新乡市铁路高中2023-2024学年高二上学期9月月考数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知，，且，则x的值为（ ）
A. B. C.6 D.
2.已知是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（ ）
A.垂直 B.平行或直线在平面内
C.相交但不垂直 D.不能确定
3.已知，，，若向量，，共面，则实数等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
6.定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A. B.4 C. D.
7.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点C到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当，均最短时，（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.关于空间向量，以下说法不正确的是（ ）
A.向量，，若，则
B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D.若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
10.《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）
A.
B.
C.向量在向量上的投影向量为
D.向量在向量上的投影向量为
11.如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则（ ）
A.异面直线和所成的角为
B.点A到平面的距离为
C.若P，Q分别为线段，的中点，则平面
D.线段长度的最小值为
12.在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A.当时，平面
B.当时，存在唯一点P使得所在直线与直线的夹角为
C.当时，的最小值为
D.当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13.已知，，P是x轴上的动点，当时，点P的坐标为______.
14.如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______.
15.已知在正四棱台中，上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，侧棱与下底面所成的角均为60°，则异面直线与所成角的余弦值为______.
16.在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，.点M是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知空间三点，，，设，.
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）若向量与共线，求实数的值.
18.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.如图，在棱长为3的正方体中，点E是棱上的一点，且，点F是棱上的一点，且.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离.
20.在斜三棱柱中，是等腰直角三角形，，，平面底面，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
21.如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.如图，在四棱锥中，，，，，，.E是棱上一点，平面.
（1）求证：E为的中点；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积.
条件①：点D到平面的距离为；
条件②：直线与平面所成的角为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
高二数学答案
一、单选题
1.D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.A
二、多选题
9.AC 10.BD 11.BCD 12.ACD
三、填空题
13 14. 15. 16.
四、解答题
17. 【答案】（1）或. （2）.
【详解】（1）由已知可得，，
∴，. 若与互相垂直，则，
即，
解得或. （2）由（1）知，，
则，，
由题意可设，所以 解得或因此实数的值为.
18. 【答案】（1）60°；（2）证明见解析．
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为60°．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
19.【答案】（1）（2）
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（2）连接，显然，因为， ．
所以，于是，
因为平面，平面，
所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，
设平面的法向量为，
，，
则有，
，
点到平面的距离为：
.
20. 【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：取中点，连接，，如图所示：
∵，，是等腰直角三角形，
∴，，且，
∵平面底面，平面底面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，
∴，
∴，（符合勾股定理），
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）由（1）知，可以建立分别以，，为x，y，z轴的空间直角坐标系，
则，，，，
又因为斜三棱柱中，，
所以，
所以，，，
设平面的法向量，
则，令，则，
∴平面的法向量，
设平面的法向量，
则，令，则，，
∴平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则.
所以，
故二面角的正弦值为.
21. 【答案】（1） （2）存在，
【详解】（1）过作于，由于，则，由于，且四边形是等腰梯形，所以，在三角形中，由余弦定理可得，所以，故，

以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，
∴，，，，，，
，，
设面的法向量，
则，即，取，得．
设面的法向量，，，
则，即，则取，得．
∵，
由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
（2），，，，面，
面．
设，
若平面，则 ，所以，
所以
22. 【答案】（1）证明见解析 （2）条件选择见解析，
【详解】（1）过点作交于点，连接，如图所示：

因为，所以 ．
所以B，C，E，F四点共面．
又因为平面 ，平面平面
所以
所以四边形是平行四边形
所以，，
由，，
所以，，所以，，
所以为的中位线，
所以为的中点．
（2）过作于，连接．
因为，又因为 ，
且，
所以 平面．
又平面，
所以 平面平面．
因为，所以为中点，
又因为平面平面，
所以平面．
又平面，
所以
如图建立空间直角坐标系．
设．由题意得，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则
，
令，则．所以．
选择条件①
因为到平面的距离为，
所以，
解得 ．
所以四棱锥的体积．
选择条件②
因为直线与平面所成的角为，
所以，
解得 ．
所以四棱锥的体积