皖北五校2023届高三下学期5月冲刺数学试题（五）（含解析）
皖北五校 2023 届高三下学期 5 月冲刺
数学试题（五）及参考答案
一、单选题
1．若集合 A y y 1 ,B x 2x 1 ，则 A B （ ）
A． ( , 0) B．[ 1,0) C． D．R
2．已知复数 z满足 (1 2i)z | 3 4i |，则复数 z的虚部为（ ）
A．2 B． 2i C． 2 D． i
3．若 1 x 3 1 x 4 1 x 5 1 x 2012 a0 a1 x a 2 20122 x a2012 x ，则a3等于
（ ）
A C4 3． 2012 B．C2013 C．C
4
2013 D．C
5
2012
4．已知 A，B，C为球 O的球面上的三个点，若 AB BC， AC 2，球 O的表面积为
36π，则三棱锥O ABC的体积最大值为（ ）
A 3 B 2 C 2 3 D 2 2． ． ． ．
3 3 3 3
5．若直线 l : 3x 4y a 0 a R 与圆O : x2 y2 9交于不同的两点 A、B，且
OA 5 OB AB ，则a （ ）
2
A． 5 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 5
6．若单位向量 a，b满足 a 2b a，则 a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6 3 2
7．已知三棱锥 P-A BC中， PA 底面 ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱
锥 P-A BC的外接球的表面积为（ ）
A．12 B．16
C． 20 D．24
8．已知 a e0.1 1，b ln1.1， c tan0.1，则( )
A． c a b B． a c b
C．b a c D． a b c
1
9．某体育品牌的 LOGO为 ，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函
数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ）
A． f x sin 5x cos x
2 x x
B． f x
2 2x 2 x
f x cos5x sin 5xC． 2x 2 x D．
f x
2x 2 x
二、多选题
10．某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛.在歌唱比赛中，由 9名专业人士和 9
名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组A，
小组 B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则（ ）
A．小组A打分的分值的众数为 47
B．小组 B打分的分值第 80百分位数为 69
C．小组A更像是由专业人士组成
D．小组 B打分的分值的均值小于小组A打分的分值的均值
11．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E， F ，G分别为 A1B1， B1C1，
B1B的中点，若点 P在线段 EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）
A． AC1与 EF 为共面直线
B．平面 ACD1∥平面 EFG
C．三棱锥 P AD1C的体积为定值
D． AC1与平面 A1BC所成角的正切值为 3
2
12．已知抛物线 C的顶点为 O，焦点为 F，圆 F的圆心为 F，半径为 OF.平面内一点 P
满足 OP OF ，过 P分别作 C和圆 F的切线，切点分别为 M，N（均异于点 O），则下
列说法正确的是（ ）
A． PM∥ON B． PM PF
C．M，N，F三点共线 D． PF ON OP OF
三、填空题
mx
13．函数 f (x) ln x 与 g(x) x2 1有公切线 y ax a 0 ，则实数m的值为
x 1
__________．
14．定义在 R上的函数 f x 满足以下两个性质：① f x f x 0，
② f 1 x f 2 x ，满足①②的一个函数是______．
3
15．甲、乙两人进行围棋比赛，采用3局 2制．已知每局比赛甲胜的概率为 ，且第一
5
局比赛甲胜，则最终甲获胜的概率是_____．
16．足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的 B底线宽 AB 72码，球
门宽 EF 8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往
需要找到一点 P，使得 EPF最大，这时候点 P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于
边线上的点 O处 (OA AB,OA AB)时，根据场上形势判断，有OA、OB两条进攻线
路可供选择．若选择线路OB，则甲带球______码时，到达最佳射门位置．
四、解答题
17．已知 an 为等差数列，且an 1 2an 2n 3．
(1)求 an 的首项和公差；
1 ,n 3k 2 60
(2)数列 bn 满足b
n ak ak 1 ，其中 k、 n N ，求 bi ．
1
n
an,3k 1 n 3k
i 1
3
18．在平面直角坐标系 xOy中，角
3 4
的终边与单位圆交于点 , ，求下列各式的值.
