哈师大附中一模数学参考答案
第一部分：选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B A C A D D AB BD ABD BC
三、填空题：
13. 60 14. 1 15. 7或1 16. [3,5]
四、解答题
17.（本小题满分 10 分）
解：选①②作条件，③做结论
1
由②，得： sin B + sin Bcos A = 3sin Asin B sin(A ) =
6 2

所以， ，则 a2 = b2 2A = + c bc ， a2 = c2 + bc，所以 a = 3c，即： sin A = 3sinC .
3
选①③作条件，②做结论
由③，得： 2 2a = 3c， a = c + bc，则b = 2c

所以， A = ， B = ，C =
3 2 6
所以，b+bcos A = 2c + c = 3 3c = 3asin B .
选②③作条件，①做结论
1
由②，得： sin B + sin Bcos A = 3sin Asin B sin(A ) = ,所以， A = ，
6 2 3

由③，得： 2 2C = ,则 a = 3c，b = 2c ，即： a c = bc .
6
18.（本小题满分 12 分）
解：（1） S4 2a2a3 +14 = 4a1 + 6d 2(d + a1)(2d + a1)+14 = 0
则 d = 2
所以， an = 2n 1或 an = 2n+3 .
2n + 3 1 1
（2）由（1）可得， a = 2n 1， cn = = n
(2n 1)(2n +1) 2n (2n 1) 2n 1 (2n +1) 2n
1 1 1 1 1
Tn = c1 + c2 + c3 + cn = (1 )+ ( )+ + ( )
3 21 3 21 5 22 (2n 1) 2n 1 (2n+1) 2n
1
所以，Tn =1 .
(2n +1) 2n
19.（本小题满分 12 分）
（1）证明：取 AD的中点O ，连接OP，OB
AC ⊥ BD
AC ⊥ OE
BD / /OE

AC ⊥ PE AC ⊥平面PDE ，所以 AC ⊥ PD
OE PE = E


AC ⊥ PD

AD ⊥ PD PD ⊥平面ABCD
PD ⊥平面ABCD ⊥平面ABCD
AC AD = D
PD 平面PAD
（2）由（1）得，建立如图所示空间直角坐标系O xyz
1 3 z
设 AD = 2 ，则 P(0,0, 3), E( , ,0), D( 1,0,0)
2 2
P
设平面 PDE 的法向量 n = (x, y, z) ，则

x + 3z = 0 n DP = 0
3 3 ，取 x = 3 ，则 y = 3， z = 1
n DE = 0 x + y = 0
2 2
D
C
所以， n = ( 3, 3, 1) O
A E B
n m 3 x
取平面 PDA的法向量m = (0,1,0)，则 cos n,m = = y
| n || m | 13
2 13
所以，二面角 E PD A的正弦值为 .
13
20.（本小题满分 12 分）
4 2.5+15 7.5+33 12.5+31 17.5+11 22.5+6 27.8
（1） = =14.9 则 X N(14.9,6.1)
100
1 0.6827
所以， P(X 21) = P(X 14.9+ 6.1) = = 0.15865
2
所以 3000 人中锻炼超过 21 天人数约为 476 人.
（2）
活动天数
性别 合计
[0,15] (15,30]
男生 20 30 50
女生 32 18 50
合计 52 48 100
（2）零假设为
H0 ：学生性别与获得“运动达人”称号无关
2 100 (30 32 20 18)
2
= 5.77 3.841
50 50 52 48
依据 = 0.05的独立性检验，我们推断H0 不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于 0.05 .根据列联表中的数据计算男生、女生中活动天数超过 15 天的频率分别为：
30 18 0.6
= 0.6 和 = 0.36，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的 ≈ 1.67
50 50 0.36
倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即：男生更容易获得
运动达人称号.
21.（本小题满分 12 分）
x2
（1）双曲线方程为： y2 =1
3
（2）法一：①当直线 与轴垂直时
( √3, 0)， (√3,0)， (3, √2)
√2 √2
直线 ： = ( + √3)，令 = 1
3+√3
=
√3
√2
同理， = + = 0 √3
②当直线 不与轴垂直时
设M( 1, 1)、 ( 2, 2)，直线 ： = + 1代入到
2 3 2 = 3中得
( 2 3) 2 + 2 2 = 0
2
1 + 2
=
2 3
∴ 2
1 2 =
2 3
{ Δ > 0
+√2 +√2 (√2 +2)
又∵直线 ： + √2 = 1 ( 3)，令 = 1 = 2 1 √2 =
1
1 3 1 2 1 2
(√2 +2) 2 2( + )
同理， =
2 ∴ + = (√2 + 2)
1 2 1 2 = 0
2 2
2 1 2 2 ( 1+ 2)+4
| |
综上， + = 0 ∴ = 1 | |
法二：
设直线 MN 的方程为 y = k(x 1) ，M (x1, y1)N(x2 , y2 ) ，联立
y = k(x 1)
(3k
2 1)x2 6k 2 x + 3k 2 + 3 = 0
x
2 3y2 3 = 0
6k 2
x1 + x2 = 2
3k 1
3k 2 + 3
x1 x2 =
3k
2 1
=12(1 2k 2 ) 0


y + 2 y + 2 2 + 2k 2
所以，AM 的方程： y + 2 = 1 (x 3) y = 2 2 1 = 2 2 k + = ( 2 + 2kP ) +1 x x 3 x 31 3 x1 3 1 1
2
同理： y = 2 + 2k +1 Q ( )
x2 3
y x x (x + x )+3 2x 3(k 2 +1) 6k 2 + (3k 2 1)(3 2x1 ) 6k 2 2x (3k 2 1)
所以， | P 1 2 1 2 1
1
|== = = =1
y x x 3(x + x )+3+ 2x 3(k 2Q 1 2 1 2 1 +1) 18k 2 + (3k 2 1)(3+ 2x 2 21 ) 6k + 2x1 (3k 1)
22.（本小题满分 12 分）
（1）设 g(x) = f '(x) = ae2x + (a 2)ex x ，则 g '(x) = (ex +1)(aex 1)
①当 a 0时， f '(x) 的增区间 ( ,+ )
1 1
②当 a 0时， f '(x) 的增区间 (ln ,+ ) ；减区间 ( , ln )；
a a
（2）若 ( )有两个极值点，则 ′( )有两个变号零点，
> 0
由（1）知{ 1 1 ′( ) =
′( ) = 1 < 0

1
设 ( ) = 1 ( > 0)，则 ′( ) = 1 < 0，所以 ( )在(0, +∞)上递减，又 (1) = 0

1
所以，当 > 1时， ( ) < 0，所以 > 1，即0 < < 1

1 1
设 ( ) = 1 ( > 0)，则 ′( ) = 1 =

令 ′( ) > 0 > 1，
令 ′( ) < 0 0 < < 1，所以 ( )在(0,1)递减，在(1, +∞)递增，所以 ( ) ≥ (1) = 0
′ 3 3
2 3 3 3 3 3 1
∵ [ ( 1)] = ( 1) + ( 2) ( 1) ( 1) = ( 1) ( 1) > 0且 ( 1) >

1 3 1 3
∴ ′( )在( , ( 1))上存在唯一一个零点
2
，即 < 2 < ( 1)
2 2 1
所以只需证 ′ (1 ) > 0且1 <

1 1 2 2 2 2
当 < 时，0 < < ∴ ( 2) > ∴ ′ (1 ) > 0 + (1 ) = 0

2 1 1 2 1 3
又∵ 1 < 1 < ∴ 1 < 1 < < 2 < ( 1)
3 2
∴ 2 1 < ( 1) (1 )