南京市玄武区名校2023-2024学年高三上学期10月学情检测
数 学 答案解析
（时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为复数，所以，故．故选：D.
2.已知向量，，若在上的投影向量，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵在上的投影向量为，，∴，故选C.
已知非负实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】非负实数，满足，有，
则
，当且仅当，即时取“=”，
由，得，
所以当时，的最小值为.
故选D
4. 过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（ ）
A. 3 B. C. D. 4
【答案】C【详解】因为圆心在直线上，所以设圆的圆心、半径分别为，
则圆的方程为，将，代入圆的方程有，解得，所以圆的方程为，在圆的方程中令得，解得，所以.故选：C.
5.中国空间站（天宫空间站：China Space Sation）是中华人民共和国建设中的一个空间站系统，预计在2022年前后建成.空间站轨道高度为400～500公里，倾角42～43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨，以进行较大规模的空间应用.某项实验在空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.2，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要多少小时？（ ）（需要的小时数取整数，参考数据：，）
A．7 B．8 C．10 D．11
【答案】B 【解析】设实验进入第二阶段至少需要小时数为，由题意，即，两边取以10为底的对数可得，即，所以，因为，，所以，所以，又，所以，即实验进入第二阶段至少需要8小时.故选：B.
6.在的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为（ ）A．1364 B．1365 C．272 D．11
【答案】A 【解析】考虑这6组数，每一组可作为集合的最大元素和最小元素，故所求集合的个数为， 故选：A.
7. 如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】如图知: , ， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得
(技巧：由三角函数图象平移性质得 )
所以函数向右平移个单位长度得到.故选B
8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上
（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，
则椭圆C的离心率为（ ）
B. C. D.
【答案】C
【详解】依题意作图，由于，
并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，
其中，，
设，则，
勾股定理，，整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得．故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照 分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 得分在区间内的学生人数为200
C. 该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80
D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数
落在区间内
答案】ABD
解析对于A，由频率分布直方图性质得：，
解得，故正确；
对于B，由频率分布直方图得：成绩落在区间的频率为，
所以人数为，故B正确；
对于，由频率分布直方图得：的频率为的频率为，所以成绩的中位数位于区间内，故错误；
对于D，估计成绩的平均数为：
所以成绩的平均数落在区间内，故D正确. 故选：ABD.
10.已知函数的导函数为，则以下结论中，正确的是（ ）
A．是的对称中心 B．是增函数
C．是偶函数 D．最大值与最小值的和为2
【答案】ACD
【解析】对A，已知函数，则，
所以，因此关于点对称，故A正确；
对B，又，则，所以不是增函数，故B不正确；
对C，又，所以是偶函数，故C正确；
对D，又函数在闭区间上有最值，又关于点对称，所以最大值与最小值的和为2，故D正确.
故选：ACD.
11.如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别，的中点，点P为棱上的动点，则（ ）
在平面CBP内不存在与平面垂直的直线
三棱锥A-PCD的体积为定值
C．平面
D．过A1，F，E三点所确定的截面为梯形
【解析】平面CBP即为平面，易知平面，所以存在，故A错误；为定值，故B正确；作中点G，连接GF，，由，平面，故平面，同理可证：平面，又，故平面平面，又平面所以，平面，C正确；连接，ED，有，故由，F，E所确定的截面即为平面，为梯形，故D正确.所以选BCD.
12. 已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）．
A.
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
【答案】BD
【解析】令，则，解得或，故A错误；
令，，所以，
令，，则，解得，故B正确；
当时，令，则有，
所以，，
当，令，则有，
所以，所以，所以为奇函数，
综上，为奇函数，故C错误；
令，则，
所以，故D正确．
故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.等差数列中，，则的前9项和为
【答案】90 【解析】因为，所以，
又，所以，
所以.
14.在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，则点的横坐标为___________.
【答案】
【解析】由题意得,
设与x轴正半轴的夹角为，则，
则与x轴正半轴的夹角为，
故点的横坐标为 ，
15.已知双曲线（，）的离心率为，若“直线与无公共点”则e的取值范围是 .
【答案】
【解析】解：因为双曲线（，）的渐近线为，
因为，要使直线与无公共点，则，
所以，，所以双曲线的离心力的范围
所以，满足条件的离心率是.
16. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为
【答案】0.8
【解析】设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为
.
解答题（本题含6小题，其中第17题10分，其它均12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分） 已知的内角A，，所对的边分别为a,b,c. 的最大值为.
（1）求角；
（2）若点D在上，满足，且，，求a.
【答案】（1） （2）
【解析】
………4分
由题意及三角函数的性质可知：，即，
又，∴； ………5分
(2)
如图所示，易得， ………7分
∴(负值舍去)， ………8分
由余弦定理可得：，. ……10分
18.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，.
(1)证明：平面EAC.
(2)若四棱锥的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】(1)证明详见解析 (2)
【解析】（1）连接交于，连接，
因为四边形是菱形，所以是的中点，
又是的中点，所以， ………2分
因为平面平面， ………3分
所以平面. ………4分
（2）取的中点，连接，则，
因为平面平面且交线为，平面，
所以平面. ………6分
设，则，解得. ………7分
因为底面是菱形，，所以，且.