5 5
(1) cos
2 2
；
sin
cos( )
(2) 2 .
sin( ) cos( )
19．Chat GPT是由Open AI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球，chat
G PT的开发主要采用 RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.第一
阶段：训练监督策略模型.对抽取的 prompt数据，人工进行高质量的回答，获取
用上一阶段训练好的数学模型，生成 k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给
出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉损失函数得到：
n n
Loss yiln yi ， ，其中 yi 0,1 ， yi 0,1 ，且 yi 1 .第一阶段：实验与强化模
i 1 i
型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大奖以符合人工的选择取向.
(1)若已知某单个样本，共真实分布 y y1, y2 , , y10 0,0,0,0,1,0,0,0,0,0 ，共预测近似
分布 y y1, y2 , , y10 0,0.2,0,0,0.7,0,0,0.1,0,0 ，计算该单个样本的交叉损失函数
Loss的值；
(2)某次测试输入的问题中出现语法错误的概率为 5%，如果输入问题没有语法错误，chat
GPT的回答被采纳的概率为 90%，如果出现语法错误，chat GPT的回答被采纳的概率
为 50%.
①求 chat GPT的回答被采纳的概率；
②已知 chat GPT的回答被采纳，求该测试输入的问题没有语法错误的概率.
参考数据： lnZ 0.69 . ln5 1.609， ln 7 1.946
4
20．如图所示，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAB 平面 ABCD， ABC BAD 90 ，
且 PA PB AB AD 2BC 2，设平面 PAB与平面PCD的交线为 l．
(1)作出交线 l（写出作图步骤），并证明 l 平面 PAD；
(2)记 l与平面 ABCD的交点为Q，点 S在交线 l上，且 PS PQ(0 1)，当二面角
S AC B 6的余弦值为 ，求 的值．
4
21．已知 ABC三个顶点是 A(1, 4)， B( 2, 1)，C(2,3)
(1)求 BC边上的垂直平分线的直线方程：
(2)求点 A到 BC边所在直线的距离及 ABC的面积.
1
22 2．已知函数 f x a ln x x a 1 x a 0 ．
2
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)设函数 g x 3 a x f x 有两个极值点 x1, x2 x1 x2 ，证明：
g x1 g x2 10 ln a．
5
参考答案：
1．B
【分析】根据指数函数性质解指数不等式得集合 B，再根据交集的概念运算即可.
【详解】解：由于 2x 1 20，所以 x 0，则 B x x 0 , 0 ，又
A y y 1 1, ，
所以 A B [ 1,0) .
2．A
【分析】利用复数的模公式及复数的除法法则，结合复数的定义即可求解.
【详解】由题意可知 | 3 4i | 32 42 25 5，
5 5 1 2i
由 (1 2i)z
| 3 4i |，得 z 1 2i1 2i 1 2i 1 2i ，所以复数 z的虚部为 2 .
3．C
【分析】由已知条件可知a3为展开式中 x3的系数，利用二项式定理及组合数的性质即可得
出答案.
【详解】解：由已知条件可知a3为展开式中 x3的系数，
则a3 C
3 3
3 C4 C
3 C3 C 4 3 3 3 45 2012 4 C4 C5 C2012 C5 C
3 C3 C4 35 2012 6 C2012
C4 3 42012 C2012 C2013 .
4．D
【分析】利用球的表面积公式及直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，结合勾股定理及
重要不等式，再利用棱锥的体积公式即可求解.
【详解】设球O的半径为 R ,则 4πR2 36π，所以 R 3，
因为 AB BC， AC 2，
1
所以 ABC的外接圆的半径为 AC 1，
2
所以点O到平面 ABC的距离为 32 12 2 2，
设 AB a,BC b，则 a2 b2 4，所以 ab 2，当且仅当a b 2成立
6
O ABC 1 ab 2 2 2 2所以三棱锥 的体积为 .
