第 40 届全国中学生物理竞赛预赛试题
（2023 年 9 月 2 日 9:00-12:00）
考生必读
1 、 考生考试前务必认真阅读本须知。
2 、 本试题共 5 页，总分为 400 分。
3 、 需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸相应题号后面的空白处；阅卷老师只评阅答 题纸上的内容；选择题和填空题也必须在答题纸上作答；写在试题纸和草稿纸上的解答 一律无效。
一、选择题（本题 60 分，含 5 小题，每小题 12 分。在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项符合 题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括号 内。全部选对的得 12 分，选对但不全的得 6 分，有选错或不答的得 0 分。）
1. 氢原子中基态电子的结合能 EH 与氦离子( He+ )中基态电子的结合能EHe+ 的比值最接近于( )
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(
1
3
) (
1
B.
2
) (
A.
1
) (
C.
)1
D.
4
2. 一电路如图 2a 所示，其中三个电池的电动势之比 ε1 : ε2 : ε3 = 1: 2 : 3 ，三个电阻 的阻值之比R1 : R2 : R3 = 1: 2 : 3 。导线电阻均忽略不计。流过 R1 、R2 、R3 的电流大 小之比为( )
A. 1:1: 2 B. 1: 2 :1 C. 2 :1:1 D. 1: 2 : 3
图 2a.
(
P
) (
a
)3. 如图 3a，一定量的理想气体经历的三个过程分别如P-V 图象中 bca、bda、bea
所示。已知 bca 是绝热过程。下列说法正确的是：( )
e
(
c
d
)A. bda 是系统从外界吸热的过程；
(
b
)B. bda 是系统对外界做负功的过程；
C. bea 是系统从外界吸热的过程；
(
O
) (
V
)D. bea 是系统对外界做负功的过程。
图 3a
4. 如图 4a，边长为 a 的正方形的四个顶点上固定着两个质子 p 和两个正电子 e+ 。
(
电
)某时刻由静止释放这四个粒子，仅考虑它们在彼此间电场力的作用下运动，不考虑
磁辐射。已知电子电量为 e ，真空介电常量为ε0 。经过足够长的时间后，单个质子、
单个正电子的动能最接近的结果分别是：( )
A. 、 + B. 、 1+
C. 2 + ) 、 2 + ) D. 、
5. 对于一个导体空腔内部电场的场强和电势，下列说法正确的是：( )
A. 电势的值和场强都不受腔外电荷的影响；
B. 电势的值和场强都会受到腔外电荷的影响；
C. 场强不受腔外电荷的影响，但电势的值会受到腔外电荷的影响；
D. 电势的值不受腔外电荷的影响，但场强会受到腔外电荷的影响。
二、填空题（本题 100 分，每小题 20 分，每空 10 分。请把答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需 给出结果，不需写出求得结果的过程。）
6. 国际标准音 A-la 的频率为 f = 440 Hz 。当发音频率为这个频率的音叉振动时，产生的声波的波长为
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(
34
11
) cm；一个观测者站在两个这样的音叉之间以
m/s 的速度沿着这两音叉的连线跑向其中某个音叉，
同时这两个音叉均振动发声，则该观测者听到的拍频是 Hz 。已知声速为 340 m/s 。
7. 如图 7a ，一质量为 2M 的小球，以 20.0 m/s 的速率从水平地面上坐标原点
O 出射，初速度方向斜向上，与 x 轴（水平）正方向的夹角为 。当小球到
达最高点时，瞬间炸裂为质量均为 M 的两小块 A、B；在小球爆炸后的瞬间，
A 的速度与 x 轴正方向的夹角为 π , 此后，它恰好落到坐标原点 O ，整个
运动过程均在xy 平面内。由此可知，A 在爆炸后的瞬间的速率为 m/s，
