人教B版（2019）选择性必修第二册《第三章 排列、组合与二项式定理》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）把标号为，，，的四个小球分别放入标号为，，，的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则号球和号球都不放入号盒子的方法共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.（5分）近日，我辽宁舰航母与艘编号不同的导弹驱逐舰艇、艘编号不同的护卫舰艇开展跨海区训练和编队试验任务，若在某次编队试验中，要求辽宁舰航母前、后、左、右位置均有舰艇，且同一类舰艇不在相同位置两艘舰艇在同一位置视为一种编队方式，则编队方式有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.（5分）已知一个不透明的袋子里共有个除了颜色外其他质地完全相同的球，其中有个白球，个红球，若从口袋里一次任取个球，则“所取得个球中至少有个白球”的概率为
A. B. C. D.
4.（5分） 将个相同的黑球和个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置含这个位置开始向左数，黑球的个数总是不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为
A. B. C. D.
5.（5分）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为
A. B. C. D.
6.（5分）若，则
A. B. C. D.
7.（5分）现有种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有种方法
A. B. C. D.
8.（5分）为迎接中共十九大，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，要求甲、乙、丙这名学生中至少有人参加，且当这 名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的名学生不同的朗诵顺序的种数为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若的展开式中常数项为，则实数的值为
A. B. C. D.
10.（5分）在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则
A. 抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种
B. 抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种
C. 抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种
D. 抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种
11.（5分）有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是
A. 分给甲、乙、丙三人，每人各本，有种分法
B. 分给甲、乙、丙、丁四人，一人本，另三人各本，有种分法
C. 分给甲、乙每人各本，分给丙、丁每人各本，有种分法
D. 分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法
12.（5分）已知，则下列结论正确的有
A.
B.
C.
D.
13.（5分）在的展开式中，常数项为，则下列选项中不可作为取值的是
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）某学习小组有名男生和名女生．若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为_______.
15.（5分）为庆祝中国共产党成立周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动该校高一年级部个班级分别去个革命老区研学游，每个班级只去个革命老区，每个革命老区至少安排个班级，则不同的安排方法共有 ______ 种用数字作答
16.（5分）从，，，中任取个数字，从，，，，中任取个数字组成没有重复数字的四位数，这样的四位数共有______个．用数字作答．
17.（5分）从到的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有 ______ 种．
18.（5分）的展开式中，的系数为________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）从包含甲、乙人的人中选人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？结果用数字作答
甲、乙人都被选中且必须跑中间两棒；
甲、乙人只有人被选中且不能跑中间两棒；
甲、乙人都被选中且必须跑相邻两棒；
甲、乙人都被选中且不能相邻两棒；
甲、乙人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
20.（12分）从名男生和名女生中，选出人，分别求符合下列条件的选法数．
，必须被选出；
至少有名女生被选出；
让选出的人分别担任体育委员、文娱委员等个不同职务，但体育委员由男生担任．
21.（12分）在的展开式中，已知第项与第项的二项式系数相等．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若该展开式的第项的值与倒数第项的值相等，求的值．
22.（12分）三个女生和四个男生排成一排要求用数字作答
如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
23.（12分）已知甲、乙、丙、丁、戊、己人．以下问题用数字作答
邀请这人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的安排方法？
将这人作为辅导员全部安排到项不同的活动中，求每项活动至少安排名辅导员的方法总数是多少？
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：号球和号球都不放入号盒子的，
号盒子有号球，号球两种方法，
剩下个盒子各放一个球有种方法，
号球和号球都不放入号盒子的方法共有 种．
故选：
先确定号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，再结合分步乘法计数原理，即可求解．
此题主要考查排列及简单计数问题，掌握分步乘法计数原理是解本题的关键，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：由题意，先安排导弹驱逐舰艇，有种方法，再安排护卫舰艇，有种方法，
编队方式有种方法，
故选C．
由题意，先安排导弹驱逐舰艇，有种方法，再安排护卫舰艇，有种方法，利用乘法原理可得结论．
该题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
3.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了古典概型的计算与应用，考查学生的计算能力，属于基础题.
根据题意求出基本事件总数，再求所取得个球中至少有个白球的基本事件，再由古典概型公式即可得解.

