四川省成都市郫都区2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得 ，求得.
故答案为：A.
【分析】 根据纯虚数定义得实部为0，虚部为0，求解实数的值 .
2．已知向量满足，则（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由题意得 ， .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据向量模长公式求.
3．在中，若，则C等于（　　）
A．45° B．60°或120° C．135° D．45°或135°
【答案】D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，，求得，由正弦定理得，求得，或.
故答案为：D.
【分析】 在中，利用正弦定理求得，再结合角的范围求得或.
4．（2021·新乡模拟）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．该次课外知识测试及格率为90%
B．该次课外知识测试得满分的同学有30名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名
【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由图知，及格率为 ，A不符合题意.
该测试满分同学的百分比为 ，即有 名，B不符合题意.
由图知，中位数为80分，平均数为 分，C符合题意.
由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有 ，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】 利用测试成绩百分比分布图直接求解．
5．已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若，，，又， 或与是异面直线，A错误；
B、若，则，又，，B正确；
C、，又，，又，或，C错误；
D、，，则，又，，或与相交不一定垂直，D错误.
故答案为：B.
【分析】A、若，则 或与是异面直线，判断A；B、利用线面垂直的性质判断B；C、若，，则或，判断C；D、若，，则或与相交不一定垂直，判断D.
6．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象向左平移个单位后得到，由题意得，求得，
A、令，无解，A不符合题意；B、令，无解，B不符合题意；
C、令，无解，C不符合题意；D、令，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意得平移后，结合三角函数性质求得，再代入选项分析判断.
7．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面为（　　）
A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形
【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：取，的中点，，连接，，，，，，
易证，，，平面，平面，
，，是平行四边形，平面，平面，
又，，在同一平面，
，平面，平面平面，
过直线与平面平行的平面截该正方体所得截面为平面梯形
又，截面是等腰梯形.
故答案为：D.
【分析】取，的中点，，连接，，，，通过证明平面平面，得到平面截该正方体所得截面为四边形是等腰梯形.
8．为所在平面内一点，且，则动点的轨迹必通过的（　　）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： 设中点为，，，，，动点在垂直平分线上，动点的轨迹必通过的外心.
故答案为：C.
【分析】 设中点为，化简 得，所以可判断动点的轨迹必通过的外心.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆锥顶点为S，底面圆心为为底面的直径，与底面所成的角为，则（　　）
A． B．该圆锥的母线长为6
C．该圆锥的体积为 D．该圆锥的侧面积为
【答案】A,B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面所成的角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A.如图：
由圆锥性质知，与底面所成的角为，即，与圆所在平面垂直，
，又 ， ，，A正确；
B.，即该圆锥的母线长为6，B正确；
C. 圆锥的体积为，C错误；
D.该圆锥的侧面积为，D错误.
故答案为：AB.
【分析】由圆锥性质知，，求出得，判断AB；再根据圆锥体积侧面积公式求解判断CD.
10．已知的角所对的边分别为且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．为等腰非等边三角形
D．为等边三角形
【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、由正弦定理得 ，求得，又，，A错误；
CD、由余弦定理得，化简得，，又， 是等边三角形，C错误D正确；
B、 ，B正确.
故答案为：BD.
【分析】A利用正弦定理得，结合，求角；CD利用余弦定理可判断；B 利用平面向量数量积的定义求解判断.
11．如图，在四边形中，，E为的中点，与相交于，则下列说法一定正确的是（　　）
A． B．在上的投影向量为
C． D．若，则
【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；数量积表示两个向量的夹角；二倍角的正切公式；三点共线；向量加法的平行四边形法则；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： ，四边形是平行四边形，
，，又，，
A、设 ，又 ， ，三点共线， ，求得， ，A正确；
B、，，，，， 在上的投影向量为 ，B正确；
C、 ，C正确；
D、，， 若，则 ，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，逐一判断选项.