B 落到地面时的 x 坐标为 m 。保留三位有效数字，不计空气阻力，重
力加速度大小为 9.80 m/s2。
8. 如图 8a ，初始时在水平地面上静止的密闭车厢内的空气中悬浮一个充满氦气
的气球 A ，它通过柔软长轻绳固定在车厢底板上，绳长远大于气球半径。若车厢
(
g
2
)沿水平方向从静止开始以大小为
（g 为重力加速度大小）的加速度做匀加速直
线运动，则气球的位置相对于车厢稳定后，拉气球的轻绳将沿车厢运动方向 (填“前倾 ”、“后仰 ”
或“保持竖直向上 ”) ，且轻绳相对于竖直向上方向的夹角大小为 。
(
图
9a
)9. 如图 9a ，在凸透镜右侧距离 L = 4 cm （L 大于凸透镜的焦距）处放置一块垂直
于光轴的平面镜。某同学在凸透镜左侧光轴上放置一点光源 S ，当将 S 沿着光轴左
右移动有限距离时，发现存在两个特殊的位置，可使得每个位置上的点光源 S 与它
的像点重合 。测得这两个特殊位置之间的间距为 9 cm 。 该凸透镜的焦距为
cm ，两个特殊位置中离透镜较远的那一点与透镜光心相距 cm。
10. 气体分子的平均热运动动能约为kBT ，其中 T 是气体的绝对温度， kB = 1.38 10一23 J/K 为玻尔兹曼常
量。一般而言，如果气体中粒子的物质波波长接近于粒子平均间距，则粒子的量子效应就会变得显著。考 虑粒子数密度 n = 8 1022 cm一3 的气体。若该气体为金属中的自由电子气，则其温度在 K 以下时量 子效应显著；若假想该气体由氢原子组成，则其温度在 K 以下时量子效应显著。已知电子质量约 为 9.11 10一31 kg ，质子质量约为1.67 10一27 kg ，普朗克常量约为 6.626 10一34 J . s 。（结果保留一位有效数字）
三、计算题（本题 240 分，共 6 小题，每小题 40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重 要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的, 答案中必须明确写出数值，有单位的必须 写出单位。）
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11.（40分）如图11a和图11b，在光滑的水平面上建立xOy直角坐标系。A、 B 、C三个小球（视为质点）质量均为m 。初始时小球均静止，C 、B连线 沿x方向，间距为L；A 、B用长为L 、不可伸长、完全没有弹性的柔软轻绳 连接，B、A连线方向与C、B连线方向垂直，A与B 、C连线的距离为0.6L。 现使A以大小为v0 的速率沿x轴正方向运动。试在下述两种情形下，求在A、 B间软绳刚刚被拉紧后的瞬间A 、B 、C三球各自的速度：
（1）B 、C间由原长为L 、劲度系数为 k 的轻质弹簧连接（见图11a）；
（2）B 、C间由长度为L的柔软轻绳（材质跟A、B间的软绳相同）连接（见 图11b）。
(
y
) (
A
)A (初始)
(
x
) (
O
) (
L
)L
θ
(
B
图
11a
)C
(
A
(
初始
)
A
)y
(
L
θ
)x
O
L
(
B
图
11b
)C
12.（40 分） 已知重力加速度大小为 g 。假设空气阻力可忽略。
（1）将一个质量为 m2 的小球 B 放在一个质量为 m1 的大球 A 的上表面上，
初始时 A 的下底离地面高度为 h0 ，如图 12a所示；现让它们同时从静止开
始自由下落，当 A 的下端落到水平硬地（硬地质量 m0 >> m1 ）上之后，可
发现 B 反弹上升的最大高度 h 比 h0 大许多倍。不考虑运动相对于竖直方向
的偏离，忽略大、小球的线度。假设地面与 A 、A 与 B 之间的碰撞依次发
生，且两两间碰撞的恢复系数都相等，求此恢复系数 e。
（2）如图 12b ，一个儿童玩具由一组大小和质量各不相同的小球 A 、B 、C
和 D 组成，其中 A 上面固定有一根圆柱形光滑细轻杆，其余 3 个小球都有
过其中心的一个圆柱形孔道，孔道的直径略大于细杆的直径。将 B 、C 和 D
