考试帮·浙教版九年级上数学单元检测（6）
（测试内容：圆的基本性质3.4--3.5）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题3分，共30分，每题只有一个正确答案）
1．如图，在中，则（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
2．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
（第1题） （第2题） （第3题）
3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，BC＝5，⊙O的直径为(　 　)
A．5 B． C． D．10
4．有一个未知圆心的圆形工件需要画出圆心．暂时只能用一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用．为此同学们需要先得到两条不同的直径，下列寻找直径的方法正确的是（　　）
A．B．C．D．
5．如图，点A，B，C，D在上，则图中一定与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第8题） （第9题）
6．边长为3cm、4cm、5cm的三角形的外接圆半径等于（ ）cm
A．1.5 B．2 C．2.5 D．2.4
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
8．如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的两条互相垂直的弦，且，过点O作于点M，于点N．若，则的半径为（ ）
A． B． C．2 D．4
10．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题(每题4分，共32分)
11．如图，点A在半圆O上，且是直径．若，∠A=45°，则的长为 ．
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
12．如图，⊙O的弦与直径相交，若，则= °
13．如图，已知是⊙O的直径，点，在⊙O上，，B是的中点，则的度数为 ．
14．如图，已知△ABC内接于⊙O，是⊙O的直径，平分，交⊙O于点，若，则的长为 ．
15．如图，海边有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=96°，为了避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为 ．
（第15题） （第16题） （第17题） （第18 题）
16．如图，是的直径，点D，M分别是弦，的中点，，则的长是 ．
17．如图，B，C，D，E为⊙A上的点，DE＝5，∠BAC+∠DAE＝180°，则圆心A到弦BC的距离为 ．
18．如图，是的直径，点、是上的点．且，分别与、相交于点，．若的半径为，，点P是线段上任意一点，则的最小值是 ___________．
三、解答题（38分）
19．（6分）如图，点在⊙O上，．求证：．

