2023-2024学年广东省深圳市南山区重点中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列从左到右的变形中，因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
5.电影长津湖上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，将增长率记作，则方程可以列为( )
A. B.
C. D.
6.如图，五边形是正五边形，且若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，的垂直平分线交平于点，的垂直平分线交于点，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8.下列四个命题是真命题个数是( )
等腰三角形两腰上的高相等；
等腰三角形的高、中线、角的平分线是同一条线段；
一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形；
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
A. B. C. D.
9.如图，在矩形中，点的坐标是，点的坐标是，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.分解因式： ______ ．
12.若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为______．
13.如图，中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则等于______．
14.已知，是方程的两个实数根，则的值为______ ．
15.如图，在中，，过点作，延长到点，使得，连接，，若，，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
解方程：
；
．
17.本小题分
解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．
18.本小题分
先化简，然后从的范围内选择一个合适的整数作为的值代入求值．
19.本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的正方形网格中，的顶点均在格点上．
画出关于原点成中心对称的；
画出向右平移个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的；
在轴上有长度为的线段点在点的左侧，是否存在一点，使得的长最小？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
对于试题“如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路：
延长到，使得，连接，，利用三角形全等的判定及性质解答，
请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
如图，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时中的结论是否仍然成立？请说明理由．
21.本小题分
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变第一次购进蛋黄粽子袋和红豆粽子袋，总费用为元；第二次购进蛋黄粽子袋和红豆粽子袋，总费用为元．
求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？
当蛋黄粽子销售价为每袋元时，每天可售出袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低元，则每天的销售量将增加袋当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为元？
22.本小题分
如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当点不与点重合时，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，设点的运动时间为．
求证：是等边三角形；
如图，当时，的周长是否存在最小值；若存在，求出的最小周长；若不存在，请说明理由；
如图，当点在射线上运动时，是否存在以，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，得，且，
，
故选：．
根据分式值为，分子等于，且分母不等于，求解即可．
本题考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、不等式两边都减去，得，所以当时不等式不成立，故本选项错误；
B、不等式两边都加上，得，所以当时不等式不成立，故本选项错误；
C、不等式两边都加上，得，恒成立，故本选项正确；
D、不等式两边都减去，得，所以当时不等式不成立，故本选项错误．
故选：．
根据不等式的基本性质对各选项变形后再作出判断．
本题主要考查不等式的基本性质的运用：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，熟练掌握性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，原分解错误；
B.，分解后的结果不是积的形式，是和的形式，原分解错误；
C.，原分解分解错误；
D.，分解正确，符合题意．
故选：．
利用十字相乘法或因式分解法把各选项进行因式分解即可．
本题考查的是因式分解，熟知因式分解的十字相乘法和提取公因式法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为，根据增长率为，得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，过点作交于点，
，
，
五边形是正五边形，
，
，，，
，
，
，
故选：．
过点作交于点，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
的周长，
，
的周长为，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：等腰三角形两腰上的高相等，是真命题；
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线是同一条线段，故本小题说法是假命题；
一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本小题说法是假命题；
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
故选：．
根据等腰三角形的性质、平行四边形的判定定理、直角三角形全等的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】
【解析】解：连接，如图：
四边形是矩形，
，
点的坐标是，点的坐标是，
，
，
故选：．
利用矩形的性质得出，求得线段的长即可得出的长．
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、两点间的距离，能够求得对角线的长是解答本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图在的下方作等边，作射线．
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
当时，的值最小，最小值，
故选：．
如图在的下方作等边，作射线证明≌，推出，推出，推出点的运动轨迹是射线，当时，的值最小．
本题考查旋转的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于要进行二次因式分解．
12.【答案】且
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
方程的解为正数，
，
．
的取值范围为：且．
故答案为：且．
先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到的取值范围．
本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
又、为对应点，点为旋转中心，
，即为等腰三角形，
．
故答案为：．
旋转中心为点，与，与分别是对应点，根据旋转的性质可知，，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．
14.【答案】
【解析】解：、是方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：．
由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，可得，可以变为，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15.【答案】
【解析】解：过点分别作于点，交的延长线于点，
，
，
四边形为矩形，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
过点分别作于点，交的延长线于点，证明四边形为矩形，可得，，再利用证明≌可求得，，再利用勾股定理可求解的长．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等的直角三角形是解题的关键．
16.【答案】解：，
则，
或，
，；
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解是．
【解析】利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
根据解分式方程的一般步骤解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法、分式方程的解法，掌握解一元二次方程、分式方程的一般步骤是解题的关键．
17.【答案】解：，
解不等式得：；
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
18.【答案】解：原式
，
由分式有意义的条件可知：，，
故可取，，
原式．
【解析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．
19.【答案】解：关于原点成中心对称的如图所示：
向右平移个单位得到后，再绕点逆时针旋转得到的；如图，
存在一点，使得的长最小，理由如下：
轴上有长度为的线段点在点的左侧，
取点，则，过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，，如图所示：
设，则，
，
，
，
设的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
的解析式为，
当时，，即．
【解析】根据中心对称的定义进行作图即可；
根据平移性质，按要求作出的平移图形，根据旋转性质，再按要求作出绕点逆时针旋转得到的图形即可；
过作关于轴的对称点，连接交轴于一点，连接交轴于一点．
本题主要考查了中心对称、旋转作图以及平移作图等知识内容，熟练掌握平移及旋转的性质是解本题的关键．
20.【答案】解：，
理由：如图，延长到，使得，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
又，
；
仍然成立，理由如下：如图，延长到，使得，连接，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
又，
．
【解析】延长到，使得，连接，证明≌，得到，再证明≌，推出，即可得到结论；
仍然成立，延长到，使得，连接，证明≌，得到，再证明≌，推出，即可得到结论．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，
根据题意得：，
解得：．
答：蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋；
设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，
根据题意得：，
解得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：当蛋黄粽子每袋的销售价为元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为元．
【解析】设蛋黄粽子的进价是元袋，红豆粽子的进价是元袋，根据“第一次购进蛋黄粽子袋和红豆粽子袋，总费用为元；第二次购进蛋黄粽子袋和红豆粽子袋，总费用为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设蛋黄粽子的销售价格为元袋，则每袋的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润每袋的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22.【答案】证明：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
解：存在．
当时，由旋转的性质，得，
的周长为，
由知是等边三角形，
，
的周长为，由垂线段最短可知，当时，的周长最小，此时，
的最小周长为，
解：存在．
当点与点重合时，，，不能构成三角形，
当点与点重合时，不符合题意，
当时题图的情形，易知，，若是直角三角形，则，
由知是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时题图的情形，易知，此时不存在是直角三角形，
当时题图的情形，易知，
由知，
，而，
，
只能，
，
又，
，
，
，
，
综上所述，当或时，以，，为顶点的三角形是直角三角形．
【解析】根据旋转的性质，等边三角形的性质，可判断是否是等边三角形；
当时，根据旋转的性质，可知，可知的周长为，根据是等边三角形，可求出的周长的最小值；
根据当点与点重合时，，，不能构成三角形，可知当点与点重合时，不符合题意，根据当时题图的情形，易知，，若是直角三角形，则，由知是等边三角形，求出的值，当时题图的情形，易知，此时不存在是直角三角形，当时题图的情形，易知，由知，求出的值．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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