依次穿在细杆上，将个小球构成的体系移至一定高度后，使之由静止开始下
落，已知下落过程中杆始终处于竖直状态。A 、B 、C 和 D 的质量分别为 m1、
m2 、m3 和 m4 ，设地面与 A 、A 与 B 、B 与 C 、C 与 D 之间的碰撞依次发生，
相碰的两两物体间的恢复系数均相等，h0 为系统初始下落高度，h 为 D 弹起
后上升的最大高度，忽略各球的线度。
求恢复系数 e 的表达式；并根据表 12a给出的数据，求恢复系数 e 的数
值。
m1(g) m2(g) m3(g) m4(g) h / h0
76.7 32.5 11.3 5.80 11.2
表 12a
（3）若恢复系数 e 取第（2） 问求得的数值，m1 、m4 取表 12a 中的数值。当 m2 与 m3 取何值时，可使达
到最大值？该最大值是多少？
13.（40 分）一厚度可忽略的球形肥皂泡，其外表面上均匀带电，当半径为 1.0 mm 时，其电势为 100 V（取 无穷远处的电势为零）；此时，肥皂泡并未处于力学平衡状态。当其半径增大至 1.0 cm 时，肥皂泡达到力学
平衡状态，且此时肥皂泡内外气压恰好相等。静电力常量ke = = 9.0 x 109 Nm2 / C2 ，不考虑重力作用。
求（结果保留两位有效数字）：
（1）肥皂泡所带电荷的种类及电荷量；
（2）肥皂泡膨胀前后的静电能的变化（已知半径为 r 、带电量为 Q 的均匀带电球面的静电能为 ）；
（3）肥皂泡表面张力系数的大小。
14.（40 分）一厚度为 h 的均质金属圆盘在
半径为 r 土 的两圆环面之间的部分，被镂
空成均匀分布的薄金属片，薄金属片长为
a （沿径向），宽为 h （垂直于盘面），厚
为d （沿圆环切向），在离盘心 r 处相邻的
两薄金属片间距为 b ，其俯视示意图如图
14a 所 示 。 金 属 电 阻 率 为 p ， 且
r >> a >> b >> d （金 属 圆 盘 在 半 径 为
r 土 的两圆环面之外的两部分完全看作为理想导体）。在圆盘中
心垂直圆盘方向上设置转轴，盘面上离转轴 r 处，面积为 a2 的小
方块（其相对的两弧或对边中点连线长均为 a ，且相对的两弧中
点的连线通过盘心） 内施加垂直于盘面的匀强磁场 B ，如图 14b
所示，小方块外面的磁场可忽略。假设恰好为整数。当圆盘
以角速度负 转动时，求
（1）小方块上产生的电动势；
(
图
14b
)（2）小方块内金属片的总电阻的严格表达式（用 h、b、d 、p 表出）
（3）小方块外金属片的总电阻的严格表达式（用 r、a、h、b、d、p 表出）；
（4）通过小方块的电流的表达式（用 r、a、h、b、d 、p、B、负 表出）；
（5）相对于圆盘转轴，阻碍圆盘转动的电磁力矩（用 r、a、h、b、d 、p、B、负 表出）。
15.（40 分）真空中有一个锌质小球，半径 R = 1.0 cm ，远离其它物体。使锌球初始时带一定量的负电荷， 其电势Q0 = 一0.50 V （取无穷远处的电势为零）。某时刻开始，用波长λ= 290 nm 的紫外线照射锌球；假设 光强足够弱， 以至于单位时间逸出的光电子很少。
（1）求光电子从锌球逸出时的最大运动速度？
（2）开始时以最大速率从锌球逸出的电子，运动到离锌球无穷远处时的速度大小为多少？ （3）计算用紫外线连续照射锌球足够长的时间之后，锌球的电势Q1 是多少？
（4）从开始照射到足够长的时间后，整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目大约是多少？
已知：锌的截止波长λc = 332 nm ，真空中的光速 c = 3.0 x 108 m/s ，普朗克常量 h = 6.63x 10一34 J . s ，真 空 介 电 常 量 ε0 = 8.85x 10一12 C2 / (N . m2 ) ， 电 子 电 量 e = 一 1.60x 10一19 C ， 电 子 质 量 me = 9.11x 10一31 kg 心 0.511 MeV/c2 。
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(
光轴
.
