2021级高三上学期9月月考试题
文科数学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2023年9月
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题仅有一个正确选项．
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
2. 已知集合，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集的运算，可得答案.
【详解】由题意，，则.
故选：B.
3. 设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件求出等差数列的首项及公差即可得解.
【详解】因数列是等差数列，由等差数列的性质知：，
而，则，
等差数列公差，首项，
则.
故选：B.
4. 若实数，满足，则的最大值为（ ）
A. 8 B. 7 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.
【详解】由约束条件作出可行域，如图：
联立 ，解得
由，得，为直线的纵截距.由图可知，当直线过点时，直线的纵截距最大，且.
故选：B.
5. 已知直线m，n及平面，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由充分条件与必要条件求解即可
【详解】由题意可知：
当时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；
当时，成立，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数
C. 函数是周期函数 D. 函数的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.
【详解】对于A，当时，，，故A错误；
对于B，由余弦函数的性质，易知函数在上不单调，故B错误；
对于C，由二次函数的性质，易知函数在上为增函数，故C错误；
对于D，由，且当时，，则，故D正确.
故选：D.
7. 已知，都为锐角，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由同角三角函数的基本关系可得和，代入，计算可得．
【详解】解：，都是锐角，，，
，，
故选：A．
8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆柱的底面半径为，利用勾股定理求出，再根据圆柱的体积公式计算可得.
【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得或（舍去），
所以圆柱的体积.
故选：C
9. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.
【详解】因为，
，
，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
10. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将变形可得，由基本不等式的性质可得的最小值为2，由题意得，解不等式即可得答案．
【详解】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即
则有，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则有，解可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
11. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数2 B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：，
方差为，
可以出现点数6，故C错误；
对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，
则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．
故选：D．
12. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即m的取值范围为．
故选：A．
二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 命题：“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，即可得答案.
【详解】命题：“，”是全称量词命题，其否定为特称命题，
即为，，
故答案为：，
14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．
【答案】####
【解析】
【分析】根据条件求出的坐标，然后可得答案.
【详解】因为，，所以
所以
所以向量与的夹角为
故答案为：
15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
16. 设函数，有下列结论：
①的图象关于点中心对称；
②的图象关于直线对称；
③在上单调递减；
④在上最小值为，
其中所有正确的结论是______．
【答案】②③
【解析】
【分析】整理化简解析式可得，根据正弦函数的相关性质逐一进行判断即可．
【详解】
，
当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；
当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；
由，得，
当即时，函数单调递减，
则当时，函数单调递减，故③正确；
当时，，可知函数在上单调递增，
∴的最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. 等比数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和若，求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求出公比，再根据等比数列的通项即可得解；
（2）根据等比数列前项和公式计算即可.
【小问1详解】
设公比为，
由，
得，解得，
所以或；
【小问2详解】
当时，
，解得，
当时，
，即，方程无解，
综上所述，.
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若面积为，且，求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（2）利用三角形的面积公式可求bc的值，由正弦定理化简已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根据余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长．
【详解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，
∴在△ABC中，sinA＝＝．
（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，
又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，
，所以周长为.
