2023年广东省湛江市霞山区中考数学二模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列四个实数中，最大的数是（　　）
A． B．0 C．﹣4 D．π
2．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）党的十八大以来，以习jp 同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展．据报道，截至2021年底，我国高技能人才超过65000000人，将数据65000000用科学记数法表示为（　　）
A．6.5×106 B．65×106 C．0.65×108 D．6.5×107
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．5a2﹣2b2＝3
C．7a+a＝7a2 D．﹣3（x2﹣1）＝﹣3x2+3
5．（3分）若方程3x+1＝4和方程2x+a＝0的解相同，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
6．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
②对角线相等的四边形是矩形；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④弧分为优弧和劣弧．
A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④
7．（3分）如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF，如果AC＝6cm，那么EF的长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
8．（3分）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18
C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18
9．（3分）关于x的不等式x﹣b＞0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（　　）
A．﹣3＜b＜﹣2 B．﹣3＜b≤﹣2 C．﹣3≤b≤﹣2 D．﹣3≤b＜﹣2
10．（3分）定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　）
①log61＝0；
②log323＝3log32；
③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；
④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝4，则tanA＝　 　．
12．（3分）分解因式：a2b﹣4b＝　 　．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，n），则n的值为 　 　．
14．（3分）已知xy＝﹣3，x+y＝3，则x2y+xy2的值为 　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交边AB于点D，以点B为圆心，BD长为半径画圆弧，交边BC于点E，若AC＝2，则图中阴影部分图形的面积和为　 　（结果保留π）．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中x＝+1．
17．（8分）先化简，再求值 ，其中x＝﹣1．
18．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形．
19．（9分）为了传承中华优秀传统文化，某校组织了一次八年级350名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中若干名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
50≤x＜60 2 0.04
60≤x＜70 6 0.12
70≤x＜80 9 b
80≤x＜90 a 0.36
90≤x≤100 15 0.30
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的约有多少人？
20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+4k＝0．
（1）求证：无论k为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，满足+＝，求k的值；
（3）若Rt△ABC的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根x1、x2，求Rt△ABC的内切圆半径．
21．（9分）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：60千瓦时电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用：_____元
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
22．（12分）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE AP的值．
23．（12分）如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣4，0），C（0，﹣2）．
（1）求抛物线和直线AC的函数解析式；
（2）若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：∵﹣4＜0＜＜π，
∴最大的数是π，
故选：D．
2． 解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
3． 解：65000000＝6.5×107．
故选：D．
4． 解：3a与2b不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
5a2﹣2b2不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意；
7a+a＝8a，故C错误，不符合题意；
﹣3（x2﹣1）＝﹣3x2+3，故D正确，符合题意；
故选：D．
5． 解：解3x+1＝4得x＝1，
将x＝1代入2x+a＝0，
得2+a＝0，
解得a＝﹣2．
故选：D．
6． 解：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故①正确，符合题意；
对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故②错误，不符合题意；
同弧或等弧所对的圆周角相等，故③正确，符合题意；
弧分为优弧、劣弧和半圆，故④错误，不符合题意；
故选：B．
7． 解：∵点E，F分别是AB，BC边上的中点，AC＝6cm，
∴，
故选：A．
8． 解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．
故选：D．
9． 解：不等式x﹣b＞0，
解得：x＞b，
∵不等式的负整数解只有两个负整数解，
∴﹣3≤b＜﹣2
故选：D．
10． 解：∵60＝1，
∴log61＝0，说法①符合题意；
由于dm dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn，
则m＝logdM，n＝logdN，
于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意；
则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意；
设p＝logab，则ap＝b，
两边同时取以c为底的对数，
，则plogca＝logcb，
所以p＝，即，
则＝log23，
∵log2（3﹣a）＝log827＝log23，
∴a＝0，说法③符合题意；
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，
∴tanA＝
＝
＝．
故答案为：．
12． 解：a2b﹣4b＝b（a2﹣4）＝b（a+2）（a﹣2）．
故答案为：b（a+2）（a﹣2）．
13． 解：将点A（1，2）代入，得：k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为，
将点B（﹣1，n）代入，得：﹣1×n＝2，
解得：n＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14． 解：∵xy＝﹣3，x+y＝3，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣3×3＝﹣9，
故答案为：﹣9．
15． 解：在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴∠B＝30°，AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BDE+S扇形ACD＝+＝π，
故答案为：π．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：原式＝
＝
＝，
当时，原式＝．
17． 解：原式＝（+）
＝
＝，
当x＝﹣1时，原式＝＝．
18． （1）解：如图所示，直线DE即为所求；
（2）证明：∵∠C＝90°，点E是边AB的中点，
∴AE＝BE＝CE＝AB，
∵AC＝BE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形．
19． 解：（1）抽取的总人数是2÷0.04＝50（人），
a＝50×0.36＝18，b＝＝0.18；
故答案为：18，0.18；
（2）
；
（3）中位数会落80≤x＜90段，故答案为：80≤x＜90；
（4）该年级参加这次比赛的350名学生中成绩“优”等的人数约是：350×0.30＝105（人）．
答：约有105人．
20． （1）证明：∵△＝（k+4）2﹣16k＝k2﹣8k+16＝（k﹣4）2≥0，
∴无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：由题意得：x1+x2＝k+4，x1 x2＝4k，
∵，
∴，
即，
解得：k＝2；
经检验：k＝2是分式方程的解；
（3）解：解方程x2﹣（k+4）x+4k＝0得：x1＝4，x2＝k，
根据题意得：42+k2＝52，即k＝3，
设直角三角形ABC的内切圆半径为r，如图，
由切线长定理可得：（3﹣r）+（4﹣r）＝5，
∴直角三角形ABC的内切圆半径r＝．
21． 解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴＝0.6，＝0.06，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
22． （1 ）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE AP＝AC AD＝2×2＝4．
23． 解：（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），C（0，﹣2），
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为，
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线AC过A（﹣4，0），C（0，﹣2），
∴，
解得
∴直线AC的函数解析式为．
（2）
设点E的横坐标为m（﹣4≤m≤0），
∵EF⊥x轴，点E在直线AC上，点F在抛物线上，
∴，，
∴，
∵A（﹣4，0），
∴AO＝4，AM+OM＝AO＝4，
∴S△ACF＝S△AEF+S△CEF
＝EFEF OM
＝EF AO，
＝，
∵抛物线的对称轴为，
∴点D的坐标为，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣2），
∴，CO＝2，
∴S△ACD＝AD CO＝××2＝，
∴＝，
∴当m＝﹣2时，四边形CDAF的面积有最大值为：．
（3）
∵∠ADP＝∠AOC＝90°，A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，
∴分两种情况讨论：①或②，
①若，则，
∴，
∴点P的坐标为或，
②若，则，
∴DP＝5，
∴点P的坐标为或，
综上所述，点P的坐标为或，，．
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