) (
图
16a
)16.（40 分）如图 16a ，将焦距为 f = 10.00 cm 、半径为 r3 = 2.001 cm 的
薄透镜从正中间切割出一个半径为 r2 = 1.497 cm 的圆形小透镜；切割出
的小透镜通过打磨其边缘将其半径缩小为 r1 = 1.390 cm 。如图 16b（剖
面示意图）所示，将切割出来的小透镜沿着光轴向右平移一小段距离
d = 2.000 cm ；光轴上一个点光源 S 位于大透镜左侧，与大透镜距离为
s = 15.00 cm ，S 发出波长为λ= 500.0 nm 的单色光，在透镜右侧出现 S
的两个像点 S和 S ；在大透镜右侧距离为B = 50.00 cm 处有一垂直于光
轴的屏幕，光轴与屏幕交点为 O ；点光源 S 发出的光在屏幕上形成干涉条纹。
(
D
d
3
S
r
2
1
光轴
S
S
O
L
B
r
r
s
)
图 16b.
（1）求 S 的两个像点 S和S 之间的距离D ，以及像点 S 到屏幕的距离 L。
（2）描述屏幕上能够观测到干涉条纹的区域的形状，并计算该区域的范围。
（3）描述上述区域范围内干涉条纹的形状，导出第 k 级亮纹在屏幕上的位置公式；总共能看到多少条亮纹？
提示： 由于透镜尺寸很小，使得屏幕上干涉区域内的点到 O 点距离远小于两个像点 S和S 到 O 点的距离。
计算中可利用近似展开式，即当x << 1 时，有 心 1+ 。
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第 40 届全国中学生物理竞赛预赛试题解答及评分标准
（2023 年 9 月 2 日 9:00-12:00）
一、 选择题（本题 60 分，含 5 小题，每小题 12 分。在每小题给出的 4 个选项中，有的小题只有一项符 合题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括 号内。全部选对的得 12 分，选对但不全的得 6 分，有选错或不答的得 0 分。）
1. D 2. B 3. ABD 4. A 5. C
二、填空题（本题 100 分，每小题 20 分，每空 10 分。请把答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需 给出结果， 不需写出求得结果的过程。）
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6. 根100 或 77.3 ， 8 7. 9.63 ， 50.0 8. 前倾，
9. 3， 12 10. 2 根105 ， 1根102
arctan
或 26.6。
三、计算题（本题 240 分，共 6 小题，每小题 40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重 要的演算步骤, 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的, 答案中必须明确写出数值，有单位的必须写出 单位。）
11.
（1）在 A 、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间，B 、C 间的轻质弹簧无形变， 故小球 C 的速度为 0
vC = 0 ①
在 A、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间，连接小球 A、B 的软绳与 x 轴的夹角为θ , 小球 B 所受到的来自软 绳的作用力沿拉直的绳的方向， 因此，在此瞬间 B 的速度沿着软绳指向 A 的方向， 即此时 B 的速度 vB 为
vB = vB (cosθ +sinθ) ， ②
式中 、分别为 x、y 坐标轴的方向， vB 是 vB 的大小。设此时 A 的速度为
vA = vAx + vAy ， ③
A 、B 构成的体系在绳被拉紧的过程中动量守恒，有
vB cosθ+ vAx = v0 ④
vB sinθ+ vAy = 0 ⑤
由于轻绳柔软（完全无弹性）且不可伸长，在绳刚刚被拉紧后的瞬间 A 相对于 B 的相对运动速度v必然垂
直于 AB 连线，且沿顺时针旋转方向， 即
vAx 一vB cosθ= v sinθ
vAy 一 vB sinθ= 一v cosθ
联立①④⑤⑥⑦式，解得
vA = v0 (|（1 一 cos2 θ 一 cosθsinθ ⑧
vB = (cos2 θ +cosθsinθ)
⑥
⑦
⑨
(
」
)
