2022年湖北省武汉市武昌区中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 在下列事件中，必然事件是( )
A. 三条线段可以组成一个三角形
B. 过马路时恰好遇到红灯
C. 有一个四边形的内角和为
D. 某年级人中至少有两个人的生日在同一天
3. 下列常用的手机的图标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，下面正三棱柱的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得直径尺，尺，记木杆长度为尺，井深为尺，则井深尺与木杆长度尺之间函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
8. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面内，，两两外切，其中的半径为，，的半径都为，用一张半径为的圆形纸片把这三个圆完全覆盖，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知二次函数与反比例函数的图象有三个交点，三交点的横坐标分别为，，，则代数式的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算的结果是______．
12. 学校实行课后服务后，某班个兴趣小组的人数分别为，，，，，则这组数据的中位数是______．
13. 计算的结果是______．
14. 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度为米，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度为______米结果保留根号．
15. 已知二次函数的图象与轴的交点为，顶点是，其中，则下列四个结论：
；；；点，在抛物线上，当时，则；其中正确的结论有______填序号．
16. 如图，在四边形中，，，，，，为边上一动点不包括端点，连接，将沿折叠得到，连接，，则的面积的取值范围是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答．解不等式，得______；
解不等式，得______；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______．
18. 本小题分
如图，，于，于，．
求的度数；
若平分，求的度数．
19. 本小题分
某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，成绩分为整数，评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级．优秀、良好、合格、不合格分别用，，，表示，等级：，等级：，等级：，等级：该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
等级 频数人数 频率
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
表中的______，______，______；
请补全条形图；
该校决定对，等级的学生进行安全再教育，提高学生安全系数，已知该校七年级共有名学生，求该校七年级进行安全再教育的学生有多少人？
20. 本小题分
如图，的直径，弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点．
求证：是的切线．
求图中阴影部分的面积．
21. 本小题分
如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，边上的点也是一个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
在图中，先画出的平行线交边于点，再在边上画点，使∽；
在图中，先在边上画点，使与的面积相等，再在边上画点，使的面积是的面积的三分之一．
22. 本小题分
冰墩墩是年北京冬季奥运会的吉祥物，美丽的熊猫形象非常招人喜爱，在冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小玲在某网店选中，两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．已知款玩偶比款玩偶每个进价多元，小玲分别用元和元购进相同数量的两款玩偶．
求款玩偶与款玩偶的进货单价分别是多少元？
小玲经过网上市场研究发现，款玩偶非常畅销，当款玩偶售价定为每个元时，每天可销售个，且每个涨价一元时，每天销售量将减少个，试给款玩偶确定一个合适的价格，使得款玩偶每天的销售利润最大；
小玲把款玩偶定价为每个元，款玩偶按中利润最大时的价格销售，一段时间后发现款玩偶才销售了一半，为了提高款玩偶销量从而尽快减少库存，小玲决定：把剩下的款玩偶按原销售价的折销售．当这批玩偶全部售完后，发现总利润不低于元．请你直接写出的最小值为多少？
23. 本小题分
在中，，点在边上，于，连接．
如图，连接交于，若，
求证：∽；
若恰好垂直，求的值．
如图，作平分交于点，若，，直接用含的式子表示的值．
24. 本小题分
如图，直线分别交轴，轴于点，，抛物线过，两点，其顶点为，对称轴与直线交于点．
直接写出抛物线的解析式；
如图，点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，问：是否存在点，使四边形为菱形？并说明理由；
如图，点为轴负半轴上的一动点，过点作，直线与抛物线交于点，，与直线交于点，若，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义，可直接得出的绝对值．
本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、三条线段可以组成一个三角形是随机事件，不符合题意；
B、过马路时恰好遇到红灯是随机事件，不符合题意；
C、有一个四边形的内角和为是不可能事件，不符合题意；
D、某年级人中至少有两个人的生日在同一天是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】
【解析】解：选项A、、不能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕着这一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4.【答案】
【解析】解：、与无法合并，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用整式的乘除运算法则以及积的乘方运算法则和合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的乘除运算以及积的乘方运算和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：从左边看，是一个矩形．
故选：．
根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
本题考查简单的几何体的三视图，熟知左视图是从左边看到的图形是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
又点，，在反比例函数的图象上，
点，在第四象限，点在第二象限，
，，
．
故选：．
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．注意反比例函数的性质的叙述必须是在同一个象限内，随的增大而增大．
7.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
故选：．
根据相似三角形的性质求得函数的解析式，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，正比例函数的图象，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，
画树状图如图：
共有个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有个，
分类打包好的两袋不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为；
故选：．
可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类对应的垃圾筒分别用，，，表示，垃圾分别用，，，表示．设分类打包好的两袋不同垃圾为、，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】
【解析】解：如图，，
易知最小覆盖圆的圆心在中垂线上，设为．
设，则可以得到方程
，
解之得
所以；
故选：．
易知最小覆盖圆的圆心在中垂线上，可得方程，求解即可．
本题考查了两圆相切的性质，关键是根据等腰三角形的性质，勾股定理的运用解答．
10.【答案】
【解析】解：联立二次函数与反比例函数，
得，
根据题意，得，，，
根据题意，可得，
展开，得，
，，，
，