12．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．若，则平面
C．若，则与平面所成角为
D．若平面，则与所成角的正弦最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设正方体 的棱长为，
A、是侧面上一动点，到平面的距离等于正方体的棱长是定值，又是定值，是定值，A正确；
B、连接，，，四边形是平行四边形，，是侧面上的轨迹为，与不垂直，与平面 不垂直，即与平面不垂直，B错误；
C、连接，易证得平面，平面，
又，，平面，平面，
又易证得平面，是侧面上的轨迹为，与平面所成角即为与平面所成角即为与所成角的余角，
连接，，，为等边三角形，与所成角，与平面所成角，C正确；
D、连接，，，则，，
平面，平面，平面，平面，
，平面，平面平面，是侧面上的轨迹为，
，与所成角的即为与所成角，即为，
平面，平面，，，当取得最小值即取最小值时，与所成角的正弦值最小，此时，，，，
与所成角的正弦最小值为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A、根据到平面的距离是定值和判断A；B、连接，由得是侧面上的轨迹为，进而判断与平面是否垂直；C、连接，证明平面，又因为平面，得到是侧面上的轨迹为，进而转化为求与所成角的余角；D、连接，，，通过证明平面平面，得到是侧面上的轨迹为，由平面，得到，所以当时，与所成角的正弦值最小.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人．则该校高中学生总数是　 　人．
【答案】1800
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设该校高中学生总数是人，由题意得，求得.
故答案为：1800.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
14．在中，是边上一点，且，P是上的一点，若，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量加法运算；三点共线
【解析】【解答】解： ，，，三点共线， ，求得.
故答案为：.
【分析】由得，结合三点共线求解实数的值 .
15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为　 　．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：将沿翻折到与 共面如图1，
平面，平面， ， 又 ，平面，， 平面，平面，
连接，则，，在中由余弦定理得，求得(舍负)，，将鳖臑补成长方体如图2，
则该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球的半径，外接球的体积.
故答案为： .
【分析】将沿翻折到与 共面如图1，在利用余定理出，将鳖臑补成长方体，进而求外接球的体积.
16．已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得 ，化简得，又，，
又，，，，由题意得是的角平分线，，，，.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理求得，结合二倍角公式得，再利用等面积法求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．四棱锥的底面为正方形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：．
【答案】（1）证明：设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)设与交于点，连接，利用中位线证明，进而证明平面；
(2) 通过证明，，得到平面，所以 .
18．设为平面内的四点，且．
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，若向量与平行，求实数的值．
【答案】（1）解：设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以．
（2）解：因为，
所以，
因为向量与平行，因此，解得，
所以实数的值为
【知识点】共线（平行）向量；相等向量
【解析】【分析】 (1)设，利用求即可 ；
(2) 先求出的坐标，由与平行得，进而实数的值.
19．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间分成8组，得到如下的频率分布直方图：
（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．
【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在
的频率分别为
，由，解得，
则样本落在的频率分别为，所以月用电量的平均值为
（2）解：为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数．
因为，
则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，
于是．
又，所以对应的用电量为350．
所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】 (1)根据所有小长方形的面积和为1列方程求a的值，再根据频率分布直方图计算平均值；
(2)为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；使20%的居民缴费在第二档
需要确定月用电量的分位数，结合百分数的计算方法求解．
20．已知函数的图象如图所示
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由图可知：，所以，所以由图易得，
则，又，则，则
所以，所以．
令，解得，
所以的单调递增区间为
（2）解：由题．当时，．
因为对任意的恒成立，
则，即所以
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1)由图得到， ，得到，结合 ，求得 ，再利用三角函数性质求解单调区间；
(2)易得，由对任意的恒成立，得到，求解实数的取值范围．
21．在中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围．
【答案】（1）解：由正弦定理得，
可化为：，
即
又由于，
所以
可得
即，
由于，所以，
化简为，因为，则，
所以，所以
（2）解：由正弦定理知，所以，
那么
，
又由，解得，
所以，即，
故的面积的取值范围为
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理边化角化简求得，结合求解角的大小；
(2)利用三角形面积公式结合正弦定理边化角可得 ， 结合 求角范围，进而求的取值范围.