3 2 3
5．A
4 5
【分析】根据题意分析可得 OA OB 2d ，则 AB d，根据垂径定理和点到直线
5
的距离公式计算求解．
【详解】设圆心 O到直线 l的距离为 d，
∵ OA OB ，则以OA,OB为邻边的平行四边为菱形，即 OA OB 2d
5
由 OA OB AB ，即 2d 5 AB AB 4 5 ，则 d
2 2 5
1 uuur
2
2 4 2
又由垂径定理可知 d 2 AB 9，即 d d 9
2 5
0 0 a
解得 d 5则 d 5，解得2 2 a 5 5．3 4
6．B
1
【分析】先求出 a b ，然后用夹角公式求解.
2
r r r
【详解】由 a 2b a，得 a 2b a 0，
1
所以 a b ，所以 cos a,b
a b 1
，
2 | a | | b | 2
r r
又 a,b 0, ，所以 a,b .
3
7．C
【分析】由PA 平面 ABC，可将此三棱锥补成直三棱柱，则三棱柱的外接球就是三棱锥的
外接球，
三棱柱上下两个底面的外心连线的中点就是球心，然后通过计算可得外接球的半径，从而可
求得外接球的表面积.
【详解】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球O，D,D 为上下底面的外心，
O为DD 的中点， AD为底面外接圆的半径，
由余弦定理得 BC AB 2 AC 2 2AB AC cos120 2 3
7
2 3
由正弦定理得 2AD 4 ，由OD 1,AD 2，得
sin120
AO 5，
所以球O的表面积为 S 4 r 2 20 ．
8．B
【分析】对于 a和 c，可构造函数 f x ex 1 tanx,0 x π ，
4
利用导数判断其单调性即可判断 a、c大小；b ln1.1 ln 0.1 1 ，可构造函数
h x ln x 1 x 判断b ln1.1与 0.1的大小，构造函数m x x tan x判断 0.1与 c tan0.1
大小，从而可判断 b、c大小．
f x ex 1 tan x e
x cos x cos x sin x π
【详解】①令 ,0 x ，
cos x 4
令 g x ex cos x cos x sin x，
g x sin x cosx e x sin x cosx e x 1 cosx sin x ，
π
当 0 x 时， g x 0, g x 单调递增，
4
又 g 0 0，∴ g x 0，又 cos x 0，
∴ f x 0 0, π 在 成立，∴ f 0.1 0，即 a c；
4
②令 h x ln x 1 x ，则 h x 1 x 1 ，
x 1 x 1
x 在 0,
π
时， h x 0，则 h x 为减函数，
2
∴ h x h 0 0，即 ln x 1 x；
③令m x x tan x m x 1 1，则 2 0，故m x x
0, π在
为减函数，cos x 2
m x m 0 0 ln x 1 x tanx, x 0, π∴ ，即 x tanx；∴ 2 ，
令 x 0.1，则 ln 0.1 1 0.1 tan0.1，
即b 0.1 c，∴b c，∴b c a．
9．C
【分析】根据函数的对称性即特殊点的函数值，利用排除法即可得解.
【详解】解：有图象可知，函数图像关于 y轴对称，即函数为偶函数，
8
f x sin 5x sin 5x对于 A， x x x f x ，故函数为偶函数，2 2 2 2x
当 x 0时， sin 5x 0，2 x 2x 0，则 f x 0，与图像矛盾，故排除 A；
对于 B， f x cos x
2 x 2x
f x ，所以函数为奇函数，故排除 A；
cos 5x
对于 C， f x
cos5x
f x
2x 2 x 2 x 2x
，故函数为偶函数，
当 x 0时， cos5x 0， 2 x 2x 0，则 f x 0，符合题意，故 C符合；
sin5x
对于 D， f x fx x 2 2 x ，所以函数为奇函数，故排除 D.
10．AC
【分析】由众数的定义判断 A；由百分位数的定义判断 B；根据数据波动性大小判断 C；计
算两组均值判断 D，进而可得正确选项.
