2024届花都区高三年级调研考试
数学试题
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号填
写在答题卡上，并用2B铅笔把对应考生号标号涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答業信息，点涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色宇迹钢笔或签宇笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+i记+3+i”,则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合A={=3n-2,nez,B={20
∈N,则集合A∩B的元素个数为
x+
/A.1
B.2
C.3
D.4
3.从甲、乙等6名志愿者中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
A名
B青
c.
D号
.已知点4A(,2),8(2,4),C0,5),点P在△MBC所在平面内，且满足PA=|P8=PC,则
P在AB上的投影向量为
c(
D.(1,2)
高三年级数学试卷第1页，共6页
天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度可用
d
M=m-5B司（其中d为常数)近似表示绝对星等M,目视星等m和观测距离d之间
的关系.若1号天体的绝对星等为0.54，目视星等为0.04,2号天体的绝对星等为-0.36，
目视星等为0.06，则观测者与1号天体和2号天体的距离的比值约为
A.10
B.100.16
C.100.04
D.103
6.在平面直角坐标系x0y中，记直线y=x与直线y=2x在第一象限所形成的夹角为日，则
1
cos0+2sin2
A.2
B.
3
6
c.
D
7,若定义在R的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f(I)=0,则满足xf(x-1)≤0的x的
取值范围是
A.(-0,-2]U[0,+∞)
B.(-0,-2]U[-1,+∞)
C.(-0,1]U[2,+o∞)
D.(-oo,0]U[2,+o)
8.对一个质地均匀的实心圆锥体工件进行加工，已知该工件底面半径为12cm,高为8cm,
加工方法为挖掉一个与该圆锥体工件同底面共圆心的内接圆柱若要使加工后工件的质量
最轻，则圆柱的半径应设计为
A.8cm
B.6cm
C.4cm
D.2cm
二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
巴知函数f(x)=sinx+
2
一，则
sin
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的值域为(-0，-2N2]U[2W2,+0)
C.f(x)的最小正周期为2玩
D.f(x)的图象关于直线x=二对称
2
高三年级数学试卷第2页共6页2023 学年花都区高三调研考试
数学参考答案与评分标准
一、单项选择题：本题共 8 小题，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B B C C A
二、多项选择题：本题共 4 小题，满分 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11 12
答案 ACD ABD ABD BCD
三、填空题：本题共 4 小题，满分 20 分．
13 6 2．0.36； 14．5 15．3 2 3； 16． ．
2
四、解答题：本题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
a3 a4=2a1 5d 12
解：（1）设等差数列公差为d ，则
S6 S4 2a1 9d 20
， …………2分
解得 a1 1， d 2， …………4分
所以 an 1 (n 1) 2 2n 1 . …………5分
S n(1 2n 1)（2） n n
2
，所以bn ( 1)
n S ( 1)nn n
2
， …………6分
2
所以T23 1
2 22 32 42 232
2 1 1 2 4 3 3 4 22 21 21 22 232 …………7分
1 2 3 4 21 22 232 …………8分
22 (1 22)
232 276 . …………10分
2
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}
18.（12分）
解：（1）因为 sin A
3
，所以 sin[π (B+C)] sin B C 3 ， …………1分
5 5
则 sin BcosC cos BsinC
3
，又因为 sin BcosC cos BsinC
1
， …………2分
5 5
可得 sin BcosC
2
， cos BsinC
1
， …………4分
5 5
2
tan B sin BcosC
所以 5 2； …………5分
tanC cos Bs inC 1
5
（2）如图，作 BC边上的高 AD，
则 tanB
AD
, tanC AD ,又 tan B 2 tanC， …………6分
BD CD
所以CD 2BD 2 ; …………7分
sin A 3 A cos A 1 sin2因为 ， 是钝角，所以 A
4
,
5 5
则 tan A
3
,
4
tan B C tan( A) tan A 3 …………8分
4
tan B tanC 3
即： ，又 tan B 2 tanC，
1 tan B tanC 4
所以 2 tan2 C 4 tanC 1 0， …………9分
又因为C 6 2为锐角， tanC 0，所以 tanC ， …………10分
2
则 AD 6 2 , …………11分
1 1 3 6 6
所以 ABC的面积为 BC AD 3 ( 6 2) …………12分
2 2 2
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}
19. （12分）
解：（1）由题可知 f x ex sin x， …………1分
当 x 0时， ex 1， 1 sin x 1， …………2分
f x e x故 sinx 0恒成立，
所以，函数 f x 在 0, 上为增函数， …………3分
则当 x 0, 时， f x ≥f 0 2，得证； …………4分
（2）依题意， ex sin x bx 1 0在 0, 上恒成立，
x
设 g x e sin x bx 1，则 g 0 0， …………5分
g x e x cos x b 2 b . …………6分
（i）当b 2时， g x 0，此时 g x 在 0, 上单调递增， …………7分
故 g x g 0 0，符合题意； …………8分
（ii）当b 2时，由（1）知， g x e x cosx b 在 0, 上为增函数， …………9分
则必存在 x0 0, ，使得 g x0 0， …………10分
且当 x 0, x0 时， g x 0，此时函数 g x 单调递减，
当 x x0 , 时， g x 0，此时函数 g x 单调递增，
所以， g x g x0 g 0 0min ，不符合题意. …………11分
综上，实数b的取值范围为 , 2 ； …………12分
20.（12分）
（1）证明：过点 D作DF AP，垂足为点 F， …………1分
因为平面 PAD 平面 PAB，平面 PAD 平面 PAB AP，DF 平面 PAD，
所以DF 平面 PAB， …………2分
AB 平面 PAB，所以DF AB， …………3分
因为 AD AB，又 AD，DF 平面 PAD， AD DF D，
所以 AB 平面 PAD， …………4分
因为 AB 平面 ABCD，所以平面 PAD 平面 ABCD . …………5分
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}
（2）如图，作Dz 平面 ABCD，以点 D为原点，DA所在直线为 x轴，DC所在直线为 y
轴，DZ所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系.
则D 0,0,0 、 A 2,0,0 、 B 2,2,0 、C 0,2,0 ，
设 P a,0,c c 0 ，因为 PAD 45 ，所以 a c 2， …………6分

