中学生标准学术能力诊断性测试 2023 年 9 月测试 的最大值为
数学试卷 A．1 B．2 C．3 D．4
11 10 1
本试卷共 150 分，考试时间 分钟。 8．比较a = ,b = ln1.2,c = 的大小 120 10 11 5e0.1
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 A．a c b B．b c a C．b a c D．a b c
符合题目要求的． 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
x 1 1 题目要求．全部选对得 5分，部分选对但不全得 3分，有错选的得 0分. 1．设集合 A = x , x R , B = x N 1 x 5 ，则 A B =
x+ 2 2 9．已知实数a b c满足a b c，且abc =1，则下列说法正确的是
A． 2 B． 2,3 C． 3,4 D． 2,3,4
2 1 1 1
A． (a + c) B．
2．欧拉公式ei = cos + isin 把自然对数的底数 e 、虚数单位 i 、三角函数联系在一起，充分体现 b a c b c
2 2 2 2
了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则 i C．a b D． (a b 1 ab 1 0 i = )( )
2
A． B． C．e D．e 10．已知 10 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的 8 个样本数据的方差为 s1 ，平均e 2 e 2
2 2
3．已知等比数列 an 的前 n 项和为 S ，若 S = S +16S ，则公比 q= 数 x ；最大和最小两个数据的方差为 s ，平均数1 2 x ；原样本数据的方差为S ，平均数 x ，若n 12 4 8 2
A．3 B． 2 C．2 D． 3 x1 = x ，则 2
4．已知向量 AB AC = 6，线段 BC 的中点为M ，且 AM = 6 ，则 BC = A．剩下的 8 个样本数据与原样本数据的中位数不变
A．2 30 B．3 30 C．2 26 D．3 26 B． x = x 1
C．剩下 8 个数据的下四分位数大于与原样本数据的下四分位数
5．已知函数 f (x) = sin x + ( 0) 的周期为 T ，且满足 T 2 ，若函数 f (x) 在区间
3
2 4 1
D． S = s
2 + s2
1 2
, 5 5 不单调，则 的取值范围是
6 4 11．已知函数 f (x) = cos2x+2 sin x ，则
1 2 4
A． ,1 B． ,1 C． ,1 D． ,1
4 2 3 5 A．函数 f (x)在区间 , 上单调递增
6 2

6．三棱锥 A BCD中，AB = 3, BC = BD = 4 2, ABC = ABD = , DBC = ，则直线 AD
4 3 B．直线 x = 是函数 f (x)图象的一条对称轴
2
与平面 ABC 所成角的正弦值是 3
C．函数 f (x)的值域为 1,
2
4 17 4 29 3 17 3 29
A． B． C． D． D．方程 f (x) = a(x (0,2 ))最多有 8 个根，且这些根之和为
17 29 17 29
2
BD 1 x 2 A, B
7．已知三角形 ABC 中，BC = 3，角 A的平分线交 BC 于点 ，若 = ，则三角形 ABC 面积
12．已知椭圆
D C : + y =1
的中心为 O ， 是 C 上的两个不同的点且满足 OA⊥OB ，则
DC 2 2
A．点O在直线 AB 上投影的轨迹为圆
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{#{QQABCQqQogAgABIAAQhCQQVCCkCQkBEACAoGAFAAIAABwQFABAA=}#}
6 乙类问题的概率为 0.5；C 员工能正确回答甲类问题的概率为 0.4，能正确回答乙类问题的概率
B． AOB的平分线交 AB 于 D点，OD的最小值为
3 为 0.75．
2
C． AOB 面积的最小值为
3 （1）求 3 人得分之和为 20 分的概率；
2 3
． AOB 中， 边上中线长的最小值为 （2）设随机变量 X为 3 人中得分为 100 的人数，求随机变量 X的数学期望． D AB
3 20．（12 分）已知四棱锥S ABCD中，底面 ABCD是矩形，
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2
13．已知 tan = 2 ，则sin 4 = ． SA⊥ BD,SA = AD = CD，M 是 SB 的中点．
2
5
14．若 (x2 x 3) = a + a x+ a x2 + + a x10 ，则a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = ． 0 1 2 10 （1）证明：MC ⊥ BD ；
15．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为36 ，则该四棱锥体积的最大值
是 （2）若 ． SA⊥ AD,SA= 2，点P是 SC 上的动点，直线 AP 与平
1 10 SP
( ) x 2 （第 20 题图） 16．已知函数 f x = e +msin x x (m+1) x+1，在 x = 0处取到极小值，则实数m = ． 面 AMC 所成角的正弦值为 ，求 ．
2 10 SC
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． x2 y2
21．（12 分）已知椭圆C : + =1(b 0)的左右焦点分别为F1, F2 ，C是椭圆的中心，点 M为 2
17．（10 分）已知 an 是各项均为正数的等比数列，设 cn = log3 an ，若数列 cn 的前 n 项和 6 b
其上的一点满足 MF1 MF2 = 5, MC = 2．
n2 + n
S = ． n
2 （1）求椭圆 C的方程；
（1）求数列 an 的通项公式； （2）设定点T (t,0)，过点T 的直线 l 交椭圆 C于P,Q两点，若在 C上存在一点 A，使得直线 AP