【详解】由折线图知，小组A打分的分值分别为： 42, 47, 45, 46,50, 47,55,50, 47，
小组 B打分的分值分别为：55,36,70,66,75,68,68,62,58，
按照从小到大的顺序排列为：36,55,58,62,66,68,68,70,75，
对于 A：小组A打分的分值的众数为 47，故选项 A正确；
对于 B：小组 B打分的分值第 80百分位数为9 80% 7.2，所以应排序第8，所以小组 B打
分的分值第 80百分位数为 70，故选项 B不正确；
对于 C：小组A打分的分值比较均匀，波动较小，故小组A更像是由专业人士组成，故选项
C正确；
对于 D：小组A打分的分值的均值小于55，
55 36 70 66 75 68 68 62 58
小组 B打分的分值均值为 62 55
9
所以小组 B打分的分值的均值大于小组A打分的分值的均值，故选项 D不正确；
11．BC
【分析】根据棱柱的结构特征可得 EF∥AC，即可判断 A；利用线面平行和面面平行的判定
定理即可判断 B；由题意得点 P到平面 ACD1的距离等于点 E到平面 ACD1的距离，且为定值，
即可判断 C；建立以D为原点的空间直角坐标系D xyz，利用向量法求 AC1与平面 A1BC所
成角，即可判断 D．
9
【详解】对于 A：连接 A1C1，如图所示：
E， F 分别为 A1B1， B1C1 的中点， A1C1∥EF，
在正方体 ABCD A1B1C1D1中， A1C1 AC，
∴EF∥AC，而 AC1 AC A， AC1与 EF 为异面直线，故 A错
误；
对于 B：连接BC1，
点 F ，G分别为 B1C1，B1B的中点， FG∥BC1，又 AD1∥BC1， FG∥ AD1
FG 平面 ACD1， AD1 平面 ACD1， FG∥平面 ACD1，
由选项 A得 EF∥AC ， EF 平面 ACD1， AC 平面 ACD1， EF ∥平面 ACD1，
又EF FG F ，EF 平面 EFG，FG 平面 EFG， 平面 ACD1∥平面 EFG，故 B正确；
对于 C：由选项 B得 EF ∥平面 ACD1，
点 P在线段 EF 上运动，
点 P到平面 ACD1的距离等于点 E到平面 ACD1的距离，且为定值，
又 AD1C的面积为定值，则三棱锥 P AD1C的体积为定值，故 C正确；
对于 D：建立以D为原点的空间直角坐标系D xyz，如图所示：
则D 0,0,0 ，A 2,0,0 ，B 2,2,0 ，A1 2,0,2 ，C1 0,2,2 ，
C 0,2,0 ，
AC1 ( 2, 2, 2),CA1 (2, 2, 2),BA1 (0, 2, 2)，
r
设平面 A1BC的一个法向量为 n x, y, z ，
n CA1 2x 2y 2z 0
则 ，取 y 1，则 z 1， x 0，
n BA1 2y 2z 0
A 平面 1BC的一个法向量为 n 0,1,1 ，
设 AC1与平面 A1BC所成角为 ，
10
n
sin cos AC , n
AC1 4 6
1 n
，
AC1 2 3 2 3
sin
cos 1 sin2 3 ， tan 2，故 D错误．
3 cos
12．ABC
【分析】设抛物线方程，可得圆的标准方程，设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，切线 PM的方程，利
用直线与抛物线、直线与圆的位置关系分别求出两条切线方程，进而求出点 P的坐标，结
2 2 2
y2
px p x
合 1 2px1、 x
y
1 y2 2 2 21 、
2
2 p 2
px2 x2 、 y1 y 、
y1 2 ，利用平面向量的坐标表示化
2 y2
简计算，依次求解即可.
p
【详解】设抛物线方程为 y2 2 px( p 0)，则 F ( ,0)，
2
p p2
所以圆 F的方程为 (x )2 y2 ，即 x2 y2 px 0 .