22．如图，是平面四边形，为正三角形，．将沿翻折，过点作平面的垂线，垂足为．
（1）若点在线段上，求的长；
（2）若点在内部，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）解： 平面平面，
，
在中，，
在中，，
，
由于为等腰直角三角形，为中点，
在中，，
在中，，
（2）解：方法一：当点在内部，知平面平面，则，设是的中点，连接，
为正三角形，，
平面平面，
平面为二面角的平面角．
设点到平面的距离为，则，
过点作，连接，由平面在的中垂线上，
设，则，由等体积法得：，
，即，
，解得，所以．
方法二：
当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上．
为二面角的平面角．
由于平面，
过点作交于，连接，
，
又因为平面，
平面平面平面，
过点作，交于点，
又平面平面平面．
设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，
，解得，
在中，可设
由于，解得．
在中，，
所以．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)由 平面得，在和中由勾股定理得 ，再由勾股定理求；
(2)方法一：当点在内部，知平面，则，设是的中点，连接，则，得到平面，，则为二面角的平面角，再利用等体积法，求，进而求解余弦值．
方法二：当点在内部，知平面，为二面角的平面角，
过点作交于，则平面，平面平面， 过点作交于点，则平面，由直线与平面所成的角，求得，进而出，，进而求解余弦值.
四川省成都市郫都区2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
2．已知向量满足，则（　　）
A． B． C．3 D．4
3．在中，若，则C等于（　　）
A．45° B．60°或120° C．135° D．45°或135°
4．（2021·新乡模拟）某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．该次课外知识测试及格率为90%
B．该次课外知识测试得满分的同学有30名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名
5．已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
7．在棱长为1的正方体中，分别为的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面为（　　）
A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形
8．为所在平面内一点，且，则动点的轨迹必通过的（　　）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆锥顶点为S，底面圆心为为底面的直径，与底面所成的角为，则（　　）
A． B．该圆锥的母线长为6
C．该圆锥的体积为 D．该圆锥的侧面积为
10．已知的角所对的边分别为且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．为等腰非等边三角形
D．为等边三角形
11．如图，在四边形中，，E为的中点，与相交于，则下列说法一定正确的是（　　）
A． B．在上的投影向量为
C． D．若，则
12．在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．若，则平面
C．若，则与平面所成角为
D．若平面，则与所成角的正弦最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人．则该校高中学生总数是　 　人．
14．在中，是边上一点，且，P是上的一点，若，则实数的值为　 　．
15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为　 　．
16．已知的内角的对边分别为，且，角的平分线与交于点，且，则的值为　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．四棱锥的底面为正方形，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若平面，证明：．
18．设为平面内的四点，且．
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，若向量与平行，求实数的值．
19．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间分成8组，得到如下的频率分布直方图：
（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．
20．已知函数的图象如图所示
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21．在中，角所对的边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若是锐角三角形，求的面积的取值范围．
22．如图，是平面四边形，为正三角形，．将沿翻折，过点作平面的垂线，垂足为．
（1）若点在线段上，求的长；
（2）若点在内部，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得 ，求得.
故答案为：A.
【分析】 根据纯虚数定义得实部为0，虚部为0，求解实数的值 .
2．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由题意得 ， .
故答案为：A.
【分析】先求出，再根据向量模长公式求.
3．【答案】D
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，，求得，由正弦定理得，求得，或.
故答案为：D.
【分析】 在中，利用正弦定理求得，再结合角的范围求得或.
4．【答案】C
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】由图知，及格率为 ，A不符合题意.
该测试满分同学的百分比为 ，即有 名，B不符合题意.
由图知，中位数为80分，平均数为 分，C符合题意.
由题意，3000名学生成绩能得优秀的同学有 ，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】 利用测试成绩百分比分布图直接求解．
5．【答案】B
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A、若，，，又， 或与是异面直线，A错误；
B、若，则，又，，B正确；
C、，又，，又，或，C错误；
D、，，则，又，，或与相交不一定垂直，D错误.