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由⑧⑨式和题给数据得
(
⑩

)vA = v0 (0.68 - 0.24)
vB = v0 (0.32 + 0.24)
【解法 2： 在 A 、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间，B 、C 间的轻 质弹簧无形变， 故小球 C 的速度为 0
vC = 0 ①
如题解图 11a，在绳刚刚被拉紧后的瞬间，将 A 的初速度按垂直于
连线方向“ 」”和平行于连线方向“ ”进行分解
v0 = v0」 +v0 ② ’
其中
v0」 = sinθv0 , v0 = cosθ v0 ③ ’
由轻绳约束条件，在 A 、B 间的软绳刚刚被拉紧后的瞬间
(
v
=
v
=
v
)B B A 再由 A 、B 间的动量守恒得 于是 ④ ’ 1 (
v
=
v
=
v
)B A 2 0 (
A
」
0
」
)v = v vB = cosθv0 e
vA = v0 +v0」 =v0 -vB = cosθv0 e +sinθv0 e」
(
A
(
初始
)
L
θ
C
B
x
A
O
L
y
)
题解图 11a
⑤’
⑥’
⑦’
⑧’
其中， e 和 e」 分别为平行“ ”和垂直“ 」”方向的方向向量。于是有
(
B
5
0
)v = 2 v e ⑨’
2 3
(
A
5
0
5
0
」
)v = v e + v e ⑩’】
【附注： 其中平行“ ”和垂直“ 」”方向的方向向量为
e = cosθ +sinθ, e」 = sinθ -cosθ
综上，有
vB = v0 (|（ cos2 θ + sinθcosθ = v0 ( + )
vA = v0 (|（(|（ cos2 θ+sin2 θ - sinθcosθ = v0 (|（ -
】
（2）在 A 、B 间的柔软轻绳刚刚被拉紧时，B 、C 间的柔软轻绳处于沿 x 方向伸直的拉紧状态， 小球 C 所 受到的来自软绳的作用力指向 A， 故 C 只可能沿正 x 方向运动， 可设
vC = vC ，
另设碰后瞬间 A 、B 速度分别为
vA = vAx + vAy
vB = vBx + vBy
A 、B 、C 构成的体系在绳被拉紧前与刚刚拉紧后的总动量守恒，有
vAx + vBx +vC = v0 ，
vAy + vBy = 0 ；
由于 B 、C 间的柔软轻绳不可伸长，在 B 、C 间的柔软轻绳被拉紧时，B 相对于 C 的相对运动速度沿正 y 方 向， 即
vBx 一vC = 0
在此时瞬间 A 相对于 B 的相对运动速度v垂直于此时 AB 连线，且沿顺时针旋转方向， 即
vAx 一vBx = v sinθ
vAy 一 vBy = 一v cosθ
因为 A 所受冲量只沿 AB 连线方向， 故 A 在垂直于 AB 连线方向的速度分量在绳被拉紧前后没有变化， 由
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AB 连线方向的动量定理得
3 4 3
5 vAx 一 5 vAy = 5 v0
联立 式，得
vA = 13 v0 一 2 v0
21 7
vB = 4 v0 + 2 v0
21 7
vC = v0




评分标准： 本题 40 分。
第（1）小问 22 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 式各 2 分；
【解法 2】： ①② ’③ ’④ ’ 式各 2 分，⑤ ’式 4 分，⑥ ’⑦ ’⑧ ’⑨ ’⑩ ’式各 2 分；
第（2）小问 18 分， 式各 2 分。
12.
（1）先考虑一般情况。设质量为 m、速度为 v10 的小球 1 和质量为 m、速度 v20 = 0 的小球 2 发生对心碰撞，
碰撞后小球 1 和 2 的速度分别为 v1 和 v2 ， 由动量守恒有 mv10 = mv1 + mv2
碰撞的恢复系数为
(
10
20
10
)e = vv2 一 1 = v2v一 v1
由①②式得
(1 + e)m
(
v
=
v
)2 m + m 10
①
②
③
考虑由大球（质量为 m1 ）与小球（质量为 m2 ）组成的系统， 系统落地速度为
(
2
gh
0
)v0 = ④
在以速度 v0 向下运动的参考系中，碰撞前两球 m1、m2 都处于静止状态，而地球（m0 ）以速度 v0 向上与 最下面的大球（m1 ）碰撞，利用公式③, 碰撞后小球（m1 ）的速度 u1 为
u1 = (0 v0 ⑤