2 4
M x , y ,N x , y y2 2px x2设切点分别为 1 1 2 2 ，则 1 1， 2 y22 px2 0，
x y
2
有 1 2 21 ， y px x .2 p 2 2 2
易知两条切线的斜率存在，设切线 PM的方程为 y y1 k(x x1)，
y y1 k (x x1 )
x y2
2p y 2p则 2 ，消去 ，得 y 2px 0
y 2px
，
k k 1 1
( 2 p)2 4 2 p y1 ( 2 px1) 0
2 2 2
，整理得 4 p 8pky1 4k y1 0，k k
p
即 (2 p 2ky 21) 0 ，得 2p 2ky1 0，即 k ，k
所以切线 PM的方程为 y y
p
1 (x xy 1
)，即 yy1 p(x x1 ) .
1
PN (x p p
2
同理可得切线 的方程为 )(x2 ) yy
p
2 ，2 2 4
y px2
令 x 0，分别得 y 1 ， y 2y ，2 2
y y px2 px2 2 p2x2
由OP OF，知点 P在 y轴上，为 P(0, 1 )，由 1 y y 22y ，得 1 y ，有 1 2 .2 2 2 2 y2
2 2
又PM (x1, y
y
1) ( y1 , y1 px2 px2 px21 ) ( , ) (x , y ) ，ON (x , y )，2 2 p 2 2 y 2 2 y 2 y 2 2 2 2 22 2 2
所以 PM 与ON共线，即 PM / /ON，故 A正确；
11
PM (x , y y
又 11 1 ) (x1,
y1) p 1，PF ( , y )，
2 2 2 2 1
PM PF p x 1 2 1 1所以
2 1
y px
4 1 2 1
2px 0，即 PM PF ，故 B正确；
4 1
又
FM (x p , y ) ( y
2
1 p , px2) ( px
2
2 py
2
2 , px2) ( px
2
2 p (px2 x
2
2 ), px2) px2 2x p 1 1 2 2
2
2 2 p 2 y 2 y y 2 y y y 2
( , y2)
2 2 2 2 2 2 2
FN (x p2 , y ) (
2x p
2
2 , y2 )，2 2
所以 FM 与 FN共线，所以M ,N ,F三点共线，故 C正确；
因为 FN PN，M ,N ,F
p p
三点共线，所以 x1 x2 ，得 y2 1
p, y2 ，2
p 2 2
所以M ( , p),N (
p , p),P(0, p) p p p p，得 ON PF , OP OF ，
2 2 2 2 4 4 2 2
2 2
有 ON PF p ,OP OF p ，所以 PF ON OP OF 不成立，故 D错误.
2 4
【点睛】求解圆锥曲线在某点出的切线方程时，考虑切线斜率存在与否，若存在，设切线方
程，利用直线与圆锥曲线的位置关系令Δ 0，求出参数，解出切线方程，结合题意即可解
决有关空间中位置关系或距离关系的问题.
13．4
【分析】根据题意，设两个函数的切点分别为 F 、G，求出函数的导数，由 g(x)的导数分
析可得 a的值，即可得公切线为 y 2x，据此可得关于m的方程组，解可得m的值，即可得
答案．
f x lnx mx【详解】根据题意，函数 与 g x x2 1有公切线 y ax(a 0)，
x 1
1 m
设切点分别为 F(x1， y1)，G(x 2 ， y2 )， f (x) , g (x) 2xx (x 1)2 ；
x 2 1
所以 a 2x 22 0且 2x2 x2 1,a 2x ，所以公切线为
y 2x，
2
12
lnx mx 11 2x1
x1 1
则有 lnx1 2x
2
1 x1 1 0 ，
1 m 2
x (x
2
1 1 1)
4(x 1 )2 15
设 h x lnx 2x2 x 1(x 0) h x 1 4x 1 8 16 0，则 h(x)在 (0, ) 上递增，
x x
又 h(1) 0，故 x1 1，m 4，
π
14． f x sin x（答案不唯一）
3
3
【分析】根据性质①②可知， f x 为奇函数且函数图像关于 x 对称，即可得到结果.
