2023-2024学年湖北省宜荆荆恩高三（上）起点数学试卷（9月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.将个不同的小球随机放入甲、乙、丙个盒子，则个小球在同一个盒子的概率为( )
A. B. C. D.
4.在中，，，若为边上的动点，则( )
A. B. C. D.
5.定义在上的减函数满足条件：对，，总有，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.设为抛物线：上一点，为抛物线的焦点，以为圆心、为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知为坐标原点，过点作直线：不全为零的垂线，垂足为，当，变化时，的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列已知“等比差”数列中，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有( )
A. 从个个体中随机抽取一个容量为的样本，则每个个体被抽到的概率都是
B. 已知一组数据，，，，的平均数为，则这组数据的方差是
C. 数据，，，，，，，的分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字，，，，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为偶数”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件和事件互为对立事件
C. D. 事件和事件相互独立
11.如图，直角梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则下列说法正确的有( )
A. 平面
B. 四棱锥外接球的体积为
C. 二面角的大小为
D. 与平面所成角的正切值为
12.关于函数，下列说法正确的有( )
A. 在上是增函数
B. 为偶函数
C. 的最小值为，无最大值
D. 对，，都有
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.的展开式中的系数为______用数字作答．
14.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得函数是奇函数，则的最小值为______ ．
15.四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为线段，上的点，，若平面，则 ______ ．
16.已知双曲线：的左焦点为，直线与的右支交于点若点，是线段的两个三等分点且为坐标原点，则的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，．
求的值；
求的值．
18.本小题分
如图，在三棱台中，，，，，且平面设，，分别为棱，，的中点．
证明：平面平面；
求平面与平面所成的角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
若在处取得极值，求的值，并求此时曲线在处的切线方程；
若在上为减函数，求的取值范围．
20.本小题分
已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且，分别为数列的第二项和第三项．
求数列，的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：．
21.本小题分
甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的个黑球和个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为．
求，；
设，证明：；
求的数学期望的值．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点，为椭圆上异于，的两个动点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
设直线，的斜率分别为，，和的面积分别为，若，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若复数为纯虚数，
所以，解得，
．
故选：．
由复数为纯虚数求出，再代入所求式化简即可得出答案．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，则，即，所以，
因为，所以．
故选：．
利用集合交集的定义直接求得．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题
3.【答案】
【解析】解：将个不同的小球随机放入甲、乙、丙个盒子，共有：种方法，
个小球在同一个盒子有种情况，
所以个小球在同一个盒子的概率为．
故选：．
先求出将个不同的小球随机放入甲、乙、丙个盒子的方法总数以及个小球在同一个盒子的方法总数，由古典概率的公式代入即可得出答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，在中，，，
则，，
又为边上的动点，
则
．
故选：．
根据余弦定理，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可．
本题考查平面向量数量积性质及运算，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：在中，令，得，
所以有，
因为函数是定义在上的减函数，
所以有．
故选：．
利用函数的单调性，结合对数函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点，准线方程为：，
设到准线的距离，到准线的距离，
则，抛物线定义，
依题意得：，
即，
解得：．
的取值范围是．
故选C．
由条件求得抛物线的焦点和准线方程，由直线和圆相交的条件可得，由抛物线的定义可由表达，由此可求的取值范围．
本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理．
7.【答案】
【解析】解：因为直线，可得，
由方程组，解得，，即直线恒过点，
又因为过点作直线的垂线，垂足为，设，
可得，所以，
可得，
整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
又由，所以．
故选：．
根据题意，得到直线恒过点，结合，求得点的轨迹方程，结合点与圆的位置关系，即可求解．
本题考查点的轨迹方程的求法，属于基础题
8.【答案】
【解析】解：数列是“等比差”数列，
，
，，
，
，
由累加法得，
，
由累乘法得，
．
故选：．
利用累加法和累乘法进行求解，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：从个个体中随机抽取一个容量为的样本，则每个个体被抽到的概率都是，故A正确；
对于：已知一组数据，，，，的平均数为，则，
这组数据的方差为，故B错误；
对于：这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，共个，故其分位数为第个数和第个数的平均数，为，故C正确；
对于：若样本数据，，，的标准差为，则方差为，故数据，，，的方差为，标准差为故D错误．
故选：．