20．（8分）如图所示，是⊙O的一条弦，，垂足为，交⊙O于点C、D．

(1)若∠AOD=50°，求的度数；
(2)若，，求⊙O的半径长；
21．（8分）如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中画出圆心O；
(2)在图2中的圆上找一点E，使平分；
22（8分）．如图，为⊙O的直径，弦于点E，连接并延长交⊙O于点F，连接，．
(1)求证： ；
(2)连接，若，求的长．
23．（8分）如图，是圆的直径，为圆上的一点，为的中点，连接，，过点作的垂线交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
四、提高题（20分）
24．已知：△ABC内接于⊙O，弦平分．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点A作，垂足为点E．过点D作，交的延长线于点F，且．
①求证：；
②若，，直接写出⊙O的半径 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，掌握同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
2．D
【分析】根据圆的性质，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，则，在中，运用内角和定理，结合，可得．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键．
3．B
【分析】作⊙O的直径BD，连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝45°，继而可求得CD=BC=5，然后利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解∶作⊙O的直径BD，连接CD，
则∠BCD＝90°，
由圆周角定理得，∠BDC＝∠BAC＝45°，
∴∠DBC=90°-45°=45°=∠BDC，
∴CD=BC=5，
∴BD＝=5，
故选∶B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用圆周角定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据直角所对的弦是直径进行求解即可
【详解】解：∵直角所对的弦是直径，
∴四个选项中只有B选项中的是直径，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角所对的弦是直径，熟知相关知识是解题的关键．
5．D
【分析】根据同弧所对等圆周角相等求解即可．
【详解】∵所对应的弧为，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．C
【分析】根据边长得到三角形为直角三角形，再根据圆周角定理的推论，的圆周角所对的弦为直径，得到，斜边是外接圆的直径，即可得解．
【详解】解：∵，
∴边长为3cm、4cm、5cm的三角形为直角三角形，
由圆周角定理的推论，的圆周角所对的弦为直径可得：直角三角形的斜边是外接圆的直径，
∴三角形的外接圆的半径为：；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，熟练掌握直角三角形的斜边是其外接圆的直径，是解题的关键．
7．B
【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．
【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；
B中，等弧所对应的弦相等，故选B
C中，圆心角相等所对应的弦可能互补；
D中，弦相等，圆心角可能互补；
故选B
【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．
8．A
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵是的直径，弦垂直于点，
∴，，，
∴，，
而不一定成立，
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
9．B
【分析】利用垂径定理，弦、弦心距的关系求得，，证明四边形是正方形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
连接，则．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．C
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，，故本选项符合题意；
D、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
11．
【分析】连接，由圆心角，弦，弧的关系可得，结合等腰直角三角形的性质可求解的长，进而可求解的长．
【详解】解：连接，
∵ ，是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解，的长是解题的关键．
12．40
【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，再利用三角形内角和定理可计算出∠B＝40°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数．
【详解】解：∵AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAD=50°，
∴∠DBA=40°，
∴∠ACD=40°．
故答案为：40
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角为直角．
13．29°
【分析】先由是弧的中点，可得 ，再根据圆周角定理可得结果．
【详解】解：连接OC，
∵是弧的中点，
∴．
∴∠BOC=∠AOB=58°
∴∠BDC==29°．
故答案为29°．
【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
14．
【分析】先由是的直径得出，再根据勾股定理求出的长，连接，则，再由平分可知，推出△是等腰直角三角形，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，如图：
是的直径，
，，
平分，
，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，圆周角定理及等腰直角三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．48
【详解】试题解析：∵海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，∠AOB=96°．
∴当P点在圆上时，不进入经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域内，轮船P与A、B的张角∠APB的最大，
此时∠AOB=2∠APB=96°，
∴∠APB=48°．
考点：圆周角定理．
16．4
【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点D，M分别是弦，弧的中点，
∴，且，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
17．．
【分析】延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出BF，根据垂径定理得到CH=HB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：延长CA交⊙A于F，连接BF，作AH⊥BC于H，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠BAF＝∠DAE，
∴弧BF=弧DE，
∴BF＝DE＝5，
∵AH⊥BC，
∴CH＝HB，又CA＝AF，
∴AHBF，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系，掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键．
18．
【分析】作点关于的对称点，交于，连接，如图，求出的长，可得结论．
【详解】解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，如图，
则，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
19．见解析
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，进而可得，即可得证．
【详解】证明：，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
20．(1)
(2)3
【分析】（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解： 是的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是的一条弦，，
，
设的半径长为，
在中，，
，
，
的半径长为3．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
21．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）利用圆周角定理和两条直径的交点即为圆心O即可；
（2）由（1）中方法找到圆心O，根据垂径定理的推论找到的中点即可求解；
（3）先找到圆心O，根据圆周角定理知，利用垂径定理的推论，过O作垂直于的直径，交圆O于F，则，由圆周角定理可得，即点F即为所求．
【详解】（1）解：如图1，点O即为所求作；
（2）解：如图2，点E即为所求作；
（3）解：如图2，点F即为所求作．

【点睛】本题考查基本几何作图，涉及到圆周角定理、垂径定理的推论，熟练掌握网格中的基本作图方法和相关知识是解答的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意和垂经定理得，根据得，即可得；
（2）连接，根据直径的长可得，根据得，根据得是等边三角形，即可得．
【详解】（1）证明：∵为的直径，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据为的中点，得出，根据，直角三角形的两个锐角互余，即可得出，等角对等边即可得证；
（2）连接交于点，连接，是直角三角形，则，设，则，，在中，，在中，，解得：，根据（1）的结论，即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的中点
∴
又∵
∴
∴；
（2）如图所示，连接交于点，则垂直平分，连接，

∵是直径，，，
∴是直角三角形，则，
设，则，，
在中，，
在中，，
∴
∴
解得：
∴
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，进行证明即可；
（2）①如图1，延长到，使，证明，则，进而可得，，，由，可得，，根据，，可得数量关系；②设，则，在和中，由勾股定理得，即，求得，则，，，如图2，过作于，连接，，由题意可得，，，证明，则，，在和中，根据勾股定理求，的值，如图2，连接交于，连接，由垂径定理可得，，在中，由勾股定理求的值，设半径为，则，在中，由勾股定理得，即，求值即可．
【详解】（1）证明：∵弦平分，
∴，
∴；
（2）①证明：如图1，延长到，使，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②解：设，则，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
解得，（舍去），
∴，，，
如图2，过作于，连接，，
∵，
∴
∵弦平分，
∴，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
如图2，连接交于，连接，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴半径为．
【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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