2
【详解】因为 f x sin π x
sin
πx f x ，即满足性质①
3 3
f 1 x sin π 1 x π π又因为 sin x
，
3 3 3
f 2 x π sin 2 x
sin 2π πx π π x 2π π ，且 x
π
3 3 3 3 3 3 3
所以 f 1 x f 2 x ，即满足性质②
21
15．
25
【分析】“最终甲获胜”的对立事件为“最终乙获胜”，由对立事件的概率可得结果.
【详解】“最终甲获胜”的对立事件为“最终乙获胜”，所以“最终甲获胜”的概率
P 1 2 2 21 .
5 5 25
16．72 2 16 5 / 16 5 72 2
【分析】过点 P作 PM AD于点M ，PN AB于点 N，设OM x (0 m 72)，分别表示
出FN，EN，NP，OP，根据两角差的正切公式表示出 tan EPF，求出 tan EPF的最大
值，结合 y tan x (0,
π
在 )的单调性得出此时 EPF最大，即可求得答案．
2
【详解】过点 P作 PM AD于点M ，PN AB于点 N，如图所示，
设OM x (0 m 72)，则OP 2m ，由题可知， AE 32，OM MP x，
易得四边形 AMPN 为矩形，
所以 NP AM 72 x， AN PM x， EN 32 x，
所以 FN EF EN 40 x，
13
tan EN 32 x FN 40 x则 EPN ， tan FPN ，
PN 72 x PN 72 x
40 x 32 x
所以 tan EPF tan( FPN EPN )
tan FPN tan EPN
72 x 72 x
1 tan FPN tan EPN 1 40 x 32 x
72 x 72 x
8
x272 x 72x 1280 ，
72 x
8
设72 x m (0,72)
tan EPF
，则 x 72 m，所以 2m 1280 72 ，
m
1280 1280
因为 2m 72 32 10 72 ，当且仅当 2m 时等号成立，即
m m 8 10
，
m
所以当m 8 10 时，即 x 72 8 10 ， tan EPF 最大，
π
由题可知， EPF (0, )，
2
因为 y tan x在 (0,
π)上单调递增，所以 tan EPF 最大时， EPF最大，
2
所以OP 2 (72 8 10) 72 2 16 5时，到达最佳射门位置，
60 20
17．(1)an 2n 1；(2) bi
i 1 41
【分析】（1）设等差数列 an 的公差为d ，根据 an 1 2an 2n 3可得出关于 a1、d 的方程
组，解出这两个量的值，即可得出等差数列 an 的通项公式；
（2）先化简数列 bn 的通项公式，利用裂项求和法求出b1 b4 b7 b58，利用并项求和
60
法求出b2 b5 b8 b11 b56 b59、b3 b6 b9 b12 b57 b60的值，即可得出 bi 的值.
i 1
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为d ，则 an a1 n 1 d，
由an 1 2an 2n 3可得 a1 nd 2 a1 n 1 d 2n 3，即 d 2 n a1 3 2a 0，
14
d 2 0 a1 1
所以， ，解得 ， an a1 n 1 d 1 2 n 1 2n 1
a
.
1 3 2d 0 d 2
1 ,n 3k 2
1
,n 3k 2
（2）因为bn ak ak 1 ，则bn 2k 1 2k 1 ，
n
1 an,3k 1 n 3k 1
n
2n 1 ,3k 1 n 3k
b b b b 1 1 1 1所以 1 4 7 58 1 3 3 5 5 7 39 41
1
1
1 1 1 1 1 1 1 20 ；2 3 3 5 5 7 39 41 41
b2 b5 b8 b11 b56 b59 a2 a5 a8 a11 a56 a59 3 2 20 120；
b3 b6 b9 b12 b57 b60 a3 a6 a9 a12 a57 a60 3 2 20 120 .
60
因此， bi b1 b4 b7 b58 b2 b5 b8 b59 b3 b6 b9 b60
i 1
20
120 120 20 .