（2）记dn = an (2n2 + 6n+5)，求数列 dn 的前n 项和Tn ． 的斜率与直线 AQ的斜率之和为定值，求 t 的范围．
ax ln x
18．（12 分）记 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 c = 2acos Acos B bcos2A 22．（12 分）已知函数 f (x) = e e ea (x 0)．
x
(A B)． f x
（1）当a =1时，求函数 g ( x) = eax 1
( )
+ x a 的单调区间；
（1）求 A； e
2
（2）若 D是 BC 上的一点，且BD : DC =1:2, AD = 2，求 a 的最小值． （2）证明：当a e 时，不等式 f (x) 0恒成立．
19．（12 分）某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有 A，B，C 三位员工参加比赛，比赛规
则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从
乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的
过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；
乙类问题中每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分．已知 A 员工能正确回答甲类问题的概率为
0.5，能正确回答乙类问题的概率为 0.6；B 员工能正确回答甲类问题的概率为 0.6，能正确回答
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{#{QQABCQqQogAgABIAAQhCQQVCCkCQkBEACAoGAFAAIAABwQFABAA=}#}中学生标准学术能力诊断性测试 2023 年 9 月测试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B B A C A C D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对但不全的得 3 分，有错选的得 0 分．
9 10 11 12
ABD ABD BCD ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
24
13．
25 14． 46
64
15．
3 16．1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
2 2n + n (n 1) + n 1
（1） Sn = , S = ， n 1
2 2
Sn Sn 1 = n = cn (n 1,n N) ·································································· 2 分
又c1 = S1 =1, cn = n (n N+ ) , a nn = 3 ······················································· 3 分
n 2 2
（2） dn = 3 (2n + 6n + 5) = (n +1) +1 3n+1 (n2 +1) 3n ····························· 7 分
T = (22n +1) 32 (12 +1) 3+ (32 +1) 33 (22 +1) 32 + +
2 2 2
(n +1) 3n (n 1) +1 3n 1 + (n +1) +1 3n+1 (n2 +1 3n )
2 2 n+1
= (1 +1) 3+ (n +1) +1 3
= (n2 + 2n + 2) 3n+1 6 ····································································· 10 分
18．（12 分）
（1） c = 2acos Acos B bcos2A(A B)，
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sinC = 2sin Acos Acos B sin Bcos2A ···················································· 2 分
sinC = sin 2Acos B sin Bcos2A= sin (2A B) 0 ··································· 4 分
又0 2A B ，则C = 2A B或C + 2A B = ，

若C = 2A B，则 A = ；
3
若C + 2A B = ，则 A= 2B，又 A B，不符合题意，舍去，

综上所述 A = ························································································· 6 分
3
2
2AB + AC 2 2AB + AC
（2） 2BD = DC, AD = , (AD) = ···························· 8 分
3 3
b2 +4c2 +2bc =36 ①，又a2 =b2 +c2 bc ②，
2
c c
2 2 4 + 2 +136 4c +b + 2bc b
= =
b
① ②得： ········································ 92 分
a2 b2 + c2 bc c c
+1
b b
c
令 = x ，又 A B, a b, a2 b2 , b2 + c2 bc b2 ，
b
c
c b, 0 = x 1，
b
4x2 + 2x +1 6x 3
令 f (x) = (0 x 1) , f (x) = 4+ ······························ 10 分
x2 x +1 x2 x +1
t +3
令6x 3 = t, x = ，
6
36t 36
