2022-2023学年浙江省杭州市富阳重点中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 已知、是实数，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设，若，，，则( )
A. B. C. D.
4. 函数和函数在同一坐标系下的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5. 为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒教室内每立方米空气中的含药量单位：随时间单位：的变化情况如图所示：在药物释放过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
D. 小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到以下
6. 已知，，，是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 设函数，对于任意正数，，都已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为( )
A. B. ，
C. D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知关于的不等式的解集为，下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
10. 下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是( )
A. B.
C. D.
11. 已知，是单位向量，且，则( )
A. B. 与垂直
C. 与的夹角为 D.
12. 在中，，，分别为，，的对边，( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，则为钝角三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设，则 ．
14. 函数的最小正周期为______．
15. “牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图，正方体的棱长为，用一个底面直径为的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖如图已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为：，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为______．
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，动点以每秒的角速度从点出发，沿半径为的上半圆逆时针移动到，再以每秒的角速度从点沿半径为的下半圆逆时针移动到坐标原点，则上述过程中动点的纵坐标关于时间的函数表达式为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启所著农政全书中描绘了筒车的工作原理，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．如图，筒车的半径为，轴心距离水面，筒车上均匀分布了个盛水筒．已知该筒车按逆时针匀速旋转，分钟转动一圈，且当筒车上的某个盛水筒从水中浮现时图中点开始计算时间．
将点距离水面的距离单位：在水面下，为负数表示为时间单位：分钟的函数；
已知盛水筒与盛水筒相邻，位于的逆时针方向一侧．若盛水筒和在水面上方，且距离水面的高度相等，求时间．
18. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
在，，这三个条件中，选出其中的两个条件，使得唯一确定．并解答之．若______，______，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 本小题分
如图，在中，已知，，．
求；
已知点在边上，，点在边上，，是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
已知，．
求的解析式；
解关于的方程．
21. 本小题分
如图，在等腰梯形中，，在等腰梯形中，，将等腰梯形沿所在的直线翻折，使得，在平面上的射影恰好与重合．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
22. 本小题分
数学家发现：，其中利用该公式可以得到：当时，，；，
证明：当时，；
设，当的定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：由，
得．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由，解得：且，
由解得：或，
故“”是“”成立的必要不充分条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．
利用对数函数的性质求解．
【解答】
解：，，
，，
又，，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了指数函数和幂函数的图象，属于基础题．
分和两种情况讨论，根据指数函数和幂函数的图象和性质解答即可．
【解答】
解：当时，指数函数在上单调递增，且其图象过定点凹函数，幂函数在上单调递增凹函数；
当时，指数函数在上单调递减，且其图象过定点凹函数，幂函数在上单调递增凸函数，
所以只有选项满足．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：当时，设，则，
故，即，故A错误；
当时，把代入，可得，
，即，故B错误；
令，即，
，解得，故C错误，D正确．
故选：．
利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．
本题考查了函数解析式的求法，指数不等式的解法，考查了方程思想和数形结合思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的综合应用，属于中档题．
由题意可知，单位向量 的夹角最小时，正整数有最大值，利用向量数量积的定义求出此时的值即可．
【解答】
解：依题意，设单位向量 的夹角为，
因为，
所以，所以，
根据题意，正整数的最大值为．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：以直角边，为直径的半圆的面积分别为：，
由面积之比为，得，
即，
在中，，
则，
故选：．
由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可．
本题考查三角函数恒等变换及化简求值，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，属于中档题．
先判断函数的奇偶性，构造函数，判断的单调性和奇偶性，分情况讨论，利用单调性即可求解．
【解答】
解：函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，即是奇函数，
记，所以是偶函数，
对于任意正数，，都，
即，所以在单调递增，
且，是偶函数，故在单调递减，且，
当时，，
当时，，
故的解集为，．
