2023-2024学年度第一学期天津市九年级数学期中模考练习卷
（时间：100分钟 分值：120分）
第I卷
一、选择题（每小题3分，共36分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列汽车标志的图形中是中心对称图形的是（　 　）
A． B．C． D．
2．一元二次方程的两个根是（　 　）
A．， B．， C．， D．，
3．一元二次方程的实数根的情况是（　 　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
4．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　 　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
5 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　 　）
A. B. C. D.
6．抛物线y＝（x﹣3）2+1可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　 　）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移1个单位
如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，
若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（　 　）
A． B． C． D．
8．如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（　 　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
9．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（　 　）
A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5
已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，
则，，的大小关系为（　 　）
A． B． C． D．
如图，在中，，．将绕点A逆时针旋转得到，
交于点E，若图中阴影部分面积为，则的长为（　 　）

A． B． C．2 D．1
12 .如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：　
；；；；的实数
其中正确结论的有（　 　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题3分，共18分，请将最简答案填写在题中的横线上）
13. 二次函数的图象的顶点坐标是__________
14. 如图，若是的半径，若，则__________．
15．已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为 ．
16 .教练对小明推铅球的录像进行技术分析，
发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，
由此可知铅球推出的距离是 m．
17.如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的直径为 ．
18.已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，
下列5个结论，
①abc＜0 ②3a+c＞0 ③4a+2b+c＜0 ④2a+b=0 ⑤b2＞4ac
其中正确的结论有__________________
三、解答题（本题共7小题，共66分，解答题应写出演算步骤）
19.解方程：
（1）；
（2）．
20. 在如图所示的网格中按要求画出图形；
（1）画出以点O为旋转中心顺时针旋转后的
（2）画出关于点O的中心对称图形．
．
21. 如图，为的直径，E为的中点，弦于E，连接并延长交于F，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若的半径为2，求的长．
22.我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元（）时，平均每天可盈利y元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？
(3)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大，并求出最大利润？
23.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，
交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
24．感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结．
①的度数为______度；
②若，则线段的长为______．
25．如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点．
(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；
(2)连接，求的面积；
(3)在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年度第一学期天津市九年级数学期中模考练习卷及解答
（时间：100分钟 分值：120分）
第I卷
一、选择题（每小题3分，共36分，每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列汽车标志的图形中是中心对称图形的是（　 　）
A． B．C． D．
【答案】D
2．一元二次方程的两个根是（　 　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
3．一元二次方程的实数根的情况是（　 　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
4．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　 　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
5 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（　 　）
A. B. C. D.
【答案】B
6．抛物线y＝（x﹣3）2+1可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　 　）
A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
如图，将绕点A按逆时针方向旋转α，得到，
若点恰好在线段的延长线上，且，则旋转角α的度数为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
8．如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为（　 　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
9．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（　 　）
A． B． C．且 D．x＜－1或x＞5
【答案】D
已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，
则，，的大小关系为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
如图，在中，，．将绕点A逆时针旋转得到，
交于点E，若图中阴影部分面积为，则的长为（　 　）

A． B． C．2 D．1
【答案】A
12 .如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：　
；；；；的实数
其中正确结论的有（　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题3分，共18分，请将最简答案填写在题中的横线上）
13. 二次函数的图象的顶点坐标是__________
【答案】
14. 如图，若是的半径，若，则__________．
【答案】
15．已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为 ．
【答案】
16 .教练对小明推铅球的录像进行技术分析，
发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，
由此可知铅球推出的距离是 m．
【答案】10
17.如图，为的直径，弦于点E，已知，，则的直径为 ．
【答案】26
18.已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，
下列5个结论，
①abc＜0 ②3a+c＞0 ③4a+2b+c＜0 ④2a+b=0 ⑤b2＞4ac
其中正确的结论有__________________
【答案】①④⑤
三、解答题（本题共7小题，共66分，解答题应写出演算步骤）
19.解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
或，
∴ ，．
（2），
，
或，
∴ ，
20. 在如图所示的网格中按要求画出图形；
（1）画出以点O为旋转中心顺时针旋转后的
（2）画出关于点O的中心对称图形．
解∶（1） 如图，即为所求，
；
（2）如图，即所求，
．
21. 如图，为的直径，E为的中点，弦于E，连接并延长交于F，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）若的半径为2，求的长．
证明：（1）E为的中点，
，
弦于点E，
，
，
又，
是等边三角形；
（2）在中，，，
，
是的直径，弦于点E，
，
．
22.我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元（）时，平均每天可盈利y元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？
(3)当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利最大，并求出最大利润？
解：（1）根据题意得，y与x的函数关系式为：
；
（2）当时，，
解得，不合题意舍去．
答：当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；
（3），
∴当时，y取得最大值450，
∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利最大，最大利润为450元．
23.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，
交⊙O于点B，延长BO与PA的延长线交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OB=3，OD=5，求OP的长．
解：（1）证明：连接OA，
∵AB⊥OP，OB=OA，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
在△OBP与△OAP中，
∴△OBP≌△OAP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°．
∴OB⊥PB．
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵OD=5，OA=OB=3，∴在Rt△AOD中，AD==4，
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
在Rt△DBP中，PD2=PB2+BD2，即（PB+4）2=PB2+82，
解得，PB= 6，
在Rt△OBP中，OP==3．
24．感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明．
探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结．
①的度数为______度；
②若，则线段的长为______．
解：感知：∵和都是等腰直角三角形，，
，即；
探究：证明：和都是等腰直角三角形，
，，
将绕点逆时针旋转，
，
在与中，
，
，
；
应用：
①是等腰直角三角形，
，
同探究可得：，
，
故答案为：；
②在中，，
，，
，
∴，
∴．
25．如图，关于x的二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且过点．
(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴；
(2)连接，求的面积；
(3)在上方抛物线上有一动点M，请直接写出的面积取到最大值时，点M的坐标．
解：（1）∵关于x的二次函数经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴抛物线对称轴为直线；
（2）解：如图所示，过点D作于E，交于F，
令，则，
∴点C的坐标为；
令，则，
解得或，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，则，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，过点M作于H，交于N，
设，则，
∴，
同（2）可得，
∵，
∴当时，最大，此时点．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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