绝密★启用前
海南省2023届高三下学期5月学业水平诊断（五）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则Venn图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）．
A．I B． C． D．
3．已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
4．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．从5对夫妻中任选4人，这4人恰好是2对夫妻的概率为（ ）．
A． B． C． D．
6．若两条直线和均与圆相交，且依次连接四个交点得到一个矩形，则（ ）．
A．4 B．2 C． D．
7．若函数与的图象的任意连续三个交点均构成钝角三角形，则正实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
8．设函数在R上的导函数为，在上，且，有，则（ ）．
B． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．的取值范围为
C．满足的的值有2个 D．存在，使得
10．已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一个动点，点，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．过点A且与C有唯一公共点的直线仅有1条
C．的最小值为2
D．点M到直线的最短距离为
11．已知实数x，y满足，则（ ）．
A． B．
C． D．
12．如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（ ）．
A．当时，直线与平面所成角的正弦值为
B．当二面角的大小为时，直线与所成角为
C．若，则二面角的余弦值为
D．若，则四面体的外接球的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知的展开式中的系数为21，则正整数__________．
14．从甲、乙两班各随机抽取5名同学，他们最近一次语文考试中作文得分如下：
甲班：45，45，46，47，48
乙班：47，48，49，50，a
若两组样本数据的方差相等，则a的值可以是__________．（写出1个a的可能取值即可）
15．在等比数列中，，函数，则__________．
16．已知椭圆的左顶点为A，上、下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则__________．（S表示面积）．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求的值．
18．（12分）如图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，点S在以为直径的半圆上，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）已知数列和满足：，，（为常数，且）．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）若当和时，数列的前n项和取得最大值，求的表达式．
20．（12分）某汽车4S店的销售员的月工资由基础工资和绩效工资两部分组成，基础工资为t（单位：元），绩效工资如下表：
月售车台数 0 1 2 3 4
绩效工资 0
根据以往销售统计，该4S店平均一名销售员月售车台数的概率分布如下表：
月售车台数 0 1 2 3 4
绩效工资 0.32 0.28 0.13 0.12 0.09 0.06
（Ⅰ）求该4S店一名销售员的绩效工资大于的概率；
（Ⅱ）若已知该4S店一名销售员上个月工资大于，求该销售员上个月卖出去3台车的概率；
（Ⅲ）根据调查，同行业内销售员月平均工资为8000元，要使该4S店销售员的月工资的期望不低于行业平均水平，基础工资至少应定为多少？（精确到百位）
21．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设函数的极小值为M，证明：．
22．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，过其右焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，且．
（Ⅰ）求C的方程．
（Ⅱ）设为C上的动点，直线与直线交于点M，与直线（与直线不重合）交于点N．是否存在t，使得为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
海南省2023届高三下学期5月学业水平诊断（五）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 C
命题意图 本题利用Venn图考查集合的概念与运算．
解析 Venn图中阴影部分表示，集合，
，，
于是．
2．答案 D
命题意图 本题考查复数的运算与概念
解析 因为，所以，于是．
3．答案 B
命题意图 本题考查幂函数的概念．
解析 因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，分析选项可知只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
4．答案 A
命题意图 本题考查几何体的结构特征．
解析 如图所示，设点E在底面上的射影为G，作，，垂足分别为M，N．
设四个侧面与底面的夹角为，则在和中，，
又为公共边，所以，
即，整理得．
5．答案 C
命题意图 本题考查古典概型的计算以及排列组合的应用．
解析 从5对夫妻中任选4人，则不同的选法有种，这4人恰好是2对夫妻的选法有种，
故所求概率为．
6．答案 C
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系．
解析 由已知可得圆心到两条直线的距离相等，过点且斜率为2的直线方程为，
则a，b关于对称，故．
7．答案 B
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 如图，作出函数和的图象，
不妨以图中为研究对象，由对称性可得是以C为顶角的等腰三角形，
过C点作于M，则，得，
由，得，则，
所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，整理得．
8．答案 A
命题意图 本题考查导数与不等式．
解析 由，可得．
设，则，
所以是R上的奇函数，
又在上，即，
所以在上是减函数，
又是R上的奇函数，所以是R上的减函数，
所以，即，