故答案为：B.
【分析】A、若，则 或与是异面直线，判断A；B、利用线面垂直的性质判断B；C、若，，则或，判断C；D、若，，则或与相交不一定垂直，判断D.
6．【答案】D
【知识点】余弦函数的性质；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图象向左平移个单位后得到，由题意得，求得，
A、令，无解，A不符合题意；B、令，无解，B不符合题意；
C、令，无解，C不符合题意；D、令，，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意得平移后，结合三角函数性质求得，再代入选项分析判断.
7．【答案】D
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：取，的中点，，连接，，，，，，
易证，，，平面，平面，
，，是平行四边形，平面，平面，
又，，在同一平面，
，平面，平面平面，
过直线与平面平行的平面截该正方体所得截面为平面梯形
又，截面是等腰梯形.
故答案为：D.
【分析】取，的中点，，连接，，，，通过证明平面平面，得到平面截该正方体所得截面为四边形是等腰梯形.
8．【答案】C
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算；平面向量数量积的性质
【解析】【解答】解： 设中点为，，，，，动点在垂直平分线上，动点的轨迹必通过的外心.
故答案为：C.
【分析】 设中点为，化简 得，所以可判断动点的轨迹必通过的外心.
9．【答案】A,B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面所成的角；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：A.如图：
由圆锥性质知，与底面所成的角为，即，与圆所在平面垂直，
，又 ， ，，A正确；
B.，即该圆锥的母线长为6，B正确；
C. 圆锥的体积为，C错误；
D.该圆锥的侧面积为，D错误.
故答案为：AB.
【分析】由圆锥性质知，，求出得，判断AB；再根据圆锥体积侧面积公式求解判断CD.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：A、由正弦定理得 ，求得，又，，A错误；
CD、由余弦定理得，化简得，，又， 是等边三角形，C错误D正确；
B、 ，B正确.
故答案为：BD.
【分析】A利用正弦定理得，结合，求角；CD利用余弦定理可判断；B 利用平面向量数量积的定义求解判断.
11．【答案】A,B,C
【知识点】向量的模；平面向量加法运算；数量积表示两个向量的夹角；二倍角的正切公式；三点共线；向量加法的平行四边形法则；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解： ，四边形是平行四边形，
，，又，，
A、设 ，又 ， ，三点共线， ，求得， ，A正确；
B、，，，，， 在上的投影向量为 ，B正确；
C、 ，C正确；
D、，， 若，则 ，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，逐一判断选项.
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：设正方体 的棱长为，
A、是侧面上一动点，到平面的距离等于正方体的棱长是定值，又是定值，是定值，A正确；
B、连接，，，四边形是平行四边形，，是侧面上的轨迹为，与不垂直，与平面 不垂直，即与平面不垂直，B错误；
C、连接，易证得平面，平面，
又，，平面，平面，
又易证得平面，是侧面上的轨迹为，与平面所成角即为与平面所成角即为与所成角的余角，
连接，，，为等边三角形，与所成角，与平面所成角，C正确；
D、连接，，，则，，
平面，平面，平面，平面，
，平面，平面平面，是侧面上的轨迹为，
，与所成角的即为与所成角，即为，
平面，平面，，，当取得最小值即取最小值时，与所成角的正弦值最小，此时，，，，
与所成角的正弦最小值为，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A、根据到平面的距离是定值和判断A；B、连接，由得是侧面上的轨迹为，进而判断与平面是否垂直；C、连接，证明平面，又因为平面，得到是侧面上的轨迹为，进而转化为求与所成角的余角；D、连接，，，通过证明平面平面，得到是侧面上的轨迹为，由平面，得到，所以当时，与所成角的正弦值最小.
13．【答案】1800
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设该校高中学生总数是人，由题意得，求得.
故答案为：1800.
【分析】根据分层抽样原理计算求解.