则 E
a c
,1, ， BE
a 2, 1, c c 1,
c
1, ， …………7分
2 2 2 2 2 2

n (0,0,1)为底面 ABCD的一个法向量；
6
因为直线 BE与底面 ABCD所成角的正弦值为 ，所以
6
c

cos n BE 2 6
2 2 6 ， …………8分
1 c c 12
1
4
化简得 c2 c 2 0，解得 c 2（ c 1舍去），所以 a 0； …………9分
所以 P 0,0,2 ， PD 平面 ABCD，则 PDA , PDC为等腰直角三角形；
所以 F ,E分别为 PA,PC的中点，DE PC ,易证DE 平面 PBC ；

DF (1,0,1)为平面 PBA的一个法向量，DE (0,1,1)为平面 PBC 的一个法向量；
…………10分

cos DF DE 1 1
2 2 2
………… 11分
所以平面 PBA与平面 PBC 的夹角的大小为60 . …………12分
21.（12分）
（1）解：设点 P为 (x, y)，点M 为 (x0 , y0 )，则点 N 为 (x0 ,0) ………… 1分

MN (0, y0)，PN (x0 x, y) ………… 2分
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}
x0 x
由MN 3PN ，可得 …………3分
y0 3y
因为点M (x0 , y0 )在圆 x2 y2 3上，所以
x2 ( 3y)2 3 x
2
，即 y2 1 …………4分
3
x2
所以C的方程为 y2 1；
3
（2）证明：
当直线 AB的斜率不存在时，直线 AB : x 1，不合题意； （满分无瑕疵的扣分原则）
当直线 AB的斜率存在时，设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
必要性：
若 A， B , F 三点共线，可设直线 AB : y k x 2 即 kx y 2k 0，
由直线 AB与曲线 x2
2k
y2 1(x 0)相切可得 1，解得 k 1， ………5 分
k 2 1
y x 2

4x2 6 2x 3 0 x x 3 2 3联立 x2 可得 ，所以 1 2 , x1 x2 ， y2 1 2 4
3
…………6分
所以 AB 1 1 x1 x2
2 4x1 x2 3 ,
所以必要性成立； …………7 分
充分性：
设直线 AB : y kx b,即 kx y b 0，
由直线 AB与曲线 x2 y2
b
1(x 0)相切可得 1及 kb 0 ，
k 2 1
所以b2 k 2 1， …………8 分
y kx b
2 2 2
联立 x2 可得 1 3k x 6kbx 3b 3 02 ，
y 1 3
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}
2
所以 x1 x
6kb 3b 3
2 , x1 x2 ， …………9 分1 3k 2 1 3k 2
2 2
所以 AB 1 k 2 x1 x2
2 4x x 2 6kb 3b 3 1

2 1 k 4
1 3k 2 1 3k 2
24k 2
1 k 2 2 3，1 3k
化简得3 k 2 2 1 0，所以 k 1， …………10 分
k 1 k 1
所以 或 ，所以直线 AB : y x 2或 y x 2 …………11分
b 2 b 2
所以直线 AB过点 F ( 2,0)， A， B , F 三点共线，充分性成立； …………12 分
所以 A， B , F 三点共线的充要条件是 | AB | 3．
22. （12分）
N [ x 40] 1 N [ x x 20解：（1） 或 ] 1 或 N [ ] …………2 分
20 20 20
5
(2)根据题意，年入流量 x [20,40)的概率为 0.1
50
x [40,60) 10的概率为 0.2， x [60,80) 20的概率为 0.4
50 50
x [80,100) 10的概率为 0.2， x [100,120) 5的概率为 0.1 …………3分
50 50
则，发电机可运行台数的分布列为：
可运行台数 0 1 2 3 4
…………4分
概 率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
记发电机的年总利润为Y （单位：万元）
①安装 1 台发电机，Y 的分布列如下：
Y -500 4000
P 0.1 0.9
所以， E(Y ) 500 0.1 4000 0.9 3550 . ………… 6分
②安装 2 台发电机，Y 的分布列如下：
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}
Y -1000 3500 8000
P 0.1 0.2 0.7
所以，E(Y ) 1000 0.1 3500 0.2 8000 0.7 6200 …………8分
③安装 3 台发电机，Y 的分布列如下：
Y -1500 3000 7500 12000
P 0.1 0.2 0.4 0.3
所以，E(Y ) 1500 0.1 3000 0.2 7500 0.4 12000 0.3 7050 …………10 分
④安装 4 台发电机，Y 的分布列如下：
Y -2000 2500 7000 11500 16000
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
所以， E(Y ) 2000 0.1 2500 0.2 7000 0.4 11500 0.2 16000 0.1 7000
…………11 分
（备注：4个分布列的顺序可调，前 3个为 2 分/个，最后一个 1 分）
由上可知，要使发电机的年总利润的期望值最大，该水库应安装 3台发电机．
…………12 分
{#{QQABIQSQogggAgAAAAgCEwWSCkKQkAACAKoOAAAMsAAAgQFABAA=}#}