解：由题意可知，基本事件总数为，
所取得个球中至少有个白球的基本事件为，
则“所取得个球中至少有个白球”的概率为，
故选
4.【答案】B;
【解析】

根据题意，易得“有效排列”的个数为，进而由组合数公式，可得“所有的排列”的个数，再根据等可能事件的概率，计算可得答案．
此题主要考查等可能事件的概率与组合数公式的运用，注意组合数公式运用时，明确事件之间的关系．

解：根据题意，分析可得，“有效排列”的个数为，
再求所有的排列的个数，即从个位置中，任取个放白球或黑球，故其数目为，
由等可能事件的概率，所求概率为．
故选B．

5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查指定项的系数与二项式系数、二项展开式项的系数和与二项式系数的和，属于中档题．
先由题意求出的值，再求出展开式中的通项，可得的展开式，由此即可求得该展开式中的系数.
解：由题意知，的展开式中各项系数的和为，
令，得，则，
所以
因为展开式中的通项为，
所以，
故展开式中的系数为
故选：
6.【答案】D;
【解析】解：令，
令，，
故选：．
令，令，即可得出结论．
该题考查二项展开式系数和问题，考查赋值方法的运用，正确赋值是关键．
7.【答案】C;
【解析】
该题考查排列组合的运用，考查分步计算原理，属于中档题．
根据题意，要求符合题意的方法分两步，先涂顶点；再涂底面点；采用排列分析可得答案．

解：涂顶点，有种方法
在底面的四个点中，有种颜色可选；
选不相邻的两个涂色；
若同色，则涂底面的方法有：种；
若异色，则涂底面的方法有：种；
由分步计算原理总的涂色方法有：种，
故选：．
8.【答案】B;
【解析】解：根据题意，在名学生中选派名学生参加诗歌朗诵比赛，有种情况，
其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他四人参加的情况有种，
则甲、乙、丙这名学生中至少有人参加的情况有种；
其中当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况有种，
则满足题意的朗诵顺序有种；
故选：．
根据题意，用间接法分析：首先计算在名学生中选派名学生参加诗歌朗诵比赛的选法数目，在排除计算其中甲、乙、丙都没有参加的情况，即可得甲、乙、丙这名学生中至少有人参加的情况数目，再计算当甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况数目，用“甲、乙、丙这名学生中至少有人参加的情况数目”减去“甲乙丙都参加且甲和乙相邻的情况数目”即可得答案．
该题考查排列、组合的综合应用，注意使用间接法分析，避免分类讨论．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查二项式的通项的应用，考查二项展开式中常数项的概念，考查计算能力，是基础题．
写出二项式的通项，令求出，即可根据常数项为而求出
解：因为的展开式中，
令，解得，
当时展开式的常数项为，解得
故选
10.【答案】ACD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，抽出的件中恰好有件是不合格品，即两件合格品，件不合格品，有种抽取方法，A正确，
对于，由的结论，B错误，
对于，抽出的件中至少有件是不合格品即两件合格品，件不合格品或件合格品，件不合格品，有种抽取方法，C正确，
对于，用间接法分析，抽出的件中没有不合格品的抽取方法有种，则抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种，D正确，
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了分步乘法计数原理以及排列组合的综合运用等问题，属于中档题.
根据分步乘法计数原理以及排列组合的综合运用，结合均匀分组，逐个对选项分析解答.

解：对于选项，分三步把本不同的书均匀分给甲乙丙三人，
共有选项正确；
对于选项，先分组，，，共有，再发给个人，
共有分发种数为种分法，选项正确；
对于选项，分四步完成即可，即共有
故选项正确；
对于选项先分组，，，，再全排列后除以均匀分组数，所以方法总数为
所以选项错误，
故选
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查二项式定理及其应用，考查了二项展开式特定项与特定系数，属中档题.
依题意，利用赋值法，分别令，，，，计算可判断，根据二项展开式通项判断

解：因为，
令得，得，故正确，
令得，，因为，
所以故错误；
原式可化为，
展开式通项，令，得，
所以 ，故正确；
令得，①
令得，②，
由所以，故正确.
故选
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查二项式定理的展开式，考查二项展开式的特定项，是基础题.
先求出展开式，再根据展开式中常数项为，令得，然后将四个选项逐个判断即得.