14．【答案】
【知识点】平面向量加法运算；三点共线
【解析】【解答】解： ，，，三点共线， ，求得.
故答案为：.
【分析】由得，结合三点共线求解实数的值 .
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：将沿翻折到与 共面如图1，
平面，平面， ， 又 ，平面，， 平面，平面，
连接，则，，在中由余弦定理得，求得(舍负)，，将鳖臑补成长方体如图2，
则该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球的半径，外接球的体积.
故答案为： .
【分析】将沿翻折到与 共面如图1，在利用余定理出，将鳖臑补成长方体，进而求外接球的体积.
16．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：由余弦定理得 ，化简得，又，，
又，，，，由题意得是的角平分线，，，，.
故答案为：.
【分析】利用余弦定理求得，结合二倍角公式得，再利用等面积法求解.
17．【答案】（1）证明：设与交于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点，又因为为的中点，所以，因为平面平面，所以平面
（2）解：因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1)设与交于点，连接，利用中位线证明，进而证明平面；
(2) 通过证明，，得到平面，所以 .
18．【答案】（1）解：设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以．
（2）解：因为，
所以，
因为向量与平行，因此，解得，
所以实数的值为
【知识点】共线（平行）向量；相等向量
【解析】【分析】 (1)设，利用求即可 ；
(2) 先求出的坐标，由与平行得，进而实数的值.
19．【答案】（1）解：由直方图可得，样本落在
的频率分别为
，由，解得，
则样本落在的频率分别为，所以月用电量的平均值为
（2）解：为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数．
因为，
则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，
于是．
又，所以对应的用电量为350．
所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】 (1)根据所有小长方形的面积和为1列方程求a的值，再根据频率分布直方图计算平均值；
(2)为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；使20%的居民缴费在第二档
需要确定月用电量的分位数，结合百分数的计算方法求解．
20．【答案】（1）解：由图可知：，所以，所以由图易得，
则，又，则，则
所以，所以．
令，解得，
所以的单调递增区间为
（2）解：由题．当时，．
因为对任意的恒成立，
则，即所以
【知识点】正弦函数的图象；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1)由图得到， ，得到，结合 ，求得 ，再利用三角函数性质求解单调区间；
(2)易得，由对任意的恒成立，得到，求解实数的取值范围．
21．【答案】（1）解：由正弦定理得，
可化为：，
即
又由于，
所以
可得
即，
由于，所以，
化简为，因为，则，
所以，所以
（2）解：由正弦定理知，所以，
那么
，
又由，解得，
所以，即，
故的面积的取值范围为
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理边化角化简求得，结合求解角的大小；
(2)利用三角形面积公式结合正弦定理边化角可得 ， 结合 求角范围，进而求的取值范围.
22．【答案】（1）解： 平面平面，
，
在中，，
在中，，
，
由于为等腰直角三角形，为中点，
在中，，
在中，，
（2）解：方法一：当点在内部，知平面平面，则，设是的中点，连接，
为正三角形，，
平面平面，
平面为二面角的平面角．
设点到平面的距离为，则，
过点作，连接，由平面在的中垂线上，
设，则，由等体积法得：，
，即，
，解得，所以．
方法二：
当点在内部，知平面，此时在线段（不含端点）上．
为二面角的平面角．
由于平面，
过点作交于，连接，
，
又因为平面，
平面平面平面，
过点作，交于点，
又平面平面平面．
设为直线与平面所成的角，则点到平面的距离为，
，解得，
在中，可设
由于，解得．
在中，，
所以．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)由 平面得，在和中由勾股定理得 ，再由勾股定理求；
(2)方法一：当点在内部，知平面，则，设是的中点，连接，则，得到平面，，则为二面角的平面角，再利用等体积法，求，进而求解余弦值．
方法二：当点在内部，知平面，为二面角的平面角，
过点作交于，则平面，平面平面， 过点作交于点，则平面，由直线与平面所成的角，求得，进而出，，进而求解余弦值.