f (t ) = 4+ ( 3 t 3) , f2 (t ) = 4+ ( 3 t 3)t + 27 27 ，
t +
t
27 27 36 6 7
又 t + 12或 t + 12, 1 f (t ) 7, 7, a ，
t t a2 7
6 7
所以当三角形 ABC 为等边三角形时a 最小，最小值为 ····························· 12 分
7
19．（12 分）
（1）设事件 A1为 A 员工答对甲类问题；设事件 A2 为 A 员工答对乙类问题；
设事件 B1为 B 员工答对甲类问题；设事件B2 为 B 员工答对乙类问题；
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{#{QQABCQqQogAgABIAAQhCQQVCCkCQkBEACAoGAFAAIAABwQFABAA=}#}
设事件C1 为 C 员工答对甲类问题；设事件C2 为 C 员工答对乙类问题；
三人得分之和为 20 分的情况有：
①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与 C 员工均答错甲类题，
则 P(A1 A2 B1 C1 ) = P (A1 )P (A2 )P (B1 )P (C1 ) = 0.5 0.4 0.4 0.6 = 0.048
·············································································································· 2 分
②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与 C 员工均答错甲类题，
P(B1 B2 A1 C1 ) = P (B1 )P (B2 )P (A1 )P (C1 ) = 0.6 0.5 0.5 0.6 = 0.09
·············································································································· 4 分
③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与 B 员工均答错甲类题，
P(C1 C2 A1 B1 ) = P (C1 )P (C2 )P (A1 )P (B1 ) = 0.4 0.25 0.5 0.4 = 0.02，
所以三人得分之和为 20 分的概率为 0.048+0.09+0.02=0.158 ·································· 6 分
（2） A 员工得 100 分的概率为P(A1 A2 ) = P(A1) P(A2 ) = 0.3，
B 员工得 100 分的概率为P(B1 B2 ) = P(B1) P(B2 ) = 0.3，
C 员工得 100 分的概率为P(C1 C2 ) = P(C1) P(C2 ) = 0.3，
·············································································································· 9 分
X ~ B(3,0.3) ······················································································ 11 分
E (X ) = 3 0.3= 0.9 ············································································ 12 分
20．（12 分）
（1）取 AB的中点 N，连接 MN，NC，则线段MN为三角形 SAB的中位线，
MN SA，又SA⊥ BD, BD⊥MN ························································ 2 分
设直线 CN与直线 BD交于 Q点，
NQ BQ 1
则 BNQ CDQ, = = ，
NC BD 3
6 6
设 AD = a, CD = 2a, NC = a, NQ = a ，
2 6
3
同理BD = 3a, BQ = a，
3
a2 a2 2
又 NQ2 + BQ2
a
= + = = BN 2 ··························································· 5 分
6 3 2
BD⊥CN, BD⊥面MNC, MC ⊥ BD ··················································· 6 分
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{#{QQABCQqQogAgABIAAQhCQQVCCkCQkBEACAoGAFAAIAABwQFABAA=}#}
（2）分别以直线 AD，AB，AS为 x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，
则 A(0,0,0) ,S (0,0,2),C (2,2 2,0), B (0,2 2,0), M (0, 2,1)，
设 SP = SC，
P(2 ,2 2 ,2(1 )), AP = (2 ,2 2 ,2(1 )) ································· 8 分
又 AM = (0, 2,1) , AC = (2,2 2,0)，
设平面 AMC的法向量n = (x, y, z)，
n AM = 2y + z = 0
则 , n = ( 2,1, 2 ) ·········································· 10 分
n AC = 2x + 2 2y = 0
设直线 AP与平面 AMC所成的角为 ，
2 2 (1 ) 10
则 sin = cos AP,n = = ，
5 16 2 8 + 4 10
1 SP 1
= , = ·················································································· 12 分