然后大球（m1 ）与小球（m2 ）之间发生碰撞，再利用公式③, 碰撞后小球（m2 ）的速度 u2 为
u2 = u1 = ⑥
考虑到 m0>>m1 ，有
u2 = ⑦
且地球与大球 m1 碰后地球速度近似不变， 于是小球（m2 ）相对于地面的速度为
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v = u2 - v0 =
⑧
小球（m2 ）上升的高度（相对于地面）为
h = = (|（( )1 - 12 h0
由⑨式得
e = - 1
（2）系统落地时的速度
(
0
0
)v =
⑨
⑩
在以速度 v0 竖直向下运动的惯性系中，碰撞前，4 个小球都处于静止状态，而地球（m0 ）以速度 v0 竖直向 上运动，与最下面的小球碰撞，然后依次引起小球之间的 3 次碰撞。开始两次碰撞后小球（m2 ）的速度 u2 仍为⑥式所示。依次类推， 最上面小球(m4)的碰撞后速度为
(
(
m
0
+
m
1
)(
m
1
+
m
2
)(
m
2
+
m
3
)(
m
3
+
m
4
)
考虑
m
0
>>
m
1
有
)u = (1 + e)4 m0m1m2m3
(
(
m
1
+
m
2
)(
m
2
+
m
3
)(
m
3
+
m
4
)
)u = (1 + e)4 m1m2m3
且地球与大球 m1 碰后地球速度近似不变， 故最上面小球(m4)相对于地面的速度
v = u - v0 = - 1
最上面小球(m4)竖直升的高度
(
2
g
（
(
m
1
+
m
2
)(
m
2
+
m
3
)(
m
3
+
m
4
)
)
) (1 + e)4 m1m2m3 - 1)|2 h0
由此可得


(


) (
=
) (
m
1
m
3
) (
<
m
2
m
3
m
4
m
2
m
3
m
3
m
4
m
2
m
4
m
2
m
3
m
4
)
第 5 页 , 共 12 页
e =
(
(
4
|
(
h
h
0
+
1
)
|
(
m
1
)
+
m
2
)(
m
2
+
m
3
)(
m
3
+
m
4
)
m
1
m
2
m
3
)
- 1
由 式和题给数据得，恢复系数 e 的数值为
e = 0.885
(3)只需求
(
(
m
1
+
m
2
)(
m
2
+
m
3
)(
m
3
+
m
4
)
)Φ(m2 , m3 ) = m1m2m3
1
(|（1 + (|（1 + (|（1 +
达到最大值的条件。进而，
Φ(m2 , m3 ) =
m1 m2 m3 m1 m2 m2 m3 m1 m3 m1 m2 m3
(

)1
(
m
1
m
2
m
3
m
1
m
2
m
2
m
3
m
1
m
3
m
1
m
2
m
3
)1 + 33 + 33 +
1 1
= =
1 + 3 + 33(|（ 2 + (|（1 + 3
式中等号仅在
m2 m3 m4
= =
m1 m2 m3
时成立。即在 m4 与 m1 保持不变的条件下， 当
(

) (
~
13.7
) (
g
)m2=m2 = ~ 32.4 g, m3 =
可以使 h/h0 达到最大值。
这里应用了下述不等式：
对于任意正数 a、b、c ，有
>
式中等号当且仅当
a = b = c
时成立。
【附注：
上述不等式可以简单证明如下：
不妨设 a、c 分别是 a、b、c 中最大数、最小数。可令
a = k + g、b = k - g + h、c = k - h ，
式中 g、h > 0 ，且
(
=
k
)a + b + c
3
于是
abc = (k + g)(k - h)(k + h - g) = [k2 + (g - h)k - gh](k + h - g)
< k(k + g - h)(k + h - g) = k[k2 - (g - h)2 ] < k3 = 3
式中等号当且仅当 g = h = 0 或（等价的）
a = b = c
时成立。】
由 式知， Φ 的极大值为
(
(
m
4
)
-
3
) (
（
m
1
)
(
h
)
「
4
(
m
4
)
-
3
)Φmax = | 3 + 1 |
这时，
(
（
h
0
)
max
|L
（
m
1
)
)| | = |(1+ e) |1 + 3 |
由 式和题給数据得
]2
- 1 | ~11.4
」|
max ~ 11.4
评分标准： 本题 40 分。
第（1）小问 20 分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各 2 分；
第（2）小问 12 分， 式各 2 分。
第（3）小问 8 分， 式各 2 分。
13.