41 41
24 6
18．(1) ；(2)
25 7
【分析】（1）由三角函数的定义，结合倍角公式计算即可；
（2）由诱导公式计算即可.
3 4 3 4
【详解】（1）因为角 的终边与单位圆交于点 , ，所以 cos ,sin .
5 5 5 5
cos 3 4 24 2 sin 2 2sin cos 2 ；
2 5 5 25
sin
cos 2
3
2 2 cos cos
5
（ ）
6
.
sin cos sin cos 4 3 7
5 5
171
19．(1)0.356； (2)①0.88；② .
176
【分析】（1）利用交叉损失函数公式即可求得该单个样本的交叉损失函数 Loss的值；
（2）利用全概率概率公式即可求得 chat GPT的回答被采纳的概率；利用条件概率公式即可
求得该测试输入的问题没有语法错误的概率.
【详解】（1）由题意，该单个样本的交叉损失函数：
n
Loss y 7 101 ln y i 1 ln 0.7 ln ln ln 2 ln5 ln 7 0.356
i 1 10 7
（2）记事件 A：char GPT中输入的语法无错误：事件 B：char GPT 中输入的语法有错误；
15
事件 C：chat GPT的回答被纳
依题意： P A 0.95， P B 0.05， P C A 0.9， P C B 0.5 .
①由全概率公式得，cha tGPT的回答被采纳的概率为
P C P A P C A P B P C B 0.95 0.9 0.05 0.5 0.88，
P AC P A P C A P A C 0.95 0.9 171②依题意，
P C .P C 0.88 176
171
所以该测试输入的问题没有语法错误的概率为 .
176
1
20．(1)直线 PQ即为所求作的直线 l，证明见解析；(2)
3
【分析】（1）延长 AB、DC交于 Q点，即可得到交线，通过证明 PQ PD， AD PQ即可
证明线面垂直；
| 3 1| 6
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量得出 ，解方程
15( 1)2 (3 1)2 4
即可.
【详解】（1）延长 AB，DC交于点Q，连结 PQ，则直线 PQ即为所求作的直线 l：
因为 ABC BAD 90 ，所以 AD∥BC
又因为PA PB AB AD 2BC 2，所以 B，C分别为 AQ，DQ中点，
且 PAB为正三角形，所以 PQ PA，
又 AD AB，平面 PAB 平面 ABCD且交线为 AB，且 AD 平面 ABCD，
所以 AD 平面 PAB，
且PQ 面 PAB，所以 AD PQ，
又 AD PA A，且 AD 平面 PAD，PA 平面 PAD ,
所以 PQ 平面 PAD，即 l 平面 PAD：
（2）取 AB的中点O，连结PO，则 PO AB，
又平面PAB 平面 ABCD且交线为 AB，
且PO 平面 PAB，
所以 PO 平面 ABCD，
以O为原点，OB，OP所在直线为 x， z轴建立如图空间直角坐标系，
16
则 A( 1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D( 1, 2,0)，P(0,0, 3)，
A(3,0,0)，
由 PS PQ，得 S (3 , 0, 3 3 )，所以
AS (3 1,0, 3 3 )， AC (2,1,0)，
显然平面 SAC的一个法向量为 k (0,0,1)，
n AS 0 2x y 0
设平面 SAC的法向量为 n (x, y, z)，则
n
，即
AC 0 3 1 x 3 3 z 0
取 z 3 1，则 x 3( 1)， y 2 3(1 )，
所以平面 SAC
的一个法向量为 n ( 3( 1), 2 3(1 ),3 1)，
| n k | | 3 1| 6 1
所以 | cos n,k | | n || k | 2 2 4 ，解得
15( 1) (3 1) 3
1
所以当二面角 S AC B 6的余弦值为 时，
4 3
21．(1) x y 1 0；(2) 2， 4
【分析】（1）先利用坐标求解 kBC 1，利用垂直关系求得 BC边上的垂直平分线的斜率为：
k 1，再求解 BC的中点 D的坐标，即得解；
（2）利用点到直线距离公式求解点 A到 BC边所在直线的距离，即为 ABC的高， ABC的
底边长为 | BC |，求解即可