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ………8分
则，，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设， ………10分
则，
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为. ………12分
19.（本小题满分12分） 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见详解； （2）
【解析】
(1)由题意可得， ……1分
①若，则，即函数在R上单调递增，
②若，令，即，
令或，
即函数在上单调递减，在和上单调递增，
综上：时，函数在R上单调递增； ………3分
时，函数在上单调递减，在和上单调递增. ………5分
(2)由（1）知，欲满足题意则需：
………7分
……9分
①， ……10分
②
……11分
即函数存在三个零点从小到大分布在区间上，
故实数a的取值范围为. ………12分
20.（本小题满分12分）
已知点在运动过程中，总满足关系式：.
（1）点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
（2）设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值。
【解析】（1）由关系式，结合椭圆的定义，
点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.
∴，，
∴点M的方程为 ………4分
（2），则
设，则
， ………5分
………7分
………9分
，
当且仅当 取等.
所以弦长的最大值为2. ………12分
21.（本小题满分12分）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若，求位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优” 请说明理由.
【答案】（1）；（2）当或时，方案一更“优”； 当或时，方案一、二一样“优”；当时，方案二更“优”.
【解析】
该混合样本阴性的概率是，根据对立事件可得，
阳性的概率为 ………4分
(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为，则的可能取值为
，其分布列为:
则， ………6分
方案二:由题意分析可知，每组份样本混合检验时，若阴性则检测次数为概率为，若阳性，则检测次数为，概率为，
方案二的检验次数记为，则的可能取值为，
;
其分布列为:
则， ……8分
， ……9分
当或时，可得，所以方案一更“优” ……10分
当或时，可得，所以方案一、二一样“优” ……11分
当时，可得，所以方案二更“优”. ……12分
22．定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是，理由见解析；（3）存在，，.
【解析】
（1）因为，且数列为“数列”，所以，
即，所以是以首项为，公差的等差数列，所以. ………3分
（2）由己知条件可得，，故，所以.
当时，，
得，又也成立，
所以， ………4分
设，即，所以.
又，所以是以首项为公比为3的等比数列.
所以，
即， ………6分
所以，
所以是以首项为，公比为3的等比数列，
故数列是“数列”. ………8分
（3）由数列，是“数列”得，
所以，即，
所以，
所以时，，
当时上式也成立，故. ………10分
假设存在正整数m，n，使得，则，
由，可知，所以，又因为m，n为正整数，
所以，又，
所以∴.
∴，∴，∴，∴.
故存在满足条件的正整数m，n，且，. ………12分南京市玄武区名校2023-2024学年高三上学期10月学情检测
数 学
（时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，复数，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，，若在上的投影向量，则为（ ）
A． B． C． D．
已知非负实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4. 过点，且圆心在直线上的圆与轴相交于，两点，则（ ）
A. 3 B. C. D. 4
5.中国空间站（天宫空间站：China Space Sation）是中华人民共和国建设中的一个空间站系统，预计在2022年前后建成.空间站轨道高度为400～500公里，倾角42～43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总重量可达180吨，以进行较大规模的空间应用.某项实验在空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.2，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要多少小时？（ ）（需要的小时数取整数，参考数据：，）
A．7 B．8 C．10 D．11
6.在的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为（ ）A．1364 B．1365 C．272 D．11
7. 如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上
（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，
则椭圆C的离心率为（ ）
B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9. 某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照 分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 得分在区间内的学生人数为200
C. 该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80
D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内
10.已知函数的导函数为，则以下结论中，正确的是（ ）
A．是的对称中心 B．是增函数
C．是偶函数 D．最大值与最小值的和为2
11.如图，在边长为2的正方体中，点E，F分别，的中点，点P为棱上的动点，则（ ）
在平面CBP内不存在与平面垂直的直线
三棱锥A-PCD的体积为定值
C．平面
D．过A1，F，E三点所确定的截面为梯形
12. 已知函数及其导函数的定义域都为，对于任意的，都有成立，则下列说法正确的是（ ）．
A.
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.等差数列中，，则的前9项和为
14.在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转 得到点，则点的横坐标为__.
15.已知双曲线（，）的离心率为，若“直线与无公共点”，则e的取值范围是 .
已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为
解答题（本题含6小题，其中第17题10分，其它均12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（本小题满分10分）
已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 的最大值为.
（1）求角；
（2）若点D在上，满足，且，，求a.
18.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，，，.
(1)证明：平面EAC.；
(2)若四棱锥的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分） 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有且仅有3个零点，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知点在运动过程中，总满足关系式：.
（1）点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程；
（2）设圆O：，直线l：与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A，B，当且时，求弦长的最大值.
21.（本小题满分12分）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检人是否患该疾病相互独立.
（1）若，求位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;
（2）某定点医院现取得位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:
方案一:采用混合检验;
方案二:平均分成两组，每组位体检人血液样本采用混合检验.
若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优” 请说明理由.
22（本小题满分12分）．定义：若无穷数列满足是公比为q的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，，.
（1）若，且数列为“数列”，求数列的通项公式：
（2）设数列的前n项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）若数列是“数列”，是否存在正整数m，n，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数m，n；若不存在，请说明理由.