故本题选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
根据二次不等式的解集，利用韦达定理求出啊，，三者的关系，再对选项进行逐项判断即可．
【解答】
解：根据已知条件可知，可得，，
所以，故A，选项正确；
对于选项，化简可得，故C选项错误；
对于选项，化简可得，
解得，故D选项正确．
故选ABD．
10.【答案】
【解析】解：在中，连接，则，由正方体性质得到平面平面，
平面，故A成立；
若下底面中心为，则，面，
与面不平行，故B不成立；
过作，则是中点，
则与平面相交，则与平面相交，
与面不平行，故C不成立；
连接，则，，则，平面，故D成立．
故选：．
根据线面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：因为，所以，故A错误；
，因为，是单位向量，
所以，，
所以，所以，故B正确；
，故D错误；
因为，
所以，，
所以与的夹角为，故C正确，D错误．
故选：．
利用模的坐标运算即可判断选项A；由，求得，即可判断选项B；利用模的运算求得，即可判断选项D；利用向量夹角公式即可判断选项C．
本题主要考查平面向量数量积的运算，向量的模与夹角公式，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于，若，则，由正弦定理可得，即，则为等腰三角形，A正确，
对于，若，则，由正弦定理可得，即或，
则为等腰三角形或直角三角形，B错误，
对于，若，则有，
在中，，又，
故，则有，
在中，，则，即，又，则，C正确，
对于，若，
则，
必有、、必有一个小于，即、、有一个是钝角，为钝三角形，D正确，
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦、余弦定理的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数幂运算，对数恒等式的运用，属于基础题．
利用指数幂的运算法则及对数恒等式求解．
【解答】
解：，
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由函数
，
函数的最小正周期为．
故答案为：．
由已知可得，可求最小正周期．
本题考查正弦型函娄的最小正周期的求法，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：正方体的体积为，其内切球的体积为，
由条件可知牟合方盖的体积为，
故正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为．
故答案为：．
由题意可求出正方体的体积和其内切球的体积，从而可求出牟合方盖的体积，然后用正方体的体积减去牟合方盖的体积即可．
本题考查空间几何体的体积的求法，属基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数模型的应用，考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数值的求法，是基础题．
当在大圆上半圆上运动时，求出，由任意角的三角函数的定义求得的纵坐标，当点在小圆下半圆上运动时，求出，进一步求得点纵坐标，则答案可求．
【解答】
解：当在大圆上半圆上运动时，，，
由任意角的三角函数的定义，可得的纵坐标为，；
当点在小圆下半圆上运动时，，，
可得点纵坐标为，．
动点的纵坐标关于时间的函数表达式为．
故答案为．
17.【答案】解：以为原点，平行于水面向右作为轴正方向建立平面直角坐标系，
设，则距离水面的距离，，为为始边，为终边的角，
由到水面距离为，半径，可得，
由该筒车逆时针匀速旋转，分钟转动一圈，可知，
则，则，
故．
筒车上均匀分布了个盛水筒，
所以，
设，
则，，
由点纵坐标，和在水面上方，且距离水面的高度相等可得，，
则或，解得，
由盛水筒和在水面上方，
则，即，
故，
则，
由得，．
【解析】以为原点，平行于水面向右作为轴正方向建立平面直角坐标系，设，则距离水面的距离，，为为始边，为终边的角，由该筒车逆时针匀速旋转，分钟转动一圈，可知，即可求解．
设，则，，由已知条件得，或，解得，即可求解．
本题主要考查三角函数的实际应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
由正弦定理，得，
又，
，
又，
，，
，；
方案一：选条件和．
由正弦定理，得．
由余弦定理，得，
解得，
的面积．
方案二：选条件和．
由余弦定理，得，
则，所以．
，
，为直角三角形，
的面积；
方案三：选条件和，
，，
则，
，
由，
，，
，
此时三角形不存在．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的应用，属于中档题．
由已知结合正弦定理进行化简可求；
分别选取条件，结合正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式即可求解．
19.【答案】解：根据题意，在中，已知，，，
则，则，
，则，
根据题意，假设存在非零实数，使得，
由的结论，，，，
易得，则有，
，
，
若，则，
解可得：或舍，
故存在非零实数，符合题意．
【解析】根据题意，由余弦定理求出的值，进而由余弦定理分析可得答案；
根据题意，假设存在非零实数，使得，用和表示向量和，由数量积的计算公式可得关于的方程，解可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及余弦定理的应用，属于基础题．
20.【答案】解：令即，则
即，
由得：，
化简得，，即，
当时，方程无解；
当时，解得，
所以若，则，
若，则．
【解析】由解析式令即，代入解析式化简求出，将化为可得的解析式；
由化简，根据指数函数的性质分类讨论，分别由指对互化的式子求出的表达式．
本题考查利用换元法求函数的解析式，指对互化、指数函数的性质的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．
21.【答案】解：证明：在平面上的射影为，
平面；又平面，
平面平面．
解：由知平面平面．
分别延长，交于点，连接，
，，，
过，分别作的垂线，可得，
由等腰梯形，又，
，，，
．
又平面平面，平面平面，平面，
所以直线与平面所成角为，
在直角三角形中，，，，
又平面，，，，
，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，以及线面角的求法，属中档题．
由已知得平面，可证平面平面；
分别延长，交于点，连接，平面，直线与平面所成角为，求解即可．
22.【答案】证明：由已知当时，，
得，
所以当时，；
时，假设存在，则由知，
若，，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在和谐区间，
同理，，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意．
若，当时，同理可得，，舍去，
当时，在上单调递减，
所以，于是，
若即，则，故，，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的和谐区间．
【解析】利用题中所给的公式来证明结论成立即可，
对，的取值进行分类讨论，结合的单调性以及的结论求得唯一的和谐区间．
本题主要考查利用导数证明不等式的方法，导数中的新定义问题等知识，属于中难题．
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