2 SC 2
21．（12 分）
（1）设 MF = r , MF = r ，在 MF1F2 中，设 F1MF2 = 1 1 2 2 ，
2
F 21F2 = r1 + r
2
2 2r1r2 cos = 4c
2
，
2r r cos = r 2 + r 2 4c2
1
1 2 1 2 ，又MC = (MF1 +MF2 )，
2
2 2
2 1 2 2 1 r r
MC = (MF1 +MF 22 + 2MF1 MF2 ) = (r1 + r 22 + 2r r cos ) = 1 + 2 c2 ， 1 2
4 4 2 2
2 2 2r (r + r ) 2r r2 1 r2 2 1 2 1 2 MC = + c = c2 = 2a2 c2 5 = 4 ························· 3 分
2 2 2
2a2 c2 = 9, a2 = 6, c2 = 3, b2 = 3，
x2 y2
所以椭圆C 的方程为： + =1 ······························································· 4 分
6 3
（2）设 A(x0 , y0 ), P(x1, y1),Q(x2, y2 )，直线 l的方程为 x = y+ t ，
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{#{QQABCQqQogAgABIAAQhCQQVCCkCQkBEACAoGAFAAIAABwQFABAA=}#}
x2 y2
+ =1
6 3 ( 2 + 2) y2 + 2t y + t2 6 = 0，

x = y + t
2t t 2 6
y1 + y2 = , y1y2 = , x1 = y1 + t, x2 = y + t ， 2
2 + 2 2 + 2
4t 2t 2 6 2
x1 + x = , x x = ································································ 7 分 2 2 1 2 + 2 2 + 2
y y y y ( y0 y1 ) (x0 x2 )+ ( y0 y2 ) (x0 x0 1 1 )
设 +
0 2 =
x0 x1 x0 x2 (x0 x1 ) (x0 x2 )
2x0 y0 y0 (x1 + x2 )+ 2 y1y2 + (t x0 )( y1 + y2 )
= 2 x0 (x1 + x2 ) x0 + x1x2
2x 20 y0 + (2tx0 12) + 4y0 (x0 t )
= = p2
(x20 6) 2 + 2(x0 t )
若 p为常数，则2tx0 12 = 0 ····································································· 10 分
2x 4y0 y0 0 (x0 t ) 2y
即6 = tx ，而此时 = =
0
0 (x2
，
0 6)
2
2(x0 t ) x0 t
6
又 6 x0 6, 6 6 ，即 t 6 或 t 6 ，
t
6 18
综上所述，t 6 或 t 6 ，存在点 A , 3 2 ，使得直线 AP的斜率与直线 AQ
t t
2y0
的斜率之和为定值 ············································································ 12 分
x0 t
22．（12 分）
ln x (1 ln x) 1 ln x + x2
（1） g (x) = + x, g (x) = +1= ······································ 1 分
x x2 x2
1
令 h( 2x) =1 ln x + x2 ,h (x) = + 2x 0，即 x ，
x 2
2 2
所以函数h (x)在区间 ,+ 单调递增，在区间 0, 单调递减 ················· 3 分
2 2
第5页 共6页
{#{QQABCQqQogAgABIAAQhCQQVCCkCQkBEACAoGAFAAIAABwQFABAA=}#}
2
又 hmin (x) = h 0, h x 0, g x 0 2
( ) ( ) ，

所以函数 g (x)在 (0,+ )上单调递增 ····························································· 5 分
eax
ln x
（2）不等式 e ea 0等价于 xeax 1 ln x ax 0
x
ax 1 1 ax 1
令 g (x) = xe ln x ax 0，g (x) = (1+ ax)(xe 1) ···························· 7 分
x
h(x) = xeax 1 1, h (x) = (ax+1)eax 1设 ，
1
当0 x ,h (x) 0，
a
1 1
所以函数h (x)在 0, 上单调递增，在 ,+ 上单调递减，
a a
1 1
h 2max (x) = h = (e + a)，
a a
1
a e 2 , h = (e 2max + a) 0，
a
1 1
所以函数 g (x)在 ,+ 单调递增，在 0, 单调递减 ··························· 10 分
a a
1 1 1
gmin (x) = g
2
= e ln 1， 2
a a e a
1 1
令 = t，则 g
2 min (t ) = t ln t 1= m(t )(t (0,1)) ,m (t ) =1 ， e a t
m(t )在 (0,1)单调递减，在 (1,+ )单调递增，
mmin (x) =m(1) = 0,m(t) 0，
gmin (x) 0, g (x) 0 ········································································ 12 分
即a e 2 时，不等式 f (x) 0恒成立．
第6页 共6页
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