2023届陕西省咸阳市高考模拟
数学（文）试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，且夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位:时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时.（参考数据:）
A． B． C． D．
5．若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为1，且是抛物线上两点，线段的中点到轴的距离为， 则（ ）
A． B． C． D．
6．年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
第周
治愈人数（单位：十人）
由上表可得关于的线性回归方程为，若第6周实际治愈人数为18人，则此回归模型第6周的残差（实际值减去预报值）为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:

①；
②平面平面；
③平面平面；
④三棱锥体积为.
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
8．已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200 B．300 C．210 D．320
9．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，且它们的公共弦过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最小值为________．
14．写出一个与直线相切，且与圆外切的圆的方程______.
15．已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:
①;
②的单调递增区间为，（）;
③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;
④.
其中正确的序号是__________.
16．黎曼函数是一个特殊的函数，是由德国数学家波恩哈德 黎曼发现，在数学中有广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下:
，若函数是上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________
三、解答题
17．已知中，，且边上的中线交于点.
(1)求的长;
(2)求的值.
18．如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线平面的距离.
19． 阳光体育运动是教育部、国家体育总局、共青团中央决定于2007年4月29日在全国范围内全面启动的一项有利于学生健康的运动.学校开展阳光体育运动，是为切实推动全国亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生积极参加体育锻炼，走向操场，走进大自然，走到阳光下，掀起群众性体育锻炼热潮.某中学有2000名学生，其中男生1200人，女生800人.为了解全校学生每天进行阳光体育的时间，学校采用分层抽样的方法，从中抽取男女生共100人进行问卷调查.将样本中的“男生”和“女生”按每天阳光体育运动时间（单位：分钟）各分为5组：经统计得下表：
男生
人数 3 6 24 24 3
女生
人数 2 14 16 6 2
(1)用样本估计总体，试估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的总人数是多少？
(2)（ⅰ）从阳光体育运动时间不足40分钟的样本学生中随机抽取2人，求至少有1名女生的概率;
（ⅱ）若阳光体育运动时间不少于一小时，则被认定为“爱好体育运动”，否则被认定为“不爱好体育运动”.试根据以上数据运用统计学知识分析，爱好体育运动与性别有关的把握性的范围.
附参考数据：
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
3，841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.
(1)求抛物线的方程;
(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
23．已知正数满足，求证:
(1);
(2).
2023届陕西省咸阳市高考模拟
数学（文）试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】或，
，
所以.
故选：B.
2．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z，即可得解；
【详解】因为复数，所以虚部为，
故选：C.
3．已知向量满足，且夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的数量积的运算律结合数量积的定义，即可求得答案.
【详解】由向量满足，且夹角为，
可得
，
故选：B
4．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位:时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ ）小时.（参考数据:）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分别表示出与的范围，然后结合对数的运算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则，，
所以，
则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时.
故选：D.
5．若是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，的最小值为1，且是抛物线上两点，线段的中点到轴的距离为， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线定义求焦半径即可.
【详解】由条件可得，设，
则，当时取得等号，
所以，解得：，
所以抛物线C方程为.
如图所示，
设，
因为AB的中点到y轴的距离为2，
所以，
所以由抛物线的定义可知.
故选：D.
6．年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
第周
治愈人数（单位：十人）
由上表可得关于的线性回归方程为，若第6周实际治愈人数为18人，则此回归模型第6周的残差（实际值减去预报值）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可得出回归直线方程，再将代入回归直线方程，用18减去所得结果即可得解．
【详解】由表可知，，，
由于回归直线过样本的中心点，则，解得，
所以回归直线方程为，
当代入回归直线方程可得，
所以第6周的残差为，
故选：A．
7．如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:

①；
②平面平面；
③平面平面；
④三棱锥体积为.
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
【答案】D
【分析】通过证面可判断①②；求两平面所成的二面角可判断③；得到三棱锥的高后可判断④.
【详解】如图：