（1）半径为 r、总电量为 Q 的均匀带电球壳的表面电势Q(r) 由下式给出
Q(r) = ①
其中ε0 为真空介电常量。记肥皂泡初始半径为 r1 ，得
Q =4πε0r1Q(r1) ②
代入题给数据得
Q = 1.1根10-11 C ③
可知肥皂泡带正电。
（2）记肥皂泡变大后的半径为 r2 ， 由题给公式得，肥皂泡变大前后静电势能变化为
ΔWe = - ④
由③④式和题给数据得
ΔWe = -5.0 根10-10 J ⑤
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（3） 由于球面上电荷元会受到其他部分电荷的静电力，故会产生向外的压强，记为Pe 。假设球面从半径 r2
变为半径 r2 + Δr, 其中 Δr << r2 ，此过程中压强 所做的功为
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ΔW 心 Δr PdS 心 4πPe Δr
⑥
由题给公式可知以上过程中肥皂泡静电势能变化为
(
Q
2
Q
2
)ΔE = 一
e 8πε0 (r2 + Δr) 8πε0 r2
Q2 Δr
心 一
8πε0
⑦
而保守力做功等于势能的减少量， 即
ΔW = 一ΔEe
肥皂泡的表面张力产生的压强与表面张力系数σ的关系为
(
r
2
)PT = 4σ
⑧
⑨
忽略肥皂泡内外气压差， 则平衡时表面张力产生的压强与静电力产生的压强相等， 故
(
T
e
)P = P
联立⑥⑦⑧⑨⑩式得
ε0 ( r1 )2
σ = 8r2 |（r2 Q)|
代入题给数据得
σ = 1.1根10一8 N/m
⑩


【解法 2：
当肥皂泡达到平衡时，体系的总势能（电荷的势能与表面张力的势能的和）达到最小。 半径为 r 的肥皂泡的表面张力产生的压强与表面张力系数σ的关系为
4σ
P =
T r
因此表面张力所对应的势能为
UT = ∫ rPT .4πr2 dr = 8πr2σ + U0
其中U0 为任意常数。结合题给电势能公式，可知总势能为
(
U
=
U
+
)Q2
T 8πε0 r
⑥’
⑦’
⑧’
由平衡条件可知
|r =r2 = 16πr2σ 一 = 0 ⑨’
解得
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σ =
代入题给数据得
Q2
128π2ε0
⑩’
σ = 1.1 x10一8 N/m ’ 】
评分标准： 本题 40 分。
第（1）小问 8 分，①式 4 分，②③式各 2 分；
第（2）小问 8 分，④⑤各式 4 分；
第（3）小问 24 分，⑥⑦⑧⑨⑩式各 4 分， 式各 2 分。
【解法 2】： ⑥ ’⑦ ’⑧ ’⑨ ’⑩ ’ ’ 各 4 分。
14.
（1）在小方块内金属片的运动速度大小为
v = 负r ①
方向沿矢经 r 末端切向。它们切割磁力线产生的电动势近似为
ε = Bav ②
该电动势沿径向。由①②式得
ε = Ba负r ③
（2）记小方块内金属片的总电阻为 R内 。每片金属片的电阻为
R = p ④
小方块内金属片的数目为
n = ⑤
由④⑤式得，
R = 1 R = pa = p(b + d) ⑥
内 n ndh dh
（3）记小方块外金属片的总电阻为 R外 。由于密集的金属片在圆环上均匀分布， 是正整数。小方块外
金属片的数目为
m = 2a ⑦
由④⑦式得， 小方块外金属片的总电阻为
R外 = = 2一da ⑧
（4）记通过小方块的电流为 I 。由欧姆定律，通过小方块的电流为
I = R内 R外 ⑨
由③⑥⑧⑨式得
(
⑩
)I = R内 R外 = b d da = (2ba负
（5）小方块内所有金属片所受到的总安培力为
F = IaB @
方向沿与圆盘上的金属片垂直。该安培力对圆盘的阻力矩近似为
M = rF
由⑩@ 式得，相对于圆盘转轴， 阻碍圆盘转动的电磁力矩为
M = rIaB = (2π负r
评分标准： 本题 40 分。
第（1）小问 10 分，①②式各 4 分，③式 2 分；
第（2）小问 8 分，④式 4 分，⑤⑥式各 2 分；
第（3）小问 4 分，⑦⑧式各 2 分；
第（4）小问 8 分，⑨式 4 分，⑩式 4 分（写成近似表达式也同样给分）；
第（5）小问 10 分，@ 式各 4 分， 式 2 分（写成近似表达式也同样给分）。
15.
