盐城市联盟五校2023-2024学年高三上学期第一次学情调研检测
数学试题
（总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知角是第一象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.若函数满足，且当时，，则（ ）
A.10 B.4 C.2 D.
6.已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，，，分别是角，，的对边，且，则的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角或钝角三角形
8.对于实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.若向量，，则，可作为平面向量的一组基底
D.已知向量，满足，且，和的夹角为，则在上的投影向量的坐标为
10.关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集是
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象的一条对称轴方程为
C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D.函数在区间上单调递增
12.已知定义在上的函数，其导函数的定义域也为.若，且为奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）
13.已知向量，，且，则实数______.
14.已知函数，则______.
15.已知，则______.
16.已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为______.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.计算求值：
（1）；
（2）已知，均为锐角，，，求的值.
18.已知函数的定义域为.
（1）求集合；
（2）已知集合，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
20.已知函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围.
21.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，为的中点，求线段长度的取值范围.
22.已知函数，.
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求的单调区间及在区间上的最值；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
盐城市联盟五校2023-2024学年高三上学期第一次学情调研检测
数学参考答案及评分标准
1-8 BACD BACC
9.BCD 10.ACD 11.ABC 12.ACD
13.5 14. 15. 16.
17.【详解】（1）.
（2）解：∵、都为锐角，则，
∴，
∴.
18.【详解】（1）要使函数有意义，则
解得.
故
（2）是的充分不必要条件，，
则集合是集合的真子集.
则有，解得，
所以实数的取值范围是
19.【详解】（1）设阴影部分直角三角形的高为，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知，
海报纸的周长为.
故海报纸的周长为.
（2）由（1）知，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时，，.
故选择矩形的长、宽分别为，的海报纸，可使用纸量最少。
20.【详解】（1）∵，即当时函数取到最值，
又，其中，
∴，代入得，
即，解得，∴
，
（2）由（1）可得：，
由复数的几何意义知：，
∴，
当，，即，时，有最大值6；
当，，即，时，有最小值2；
∴
21.【详解】（1）因为
所以，
则，
即，
所以
又，则，
所以，即，
由，得，
所以，
所以；
（2）因为，
所以，
因为为的中点，
所以，
则
因为，
所以，
，
则
，
因为，所以，
所以，
则，所以，
所以
22.【详解】（1）（i）当时，，
，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（ii），，，
令，解得，令，解得，
当时，，
又，
其中，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
在区间上的最大值为，最小值为；
（2），
对，恒成立，
变形为对恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
其中，，当时，恒成立，
故画出的图象如下：
其中恒过点，
又，故在处的切线方程为，
又在上，
结合图象可得此时在，上方，
另外由图象可知当的斜率为0时，满足要求，
当的斜率小于0时，不合要求，
故要想满足，需要，解得，
的取值范围是