B( 2, 1) C(2,3) k 3 1【详解】(1)∵ ， ，∴ BC 1，2 2
则 BC边上的垂直平分线的斜率为： k 1
又 BC的中点 D的坐标为(0,1)，
所以 BC边的中垂线所在的直线方程为： y 1 (x 0)，即为 x y 1 0
(2)直线 BC的方程为： y 1 x 2，即 x y 1 0
|1 4 1|
则点 A(1, 4)到直线 BC : x y 1 0的距离为： d 2
2
| BC | (2 2) 2 (3 1) 2
1
4 2 ，故 ABC面积为 4 2 2 42
22．(1)答案见解析；(2)证明见解析
【分析】（1）先求出定义域，再求导，根据 f x 0确定 x 1或 x a，再对 a进行分类讨
17
论，讨论求出函数 f x 的单调性；
（2）对 g x 求导，结合 g x 的极值点个数得到 x2 4x a 0在 0, 上有两个不等实根，
得到 0 a 4，x x 4， x1x2 a1 2 ，表达出 g x1 g x2 a a ln a 8，只需证
a a ln a 8 10 ln a，构造m a 1 a ln a a 2，a 0,4 ，研究其单调性，求出
m a 1 a0 3max a ，由对勾函数的单调性证明出结论.0
【详解】（1） f x 定义域为 x 0, ，且
a x2 a 1 x a x 1 x af x x a 1 ，
x x x
令 f x 0得， x 1或 x a，
①当 0 a 1时， x 0,a 与 1, ， f (x) > 0， f x 单调递增，
x a,1 ， f x 0， f x 单调递减，
②当 a 1时， f x 0， f x 在 0, 单调递增，
③当 a 1时， x 0,1 与 a, ， f (x) > 0， f x 单调递增，
x 1,a ， f x 0， f x 单调递减，
综上，当 0 a 1时， f x 在区间 0,a ， 1, 上单调递增， f x 在区间 a,1 上单调递减；
当 a 1时， f x 在区间 0, 上单调递增；
当 a 1时， f x 在区间 0,1 ， a, 上单调递增， f x 在区间 1,a 单调递减；
1 a 4x a x 2 22 x 4x a
（2）由已知， g x 4x a ln x x ，则 g x 4 x ，2 x x x
函数 g x 有两个极值点 x ， x2 x1 x2 ，即 x2 4x a 0在 0, 1 上有两个不等实根，
h 0 a 0
令 h x x2 4x a ，只需 ，故 0 a 4， h 2 a 4 0
又x x 4， x1x2 a1 2 ，
g x g x 4x a lnx 1 x 2 4x a lnx 1 x 2 所以 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2
18
4 x 11 x2 a ln x1 ln x2 2 x
2 2
1 x2 a a ln a 8，
要证 g x1 g x2 10 ln a，即证 a a ln a 8 10 ln a，
只需证 1 a ln a a 2 0，
令m a 1 a ln a a 2 a 0,4 m a ln a 1 a 1 1， ，则 ln a，
a a
令n a m a 1 1，则 n a 2 0恒成立，所以m a 在 a 0,4 上单调递减，a a
又m 1 1 0，m 2 1 ln 2 0，
2
ln a 1由零点存在性定理得， a0 1,2 使得m a0 0，即 0 a ，0
所以 a 0,a0 时，m a 0，m a 单调递增，
a a0 , 4 时，m a 0，m a 单调递减，
m a m a 1 a ln a a 1 1则 2 1 a a 2 a 3max 0 0 0 0 0 a 0 0 ，0 a0
1
∵由对勾函数知 y a0 3在 a0 1,2a 上单调递增，0
1
∴ a0 3 2
1 1
3 0
a 2 2 ，0
∴m a 0，即 g x1 g x2 10 ln a，得证．
【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉
零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与
简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
19