：根据古典概型概率计算方法即可计算；：根据平均数的计算方法求出的值，在根据方差计算公式即可求解；：根据分位数的求法求解即可；：根据方差的性质即可求解．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项A：判断正确；
选项B：事件：第一次向下的数字为偶数，第二次向下的数字为奇数，
则两次向下的数字之和为奇数．则事件和事件不是对立事件．判断错误；
选项C：，则判断正确；
选项D：，又，，
则有成立，则事件和事件相互独立．判断正确．
故选：．
求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，为中点，
，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形，
；
，，，
，
，
又，，平面，
平面，A正确；
对于，，，
，即，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面；
矩形的外接圆半径，
四棱锥的外接球半径，
四棱锥外接球的体积，B正确；
对于，平面，平面，
；
又，
二面角的平面角为，
，，
，
二面角的大小为，C正确；
对于，平面，
即为直线与平面所成角，
，，，
，
即直线直线与平面所成角的正切值为，D错误．
故选：．
易证得四边形为矩形，得到；利用勾股定理可得；由线面垂直的判定可证得A正确；根据平面和矩形外接圆半径可求得外接球半径，代入球的体积公式可知B正确；根据二面角平面角定义可知即为所求角，根据长度关系知C正确；根据线面角定义可知为所求角，由长度关系可知D错误．
本题考查立体几何知识的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题设，
而在上递增，在上递减，在上递增，
所以在上递减，在上递增，又在定义域上递增，
所以在上递减，在上递增，错；
由，即为偶函数，对；
由上，仅当时等号成立，则，无最大值，对；
综上分析知：为下凹的图象，上任意取两点，都有，错．
故选：．
利用指对数复合函数的单调性判断单调性，奇偶性定义判断，再根据指对、对勾函数性质求最值，函数图象下凹，数形结合判断．
本题考查函数性质的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式为，，，，，
令，解得，
所以的系数为，
故答案为：．
求出展开式的通项公式，令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
图像向左平移个单位长度后得到是奇函数，
，，的最小值为．
故答案为：．
先根据辅助角公式化简得，平移单位长度后函数是奇函数得出，计算出最值即可．
本题考查的知识要点：函数的平移变换，函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，连接交于，连接，，
由于平面，平面，平面平面，
则，由于是的中点，所以，
过作，交于，
则，由于，所以，
所以．
故答案为：．
根据线面平行的性质定理，平行线分线段成比例等知识求得正确答案．
本题主要考查线面关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：不妨设点在第一象限，如图，作于点，
则为的中点，也是的中点，设的右焦点为，连接，
因为是的中位线，所以，
所以，设，则，，
因为，所以，
整理得，解得或舍，
所以，故，
故，又，所以．
故答案为：
作于点，则为的中点，设，由并结合双曲线的定义，得出，的关系，进一步计算得出结果．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：在中，，，，，
，整理得：，
由余弦定理可得：，
，
，，，可得：，
，
．
【解析】利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得，整理得，由余弦定理可解得的值，
由及已知利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：证明：连接，则四边形是矩形．
又，则，从而．
由平面，且平面，得．
由，且为三角形的中位线，得．
又因为，，平面，
所以平面．
由于平面，则．
因为，，平面，则平面．
又因为平面，
所以平面平面．
以为原点，、、为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
故，，．
设是平面的法向量，
，所以，取，得，
设是平面的法向量，
，所以，取，得，
则，
又平面与平面所成的角为锐角，
故平面与平面所成的角的余弦值为．
【解析】由面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；
以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解．
本题考查面面垂直的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：，
在处取得极值，
，解得．
当时，，，
在上单调递增，在上单调递减，
故在处有极大值，符合题意，
，，
曲线在点处的切线方程为，
即为：
由在上为减函数，
在上恒成立，
可得，在上恒成立，
令，，
在上单调递增，
，，因此．
【解析】求出函数的导数，由题意可得求出的值，计算，的值，由导数的几何意义与点斜式求解即可；
由题意可得在上恒成立，分离参数，令，求出即可得出答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程、分离参数方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为数列的前项和为，且，
当时，，
当时，，
也满足上式，所以，
在数列中，，，
则公比，，
所求通项公式为，．
由得，
而，
，
，
因为，故．
【解析】根据和的关系求出的通项公式，由中的项和等比数列通项公式的关系求出的通项公式；
利用裂项求和进行求解．
本题考查裂项法求数列的的前项和，属于中档题．
21.【答案】解：由题可知：，；
证明：次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知：
，
，
，
，
，
，
，
即 ；
解：，，
又，
即 ，
．
【解析】交换后甲盒有黑球，说明两个盒子相互交换个白球或者交换个黑球，若交换后甲盒有黑球，说明甲给乙白球，乙给甲黑球；
根据全概率公式进行求解；
根据的结论和期望公式进行求解即可．
本题主要考查了全概率公式，考查了期望的定义，属于中档题．
22.【答案】解：依题意，，
则，解得，，
故椭圆的标准方程为．
设点，，
若直线的斜率为零，由对称性知，，
则，，，不合题意．
设直线 的方程为，由于直线不过椭圆 的左、右顶点，则，
联立 得，由可得，
，，，
所以
解得，
即直线的方程为，故直线过定点．
由韦达定理可得，，
由平面几何知识，
所以，
设，则，
当时，，故在单调增，
因为
所以，
因此，的最大值为．
【解析】根据椭圆的几何性质，建立方程组，可得答案；
分情况设直线的方程，联立方程，写出韦达定理，根据斜率之间的关系，求得直线方程的参数，整理所求值的函数，利用导数，求得最值．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
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