因此，故．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案 BC
命题意图 本题考查平面向量的坐标运算．
解析 对于A，由得，即，故A错误；
对于B，，
因为，所以，，
，故B正确；
对于C，将，的起点都放到坐标原点，则所在直线的倾斜角为，
的终点在单位圆上，要使，只需取或即可，故C正确；
对于D，等价于，的方向相反，而，结合C的分析可知，不存在满足条件的情况，故D错误．
10．答案 BD
命题意图 本题考查抛物线的标准方程和性质．
解析 由已知得，C的准线为．
对于A，根据抛物线的定义可知，
所以，所以，故A错误；
对于B，作图可知点A在抛物线的内侧，过点A且与C有唯一公共点的直线只有x轴，故B正确；
对于C，当M为坐标原点时，取得最小值，此时，故C错误；
对于D，点M到直线的距离为，
故当时，d取最小值，故D正确．
11．答案 ACD
命题意图 本题考查不等关系、基本不等式．
解析 对于A，，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，，所以，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确．
12．答案 ABD
命题意图 本题考查空间角．
解析 对于A，当时，直线与平面所成角为，
则，故A正确；
对于B，如图，过A作，且，连接，，
则为正方形，即为直线与所成角，为二面角的平面角，
当时，易得，
又，，故面，即面，故，故B正确；
对于C，如图，作，则二面角的平面角为，
又，在中，易得，
在．中，由余弦定理得，，
过C点作交线段的延长线于点O，则平面，
过O点作，交线段的延长线于点H，连接，
则为二面角的平面角，
易得，，，
所以，故C错误；
对于D，同选项C可知，
如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，
则球心O必在该垂线上，设球的半径为R，则，
又的外接圆半径，则，
所以四面体的外接球的体积为，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 7
命题意图 本题考查二项式定理的应用；
解析 由已知得，解得（负值舍去）．
14．答案 47（或50）
命题意图 本题考查样本数据的数字特征．
解析 观察两组数据的特征，甲班的数据都是连续的整数，且最小的数有两个，乙班的数据除了a之外也都是连续的整数，要使两组样本数据的方差相等，只需两组数据的分布也相同即可，a可以是重复的最小值或最大值．
15．答案
命题意图 本题考查函数与数列．
解析 因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
16．答案 4
命题意图 本题考查椭圆的方程与性质．
解析 设，
由已知得直线的方程为，直线的方程为，
两直线方程联立，可解得P点的坐标为．
由，可得，
整理得，即，解得．
所以P点的纵坐标为，得，所以．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查正余弦定理和三角恒等变换的应用．
解析 （Ⅰ）由条件可得，
整理得
（2分）
，（3分）
再由正弦定理可得．（5分）
（Ⅱ）由余弦定理可得，（6分）
再由（Ⅰ）可得，整理得．（8分）
令，则，即，（9分）
解得，即的值为．（10分）
18．命题意图 本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角问题．
解析 （Ⅰ）设的中点为O，连接，．
因为为等腰直角三角形，且，
所以，，且．（1分）
因为S在以为直径的圆上，所以．（2分）
故，故．（3分）
又因为，故平面，（4分）
因为平面，所以平面平面．（5分）
（Ⅱ）以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，
过点O且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，．（6分）
由得，
所以，
从而得，所以．（7分）
所以，，，（8分）
设平面的法向量为，则，，（9分）
不妨取，则．（10分）
因为，
故直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
19．命题意图 本题考查数列的递推关系，以及等比数列的性质．
解析 （Ⅰ），即，
所以，（1分）
，（4分）
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以．（6分）
因为当和时，数列的前n项和取得最大值，所以，（7分）
即，解得．（8分）
所以．（9分）
经检验，当时，，当时，，所以先增后减，
在和时取得最大值，符合题意．（10分）
此时．（12分）
20．命题意图 本题考查概率与条件概率，数学期望的应用．
解析 （Ⅰ）设事件“该4S店一名销售员的绩效工资大于”为A，
则事件A等价于“该销售员月售车台数不小于3”，．（3分）
（Ⅱ）设事件“该4S店一名销售员上个月工资大于”为B，
事件“该销售员上个月卖出去3台车”为C，
则，（4分）
，（5分）
故．（7分）
（Ⅲ）该4S店一名销售员月工资X的分布列为
X t
P 0.32 0.28 0.13 0.12 0.09 0.06
（9分）
所以，（10分）
由，得，
即基础工资至少应定为6300元．（12分）
21．命题意图 本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数性质，证明不等式．
解析 （Ⅰ）由已知得，（1分）
所以，又，（2分）
所以曲线在点处的切线方程为，即．（4分）
（Ⅱ）由题意知，则，（5分）
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．（6分）
因为，，，
所以有两个零点，，且，．（7分）
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
即是唯一极小值点，（8分）
所以．（9分）
由得，所以，（10分）
设函数，易知在上单调递减，（11分）
所以．
综上，2．（12分）
22．命题意图 本题考查双曲线的方程与性质．
解析 （Ⅰ）因为C的渐近线方程为，所以．①（1分）
设，直线的方程为，
将其代入C的方程得，所以．②（3分）
由①②可解得，，（4分）
所以C的方程为．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以l的方程为，
因为l与直线相交，故，方程整理为．（6分）
直线的方程为，所以l与直线的交点为，
l与直线的交点为，（7分）
则．（8分）
因为在C上，所以，即，
所以．（9分）
由题意知：当变化时上式为定值，则分子、分母中对应项的系数成比例，
则，解得（舍去），（11分）
此时，即，
因此，存在符合条件．（12分）