重庆市南岸区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．把多项式a2+2a分解因式得（　　）
A．a（a+2） B．a（a﹣2）
C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2+2a =a（a+2），
故答案为：A.
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
2．（2022·齐齐哈尔）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；
B：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
C：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
D：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．已知，下列一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴x+1＞y+1，A不成立；
B、∵x＞y，∴2x＞2y，B不成立；
C、∵x＞y，∴x-1＞y-1，C不成立；
D、∵x＞y，∴-x＜-y，D成立.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的基本性质依次判断即可.
4．（2022·四川）分式 有意义的条件是（　　）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：3+x≠0，
解得 ：x≠－3 .
故答案为：B.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，依此列不等式解答即可.
5．在中（如图），连接，已知，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=40°，∠ACB=80°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=120°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠B，再利用平行四边形的性质得到∠BCD的度数.
6．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以x（x-1）得，
2x=3（x-1），
2x=3x-3，
x=3，
经检验x=3是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】去分母，解分式方程即可。
7．（2019八下·港南期中）已知一个多边形的内角和等于900 ，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2）可列方程求解。
8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．7
【答案】D
【知识点】勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
根据题意可知，EN垂直平分BC，
∵BE=4，
∴CE=BE=4，
∵∠B=45°，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=90°，
∵AC=5，CE=4，
∴由勾股定理得，=9， ∴AE=3， ∴AB=AE+BE=7,
故答案为：D.
【分析】由垂直平分线的作图方法可知，EN是线段BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出CE=4，再利用CE=BE，∠B=45°，得出∠CEB=90°，进而利用勾股定理得出AE的长，计算得出线段AB长.
9．如图，在中，，，点D是边上一点，连接，把绕点D旋转至，连接．若，∠DEB＝90°，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作DF⊥AC，垂足为F，则∠AFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴DF∥BC，
∵∠ABC=30°，
∴∠ADF=∠ABC=30°，
∴AD=2AF，
设AF=a，则AD=2a，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得，DF2=AD2-AF2，
∴DF2=3a2，
∵AC=2，AF=a，
∴CF=2-a，
∴在Rt△CDF中， 由勾股定理得，CD2=DF2+CF2=3a2+（2-a）2，
∵CD绕点D旋转得到DE，
∴DE=CD，
∴DE2=CD2=3a2+（2-a）2，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
∴BD=AB-AD=4-2a，
在Rt△BDE中， 由勾股定理得，BD2=DE2+BE2，
∴（4-2a）2=3a2+（2-a）2+4，
∴a=，
∴，
故答案为：B.
【分析】先作DF⊥AC，利用30°直角三角形的性质，设AF=a，得出AD=2a，在Rt△ADF中， 由勾股定理得，DF2=AD2-AF2=3a2，在Rt△CDF中， 由勾股定理得，CD2=DF2+CF2=3a2+（2-a）2，根据CD=DE，得到DE2，然后再在Rt△BDE中， 由勾股定理得，BD2=DE2+BE2，计算得出a的值，从而得出AD的长.
10．关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．0 B．1 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ,
由①×2得，2x-a+3≤x+3，
解得，x≤a，
由②×2得，3x+1＜2x+6，
解得，x＜5，
∵此不等式组的解集是x≤a，
∴a＜5，
∵，
方程两边同时乘以y-1得，y-a+2y-4=y-1，
解得，
∵有非负整数解，，
∴或或，
解得，a=-3或a=1或a=3，
∴符合条件的所有整数a的和是-3+1+3=1.
故答案为：B.
【分析】先计算不等式组的解集，根据已知解集x≤a判断a的取值范围，再解分式方程求得，根据分式方程有非负整数解，求出整数a的值，再计算符合条件的所有整数a的和.
二、填空题
11．不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵3x-12＜0，
∴3x＜12，
∴x＜4.
故答案为：x＜4.
【分析】利用不等式的性质解不等式即可.
12．如图，如果只用一种若干个正多边形镶嵌整个平面，如图是由其拼成的无缝隙且不重叠的图形的一部分，这种正多边形的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵ ∠1+∠2+∠3=360°，∠1=∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=120°，
∴这个正多边形的每个内角都是120°，
设这个正多边形的边数是n，
则，解得n=6，
∴这个正多边形的边数是6.
