克东县2023-2024学年高一上学期9月月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章、第二章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列结论：
①两个实数之间，有且只有三种关系中的一种；②若，则；③；④已知，则．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B，2 C．3 D．4
4．若且，则的值与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
5．已知集合，则（ ）
A．1 B．0 C．9 D．0或1
6．若正数满足，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为．则与20的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列选项中是的充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．当且仅当时，取得最小值
12．对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合，若，则实数的取值范围是__________．
14．“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
15．集合，若，则由实数组成的集合为__________．
16．若，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知全集，集合，集合为小于6的质数．
（1）求；
（2）求．
18．（本小题满分12分）
关于的不等式的解集是．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
19．（本小题满分12分）
已知集合．
（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知集合．
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
若方程有两个不相等的实数根，且．
（1）求证：；
（2）若，求的最小值．
克东县2023-2024学年高一上学期9月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．D 根据图形可得，阴影部分表示的集合为，，．
2．B 由存在命题的否定知命题的否定为．故选B．
3．C 对于①，任意两个实数显然成立；对于②，若，则，故且或且，故错误；对于③，，进而由，可得，故正确；对于④，由，得同号，当时，；当时，，故若，则，故正确．
4．A 且，．故选A．
5．C 由，可得或或，当时，，不符合题意；当时，或，当或0时，不合题意，当时，，经检验，符合题意，故选C．
6．C ，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8．
7．B ，
因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数．所以，对于A：，故A错误；对于B，C：，故B正确；C错误；对于D：，故D错误．故选B．
8．A 记天平左臂长为，右臂长为，第一次称得的黄金为，第二次称得的黄金为，
其中，
由题可得解得
所以，当且仅当时取等号，而，所以．
9．ACD ，故B错误．故选ACD．
10．ABD 当时，；当时，；当时，；当时，．所以A、B、D项是的充分条件．
11．ABD 由，得，因为，所以，当且仅当，且，即时，等号成立．所以的最小值为9，故A、D项正确；因为，所以，故B项正确，C项不正确．
12．BC 当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为．
综上，B、C项都可能成立．
13． ．
14．必要不充分 因为，所以“”是“”的必要不充分条件．
15． ∵集合，且，
或或，
．则实数组成的集合为．
16．4 因为，所以，当且仅当，即时等号成立．
17．解：（1），解得或4，
．
（2）
，
．
18．解：（1）依题意，可知方程的两个实数根为和1．
所以，解得．
（2）由，得．
因为的两根为，
所以不等式的解集为．
19．解：（1）因为，所以．
因为是的充分条件，所以
解得．
；
（2）因为，所以
解得．
故的取值范围为．
20．解：（1）若是空集，则，解得；
（2）若中至多有一个元素
当时，，符合
当时，若，解得，
综合得：或．
21．解：（1）因为不等式的解集为，
所以2和是方程的两个实数根，且，
所以，解得．
（2）由（1）知，于是有，
故，当且仅当时，等号成立，
且恒成立，所以，
得，所以的取值范围为．
22．（1）证明：，
，
所以；
（2）解：，
因为，所以，
记，因为，所以，
于是，当且仅当时取等号，
因此的最小值为8．