解：的展开式的通项为，
因为展开式中常数项为，
令得，
由得
当时，，不合题意；
当时，不合题意；
当时，不合题意；
当时，，符合题意.
故
故选
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查了古典概型的计算和应用，属于基础题.
从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，共有种，选出的名同学中恰好名男生名女生共有种方法，由此能求出选出的名同学中恰好名男生名女生的概率．

解：因为某学习小组有名男生和名女生从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，共有种方法．
其中选出的名同学中恰好名男生名女生有种方法，
所以所求概率为，
故答案为
15.【答案】630;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
①将个班级分为数目为的三组，有种分组方法；
②把组分到个革命老区，有种情况，
则有种安排方法．
故答案为：
根据题意，分步进行分析：①将个班级分为数目为的三组，②把组分到个革命老区，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16.【答案】1296;
【解析】解：由题意知本题是一个排列组合及简单计数问题，
从，，，中任取个数字，从，，，，中任取个数字，
当不选时，有种选法，共有种结果，
当选上时，共有种选法，因为不能排在首位共有
根据分类计数原理得到共有种结果，
故答案为：
本题是一个排列组合及简单计数问题，当不选时，有种选法，共有种结果，当选上时，共有种选法，因为不能排在首位共有，根据分步计数原理得到结果．
本题是一个典型的排列问题，数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，本题解答该题的关键是对于数字要分清选上和不选上两种情况，题目要分类讨论，要做到不重不漏，本题是一个中档题目．
17.【答案】25;
【解析】解：从到的正整数中，任意抽取两个相加
本题是一个从个数字中选两个相加，
偶数加上奇数后和为奇数，
根据分步计数原理知不同情形有种．
故答案为：．
由题意知本题是一个从到的正整数中，任意抽取两个相加，根据偶数加上奇数后和为奇数算出结果，根据分步计数原理知不同结果数．
数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解答该题的关键是看清题目的本质质，很多题目要分类讨论，讨论时要做到不重不漏．
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查二项式展开式的特定项与特定项的系数，考查了学生的运算求解能力.

解：的展开式中的系数为
故答案为
19.【答案】解：（1）先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为=60；
（2）先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为=480；
（3）先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为=180；
（4）从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为=180；
（5）第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人，
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒，则方法数为=210．;
【解析】
有特殊要求的元素或位置优先考虑；
有特殊要求的元素或位置优先考虑；
元素相邻用捆绑法；
元素不相邻用插空法；
按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分类．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
20.【答案】解：（1）根据题意，先选出A，B，再从其它6个人中再选1人即可，共有=6种选法；
（2）从8人中任选3人，有种选法，没有女学生入选，即全选男生的情况有种情况，
只有1名女生入选，即选取1女4男，有种选法，
故所有符合条件选法数为：=16种；
（3）选出一个男生担任体育班委，有种情况，
再从剩下的7人中任取2人担任其它班委，有种情况，
用分步计数原理可得到所有方法总数为：=210种．;
【解析】
先选出，，再从其它个人中再选人即可．
先从人中任选人，再把没有女学生入选和只有名女生入选的算出来，再用排除法，由此求得选法数．
用分步计数原理，先选出一个男生担任体育班委，再剩下的人中任取人担任其它班委，相乘即可．
此题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理和分布乘法计数原理的应用，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由题意知，2r-1=r+1-1或2r-1+r=14，解得r=1（舍去） 或r=5，
故r的值为5．
（Ⅱ）由题意可得Tr= 215-r （-x）r-1，当r=5时，T5= 210 （-x）4，
倒数第5项，即T11= 24 （-x）10，
由题意 210 （-x）4= 24 （-x）10，解得x=±2．;
【解析】
Ⅰ由题意利用二项式系数的性质求得的值．
Ⅱ利用通项公式求得，倒数第项，即，根据这两项相等，解得的值．
此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
22.【答案】解：女生全部排在一起有种．女生必须全分开有种．因为两端都不能排女生，所以将个同学全排列，再减去女生排两端的情形，
所以共有种排法．;
【解析】此题主要考查排列组合综合问题，属于中档题.
女生必须全排在一起，利用捆绑法，然后个元素再全排列即可；
女生必须全分开，利用插空法，先排男生，女生插空即可解决；
因为两端都不能排女生，所以将个同学全排列，再减去女生排两端的情形，即可得到答案.
23.【答案】解：，故共有种不同的去法．
该问题共分为三类：
第一类：人中恰有人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，共有种．
第二类：人中恰有人分配到其中一项活动中，共有种．
第三类：人平均分配到三项活动中，共有种．
所以，每项活动至少安排名辅导员的方法总数为：种．;
【解析】该题考查排列组合的实际应用，难度比较大．
邀请这人去参加一项活动，必须有人去，去，，，，，个人，利用组合数求解即可．
第一类：人中恰有人分配到其中一项活动中，另外两项活动各分一人，第二类：人中恰有人分配到其中一项活动中，第三类：人平均分配到三项活动中，求出方法数，推出结果即可．