因为四边形是菱形，，
所以，为的中点，
所以，，，面，
所以面，又面，所以，即①正确；
由①知面，又面，所以平面平面，即②正确；
如图：

取的中点为，连接，，依题意，，
所，，所以是二面角的平面角，
又因为平面平面，平面平面，
所以面，和是边长为2的正三角形，
所以，且有，
所以在中，，
又和是两全等的等腰三角形，，
的中点为，所以，
由已知可得是边长为2的正三角形，得，
则在中，容易算得，，，
所以，所以二面角不是直二面角，故③错误；
由已知可得是边长为2的正三角形，又由上得面，
所以三棱锥的高即为，，是边长为2的正三角形，
所以三棱锥的体积为，故④正确.
故选：D.
8．已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200 B．300 C．210 D．320
【答案】C
【分析】设，，则，解方程即可求出，再由等差数列的前项和即可得出答案.
【详解】因为数列为等差数列，设，所以，
所以．因为，
所以所以
则，所以．
故选：C.
9．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积.
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为面面，面面，面，
所以面，
同理：面，
设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，
则面，面，
所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
方法1：等边△SDA的外接圆半径
方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：，
又因为，
所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：C.
10．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可.
【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，
则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率
，
故选：C.
11．已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，且它们的公共弦过点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线以及抛物线的对称性可推出它们的公共弦垂直于x轴，由此分别利用抛物线和双曲线方程求得公共弦长，可得的关系式，即可求得答案.
【详解】抛物线的焦点为，
由题意知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，
可得，设它们的公共弦为,由题意知过点，
根据双曲线以及抛物线的对称性可知轴，
将代入中，得，故，
将代入中，可得，
则，所以，
即，（舍去），
故选：B
12．已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用导数研究单调性及图象趋近，进而画出其图象观察即可.
【详解】因为当时，，
则，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，当时，，
当时，，
则在上单调递增，
，当时，，
综上，的图象如图所示，

因为，
所以或，
又因为恰有4个不等的实根，且，
所以恰有3个不等的实根，
即恰有3个不同的交点，
所以由图象可知，.
故选：A.
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最小值为________．
【答案】/0.5
【分析】作出线性区域，由图分析求目标函数的最小值即可.
【详解】作出线性区域如图所示：
，所以表示可行域中的点到原点连线的斜率，
由图可知，点与原点连线斜率最小，
所以的最小值为：
故答案为：.
14．写出一个与直线相切，且与圆外切的圆的方程______.
【答案】（答案不唯一，只需满足即可）
【分析】设所求圆的圆心为，分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，求出点的轨迹方程，即可得出圆的方程，即可得解.
【详解】如下图所示：
设所求圆的圆心为，圆的圆心为，半径为，
设圆的半径为，则，且圆心到直线的距离为，
所以，点到点的距离等于点到直线的距离，
所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
设点的轨迹方程为，则，可得，
所以，圆心的轨迹方程为，则，
所以，圆心的坐标可表示为，则圆的半径为，
所以，圆的方程为，
故满足条件的一个圆的方程为.
故答案为：（只需满足即可）.
15．已知函数的最小正周期为π，对于下列说法:
①;
②的单调递增区间为，（）;
③将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于y轴对称;
④.
其中正确的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】先化简为，再根据正弦型函数的性质对各项一一判断即可.
【详解】
对于①：因为，∴，故①正确；
对于②：，
令，，解得，，
所以单调递增区间为，，故②错误；
对于③：将图像向左平移个单位得到，
关于y轴对称，故③正确；
对于④：
，所以④正确；
故答案为：①③④．
16．黎曼函数是一个特殊的函数，是由德国数学家波恩哈德 黎曼发现，在数学中有广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下:
，若函数是上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________
【答案】
【分析】利用为奇函数和满足可得的周期，利用周期可将化为，结合可求；利用周期和奇函数性质可将化到内利用解析式求解．
【详解】，又是奇函数，
∴，
∴，的一个周期为2．
∵，
，
∴，
∴．
故答案为：.
三、解答题
17．已知中，，且边上的中线交于点.
(1)求的长;
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理直接求解；
（2）易知，根据重心的性质求出与，利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）由余弦定理得,
而，于是,
即，解得.
（2）易知，如图，为的重心，
可得,
，
∴.
18．如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证平面，根据线垂直性质得到，由已知可得，利用等边三角形三线合一的性质可得，再利用线面垂直的判定定理可证平面；
（2）由线面平行的判定定理可知平面，即点到平面的距离为所求，根据勾股定理逆定理可证，再利用等体积法求解即可.
【详解】（1）证明：在直四棱柱中，底面ABCD，而底面ABCD，
，
已知底面是菱形，，
而，平面，
平面，又，平面，
而平面，，