，
，
故选：．
联立二次函数解析式与反比例函数解析式可得，进一步可得，，，再根据题意可得，展开从而可知，，，求出，即可求出的值．
本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，涉及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义解答即可．
此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．
12.【答案】
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，所以中位数为．
故答案为：．
根据中位数和平均数的求解即可．
此题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，然后再加减．
此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
14.【答案】
【解析】解：由于，
，
在中，
米，
在中，
米．
米
故答案为：
在和中，利用锐角三角函数，用表示出、的长，然后计算出的长．
本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含的式子表示出和．
15.【答案】
【解析】解：抛物线顶点为，，
图象顶点在第三象限，抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
抛物线开口向上，且抛物线经过，
，，即，正确，
，
，
抛物线经过，
，
，错误．
，，
，
，
，正确
抛物线开口向上，经过，，
当时，，或时，，
，
当时，，
，正确．
故答案为：．
由抛物线顶点坐标及抛物线与轴交点可得抛物线与轴另一交点坐标，从而判断，由及可判断，由抛物线对称轴可得与的关系，再由顶点坐标可判断，由抛物线与轴交点可求出及时的取值范围，从而可得的取值范围，进而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16.【答案】
【解析】解：作于，
则四边形是矩形，
，，
，
由勾股定理得，，
将沿折叠得到，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
作于，当点在上时，如图，最小，
，
最小值为，
当点与重合时，，
为边上一动点不包括端点，
，
故答案为：．
作于，则四边形是矩形，可得的长，根据翻折的性质可知点在以为圆心，为半径的圆上运动，从而得出的最小值，当与重合时，最大，从而解决问题．
本题主要考查了矩形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，找到临界状态求出的最值是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
又平分，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】易证，则，根据，可得，据此即可得解．
依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数．
本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：总人数：人，
等级的人数为：，
等级的频率为：，
等级的人数为：，
故答案为：，，；
由可知，本次调查共抽取了人，
等级有人，男生有人，
等级有人，女生有人，
补全条形统计图，如图所示，
人，
答：该校七年级进行安全再教育的学生有人．
由等级的人数除以它的频率即可求出总人数，用总人数乘以等级的频率即可求出的值，用减去其他各组的频率即可得到的值，用总人数乘以即可得到的值；
先求出等级男生的人数，等级女生的人数，即可补全条形统计图；
根据用样本估计总体的方法进行计算即可．
本题考查了条形统计图，统计表，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作，垂足为，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
阴影部分的面积的面积正方形的面积扇形的面积
，
阴影部分的面积为
【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用圆周角定理可得，最后根据平行线的性质求出，即可解答；
过点作，垂足为，再利用的结论，可证四边形是正方形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用平行线的性质可得，从而证明∽，进而利用相似三角形的性质求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积正方形的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，正方形的判定，相似三角形的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：如图中，点，点即为所求；
如图中，点，点即为所求．

【解析】取格点，连接交于点，点即为所求，取格点，，连接，交于点，作射线交于点，点即为所求；
连接，取的中点，作射线交于点，点即为所求．取格点，，连接交于点，连接，则，取格点，，连接交于点，连接，点即为所求．
本题考查作图相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会；利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设款玩偶进货单价是元，则款玩偶的进货单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
元，
答：款玩偶进货单价是元，则款玩偶的进货单价是元；
设款玩偶每天的销售利润为元，每个售价为元，
则，
，
当时，取最大值，
答：款玩偶售价为元时，每天的销售利润最大是元；
，
两款玩偶购进数量是个，
根据题意得：，
解得，
答：的最小值为．
【解析】设款玩偶进货单价是元，则款玩偶的进货单价是元，可得：，即可解得款玩偶进货单价是元，则款玩偶的进货单价是元；
设款玩偶每天的销售利润为元，每个售价为元，则，由二次函数性质可得答案；
求出两款玩偶购进数量是个，根据总利润不低于元得：，即可解得答案．
本题考查分式方程及二次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
23.【答案】证明：，
，
又，
，
又，
∽；
解：，，
，
又，
∽，
，
，
同理可证：，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，交的延长线于点，过点作于，
，
，
，
平分，，
，
，
，
设，则，，
，，
，，，
，，
则，
，
，
．
【解析】根据等角的余角相等可得，从而证明结论；
利用∽，得，则，同理可证：，说明，从而得出，即可得出答案；
过点作，交的延长线于点，过点作于，利用平行线分线段成比例得，再根据平行线的性质可得，设，则，，利用三角函数可表示出、、、的长，从而利用勾股定理表示的长，即可解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，运用设参数的方法表示各线段的长是解题的关键．
24.【答案】解：直线分别交轴，轴于点，，
，，
抛物线过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
不存在点，使四边形为菱形．理由如下：
设，
轴，
轴，即轴，
则，
，
，
抛物线的顶点为，对称轴为直线，
，
，轴，
，
要使四边形为菱形，必须，
由，
解得：或，
当时，点与点重合，点与点重合，舍去；
当时，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故四边形不能为菱形．
如图，连接，过点、、分别作轴的垂线，垂足依次为、、，
设，
，直线：，
直线的解析式为，
直线与直线交于点，
，
解得：，
，
，，
在中，，
直线与抛物线交于点，，
，
整理得：，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
点的坐标为．
【解析】根据直线的解析式可求得，，代入抛物线即可求得答案；
设，则，根据，，可得，即，，由两点间距离公式可得，由于，故四边形不能为菱形．
连接，过点、、分别作轴的垂线，垂足依次为、、，设，由，直线：，可得直线的解析式为，通过联立方程组可得，进而求得，根据直线：与抛物线交于点，，可得，运用根与系数关系可得：，，利用三角函数定义可得：，，再由，建立方程求解即可得出答案．
本题属于二次函数综合题，考查了一次函数和二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数关系，解直角三角形、勾股定理、待定系数法求函数的解析式、平行四边形和菱形的判定等知识点，运用数形结合思想以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
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