【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的人占60%，选考政治的人占75%，物理和政治都选的有80人．
（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理人数
没选考物理的人数
合计
（2）在该地区已选考物理科的考生中随机选出3人，求这3人中至少一人选政治的概率．
附：参考数据和公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中
【答案】（1）列联表见答案，可以
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得出选考物理的考生及选考政治的考生人数，完成列联表，计算，根据参考数据得出结论；
（2）根据独立重复试验概率公式及对立事件的概率关系计算得出结果．
【小问1详解】
根据题意，选考物理的考生有人，选考政治的考生有人，
列联表补充完整如下：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
没选考物理的人数 70 10 80
合计 150 50 200
，
可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选物理与选考政治有关．
【小问2详解】
在该地区已选考物理科的考生中随机选出1人，选考政治的概率为，没有选考政治的概率为，
在该地区已选考物理科的考生中随机选出3人，则这3人中至少一人选政治的概率为
．
20. 如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．
（1）求证：∥平面PBC
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）取PB的中点F，连接证明四边形CDEF是平行四边形，进而可得DE//平面PBC；
（2）根据，利用棱锥体积公式求解．
【小问1详解】
取PB的中点F，连接EF，CF，又因为E是PA的中点，
所以EF∥AB，且
因为，且AB∥DC，
所以EF∥CD，且EF＝CD，
所以四边形CDEF是平行四边形，可得DE∥CF，
因为CF平面PBC，DE平面PBC，所以DE∥平面PBC；
【小问2详解】
因为AB∥DC，AB⊥AD，所以AD⊥CD，
因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD，
因为∠PAD＝45°，所以在等腰直角三角形APD中，PD＝AD＝2，
∵AD＝CD＝2，AB＝4，
∴在直角△DAB中，，，
∵CG⊥BD，设CG∩BD＝H，∴，
∴DH＝，BH＝＝，
在直角△BHG中，，∴BG＝3，
∴．
21. 已知a为实常数，函数（其中为自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）由（1）分情况讨论，当，时，不符合，当时，为函数的最小值，令，根据函数的单调性求出的范围即可．
【小问1详解】
，
当时，，在上单调递增；
当时，时，；时，，
在上单调递增，在上单调递减；
综上：时，在上是单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
由（1）得，时，函数在递增，不可能有2个零点，
当时，函数在递减，在递增，
函数的最小值为，∴函数只有1个零点，
当时，函数在递减，在递增，
为函数的最小值，
令，
，
当时，，故函数在递增，且，
故时，，
令，
，在上递减，
，即时，
由于，
所以，当时，函数有2个零点．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，那么按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为，求的值．
【答案】（1）曲线C的普通方程为 ，直线l的直角坐标方程为 ；
（2）2
【解析】
【分析】（1）对于曲线C，消去参数，对于直线l，运用极坐标和直角坐标转换公式即可；
（2）联立C与l方程，求出A，B点坐标，运用两点距离公式计算即可.
【小问1详解】
对于C： ， 得： ，代入①得： ，
化简得： ，是等轴双曲线；
对于l，根据极坐标与直角坐标转换公式： 得： ；
【小问2详解】
由（1）的结论，直线l经过 ，即点P在l上，联立方程： ，
将④代入③得： ，解得 ，
，不妨设 ，
则 ， ，
；
综上，曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为， .
23. 不等式的解集为．
（1）求n的值；
（2）设a，b，，且，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论解绝对值不等式即可求得参数值；
（2）根据（1）中所求，结合柯西不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，原不等式等价于，解得；
当时，原不等式等价于，不等式恒成立，满足题意；
当时，原不等式等价于，解得；
综上所述，不等式解集为，故.
【小问2详解】
根据（1）中所求，，
故，
即，故，
当且仅当，且时，也即时取得等号.
故的最大值为.2021级高三上学期9月月考试题
文科数学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2023年9月
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题仅有一个正确选项．
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，那么等于（ ）
A. B. C. D.
3. 设数列是等差数列，是数列的前n项和，，，则等于（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
4. 若实数，满足，则的最大值为（ ）
A. 8 B. 7 C. 2 D. 1
5. 已知直线m，n及平面，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数
C. 函数是周期函数 D. 函数的值域为
7. 已知，都为锐角，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A B. C. D.
9. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
11. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数2 B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4
12. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 命题：“，”的否定是______．
14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为________．
15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是__________．
16. 设函数，有下列结论：
①的图象关于点中心对称；
②的图象关于直线对称；
③在上单调递减；
④在上最小值为，
其中所有正确的结论是______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17. 等比数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和若，求.
18. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的周长.
19. 某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的人占60%，选考政治的人占75%，物理和政治都选的有80人．
（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治人数 合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计
（2）在该地区已选考物理科考生中随机选出3人，求这3人中至少一人选政治的概率．
附：参考数据和公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中
20. 如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．
（1）求证：∥平面PBC
（2）求三棱锥的体积．
21. 已知a为实常数，函数（其中为自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，函数有两个零点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多选，那么按所做的第一题计分．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为，求的值．
23. 不等式的解集为．
（1）求n的值；
（2）设a，b，，且，求的最大值．