在菱形中，已知，，可得，
又，在中，，
，而是的中点，知，
又，平面，
所以平面.
（2），平面，平面，
平面，即点到平面的距离为所求，
在三棱锥中，易知到平面的距离等于到直线的距离为，且，
在中，，，，可得，即
∴
设到平面的距离为，由三棱锥体积关系，
得，解得，
故直线平面的距离为.
19． 阳光体育运动是教育部、国家体育总局、共青团中央决定于2007年4月29日在全国范围内全面启动的一项有利于学生健康的运动.学校开展阳光体育运动，是为切实推动全国亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生积极参加体育锻炼，走向操场，走进大自然，走到阳光下，掀起群众性体育锻炼热潮.某中学有2000名学生，其中男生1200人，女生800人.为了解全校学生每天进行阳光体育的时间，学校采用分层抽样的方法，从中抽取男女生共100人进行问卷调查.将样本中的“男生”和“女生”按每天阳光体育运动时间（单位：分钟）各分为5组：经统计得下表：
男生
人数 3 6 24 24 3
女生
人数 2 14 16 6 2
(1)用样本估计总体，试估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的总人数是多少？
(2)（ⅰ）从阳光体育运动时间不足40分钟的样本学生中随机抽取2人，求至少有1名女生的概率;
（ⅱ）若阳光体育运动时间不少于一小时，则被认定为“爱好体育运动”，否则被认定为“不爱好体育运动”.试根据以上数据运用统计学知识分析，爱好体育运动与性别有关的把握性的范围.
附参考数据：
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
3，841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)800人
(2)（i）；（ⅱ）的把握认为爱好体育运动与性别有关.
【分析】（1）根据题意，分别计算男生与女生的人数，即可得到总人数；
（2）（ⅰ）根据题意，由古典概型的概率计算公式即可得到结果；
（ⅱ）根据题意，将数据代入卡方的计算公式即可得到结果.
【详解】（1）估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的人数:
男生:人，女生人
总人数为人.
（2）（ⅰ）从表中知，阳光体育运动时间不足40分钟的样本学生中共有5人，其中男生3人，女生2人，
用表示抽取的男生，表示抽取的女生，基本事件有:
，其中至少有一名女生的事件有:，所求概率
为
（ⅱ）根据题意可列出下表
男生 女生 合计
爱好体育活动 27 8 35
不爱好体育活动 33 32 65
合计 60 40 100
知有的把握认为爱好体育运动与性别有关.
20．已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.
(1)求抛物线的方程;
(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）由几何图形直观得到的等量关系，求解即可；
（2）直线的倾斜角互补，斜率相反，从而得到直线的斜率即可.
【详解】（1）如图，
易知，
即.
∵ ∴，即.
代入得 ，
∴抛物线.
（2）法1: 易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，
设直线，直线，
则，
即.
依题意 ，有，即.
用代替得，
∴直线的斜率为.
综上知，直线的斜率为定值.
法2：易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，
设，则由得：
，化简得.
∴直线的斜率为 .
综上知，直线的斜率为定值.
21．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意，都有，求实数的取值范围;
（ⅱ）设，且，求证:.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程.
（2）（ⅰ）运用导数求的最值，代入解不等式即可.（ⅱ）运用导数研究在上的最小值，进而解关于的一元二次不等式即可.
【详解】（1）由已知得，切点，
则切线斜率，
所以切线方程为.
（2）（ⅰ）依题意知，只要，，
因为，
，，
所以在递减，在递增，
所以，，
所以，
解得：.
（ⅱ）证明：因为，定义域为，
由得，
即，
令
令，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以
即，
又因为，
所以，即.
【点睛】运用导数证明不等式策略
（1）将不等式转化为函数的最值问题，
（2）将不等式转化为两个函数的最值进行比较，
（3）适当放缩证明不等式.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.
【答案】(1)，
(2)，此时
【分析】（1）利用在极坐标下的表达式，即可得出的普通方程和的直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式，结合三角函数的取值范围即可得出的最小值以及此时的直角坐标.
【详解】（1）由题意，
在（为参数）中，化为普通方程为
在中，，
∵，
∴.
（2）由题意及（1）得，
设点，则到直线的距离为：，
当且仅当，即，时，
，此时.
23．已知正数满足，求证:
(1);
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据基本不等式得，，，再相加即可得证；
（2）先作差证明，，，再相加即可得证.
【详解】（1）∵，
∴，当且仅当时，取等号，
同理，当且仅当时，取等号，
，当且仅当时，取等号，
三式相加得，当且仅当时取等号,
即，当且仅当时取等号.
（2）因为，
所以，当且仅当时，取等号，
∴ ，即，当且仅当时，取等号，
同理，当且仅当时，取等号，
，当且仅当时，取等号，
三式相加并整理得，当且仅当时取等号.