（1）锌的逸出功
A = hvc = ①
式中vc 是相应的截止频率。电子的最大初动能
Ek max = hv 一 A = hc 一 = 8.677 根10一20 J ②
由于
Ek max =
式中 v 是光电子从锌球逸出时的最大运动速度。由①②③式及题给数据得
v = 一 = 4.37 根105 m/s ④
（2） 电子从锌球附近运动到无穷远， 由能量守恒有
Ek max + eQ0 = mev ⑤
式中 v2 以最大速率从锌球逸出的电子运动到离锌球无穷远处时的速度。由⑤式及题给数据得
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(
2
)v =
(
2(
E
k max
+
e
Q
0
)
m
e
)
= 6.05 根105 m/s
⑥
（3）照射时间足够长，逸出的电子足够多， 以至于锌球带正电，其电势Q1 满足 Ek max +eQ1 =0 ⑦
由⑦式及题给数据得
Q1 = 一 = +0.54 V
（4）带有电荷量为 q 的锌球的电势
1 q
Q =
(
0
)4πε R
由⑨式得
ΔQ =
设整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目为 N ， 则 Δq = N(一e)
由⑩@式得
1 N(一e)
Q1 一Q0 =
(
0
)4πε R
由 式及题给数据得
N = 4πε0 R(Q一1 Q0 ) = 7.2 x106
⑧
⑨
⑩
@


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评分标准： 本题 40 分。
第（1）小问 14 分，①②式各 4 分，③式 2 分，④式 4 分；
第（2）小问 8 分，⑤⑥式各 4 分；
第（3）小问 8 分，⑦⑧式各 4 分；
第（4）小问 10 分，⑨⑩@ 式各 2 分。
16.
（1）根据薄透镜成像公式有
+ = ①
+ = ②
由①②式和题给数据有
(
③
)s = = 30.00 cm, s = = 24.29 cm
f s f s + d
于是
D = s 一 s 一 d = 3.714 cm, L = B 一 s = 20.00 cm ④
（2）如解题图 16a，在以 O 点为圆心的环带区域（图中用粗实线段标出） 内有干涉条纹，且
OA = OS = (L + D) = 1.357 cm OB = OS = 1.334 cm
OC = OS = 0.9980 cm
⑤
⑥
⑦
由于
OA > OB > OC
干涉条纹应分布在屏幕上 B 、C 点之间的环带区域（以 O 点为中心）， 该环形区域中的点 P 与 O 点之间的距 离 hP 满足
(
D
O
光轴
C
B
A
S
S
L
S
)
解题图 16a.
(
D
S
S
P
L
光轴
r
S
)
解题图 16b.
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0.9980 cm < hP < 1.334 cm ⑧
（3）如解题图 16b，两条光路的光程差为
(
⑨
)ΔLP = D + - = D + L - (L + D)
~ D + L 1 + 2 - (L + D) 1 + 2 =
亮纹半径应满足
ΔLP = kλ, ⑩
从而有
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rk = ,
k = 0,1, 2,3,

干涉条纹是以光轴和屏幕交点 O 为圆心的一系列同心圆环(仅存在于(2)中给出的区域中)，第 k 级明环的半径 为
rk = = 根1.130 mm, k1 < k < k2
其中
k1 = 2 = 78.0003 ~ 78, k2 = 2 = 139.363 ~ 139
能观测到的亮纹条数为
N = k2 - k1 + 1 = 62



附注：（傍轴近似公式的误差分析）
如果计算条纹级数 k 时不用傍轴近似，而用严格公式， 我们有
k1 = = 77.88 ~ 78,
k2 = = 138.97 ~ 139
可以看到，与严格结果相比，使用傍轴近似公式对条纹级数 k 进行计算时，相对误差小于 0.003，绝对误差 小于 0.4， 不会影响最终结果。
评分标准： 本题 40 分。
第（1）小问 12 分，①②式各 4 分，③④式各 2 分；
第（2）小问 12 分，⑤式 2 分，⑥⑦式各 4 分，⑧式 2 分；
第（3）小问 16 分，⑨式 4 分，⑩ 式各 2 分。