即可求出结论；（2）联立方程即可求出a和b的值，从而求出抛物线的解析式，然后求出抛物线的对称轴，即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，最后根据图象即可求出结论；（3）用含a的式子表示出抛物线的对称轴，然后根据抛物线对称轴两侧的增减性即可求出结论；（4）先求出抛物线的解析式，过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q，设点P的坐标为（x， ），则点Q的坐标为（x， ），从而求出PQ，然后利用“铅垂高，水平宽”即可求出S△PAB与x的函数关系式，然后利用二次函数求最值即可求出结论