故答案为：6.
【分析】先计算出∠1=∠2=∠3=120°，再利用正多边形内角和等于（n-2）·180°，以及正多边形的每个内角都相等，计算得到正多边形的边数n.
13．在中，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠B=∠C==40°.
故答案为：40°.
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠B.
14．若，则　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x+y=1，
∴.
故答案为：6.
【分析】先利用平方差公式对x2-y2进行因式分解，再将x+y=1整体代入，进而整理得出答案.
15．如图，已知，，当时，x的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 时，3x-4＞-x+3，
解得，.
故答案为：.
【分析】根据 列出一元一次不等式3x-4＞-x+3，计算求得不等式的解集即可.
16．（2022·北京市）如图，在中，平分若则　 　．
【答案】1
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】先求出，再利用三角形的面积公式求解即可。
17．如图，，，D为上一点，，，交于点E，点F为直线上一点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于直线DE的对称点A'，连接AA'，A'F，A'B，延长ED交AA'于点H，
由轴对称性质可知，FA'=FA，AH=A'H，∠AHD=90°，
∴FA+FB=FA'+FB≥A'B，
∴FA+FB的最小值，就是线段A'B的长，
∵∠BAC=45°，DE∥AB，
∴∠HDA=∠BAC=45°，
∴∠HAD=∠HDA=45°，
∴HD=HA，
∵AD=2cm，
∴在Rt△HDA中，由勾股定理得，HA2+HD2=AD2，
∴cm，
∴cm，
∵AB=6cm，
∴在Rt△ABA'中，由勾股定理得，AA'2+AB2=A'B2，
∴cm，
即FA+FB的最小值为cm，
故答案为：cm.
【分析】作点关于直线DE的对称点A'，连接AA'，A'F，A'B，延长ED交AA'于点H，根据轴对称性质以及三角形三边关系，得到FA+FB的最小值，就是线段A'B的长，再由∠BAC=45°，得出AH的长，然后得出AA'，根据勾股定理求得A'B的长.
18．用表示十位数字为m，个位数字为5的两位数，其中，且m是整数，例如，当时，表示的两位数是65
当时，；
当时，；
……
（1）请仿照上面的等式，用含m的式子表示：　 　；
（2）若与的差为6425，则　 　．
【答案】（1）
（2）8
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵m=1时，152=100×1×2+25=100×1×（1+1）+25，
m=2时，252=100×2×3+25=100×2×（2+1）+25，
∴，
故答案为：m（m+1）.
（2）∵与100m的差为6425，
∴100×m（m+1）+25-100m=6425，
解得m=8，
故答案为：8.
【分析】（1）通过观察m=1时，152=100×1×2+25=100×1×（1+1）+25，
m=2时，252=100×2×3+25=100×2×（2+1）+25，得出规律；
（2）根据与100m的差为6425，列出算式，解得m的值即可.
三、解答题
19．如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．
⑴在图中，画出向左平移8个单位得到的；
⑵在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的；
⑶直接写出点，，的坐标．
【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶由图可知，，，．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)利用平移知识画图即可；
（2）利用中心对称的性质画图即可；
（3）根据坐标系写出点的坐标即可.
20．（2017·天门）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式5x+1＞3（x﹣1），得：x＞﹣2，
解不等式 x﹣1≤7﹣ x，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
21．计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用分式的除法法则，将除法变成乘法，再对a3-ab2和a2-ab进行因式分解，然后约分完成化简；
（2）先对 进行通分，再对x2-3x和x2+6x+9进行因式分解，然后约分完成化简.
22．在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，
∴BE= ▲ ，．
在和中，∵，
∴．∴ ▲ ．
∵在中，，，
∴ ▲ °．
∴ ▲ °．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
【答案】解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】先作图，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，利用三角形全等的判定定理SAS以及全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=30°，计算得出∠ABD=30°，再利用三角形全等的判定定理AAS，证明出△DBA≌△DBE，进而得出 ．
23．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和B款燃油车的对比调查发现，A款电动车汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均每千米的加油费少0.6元．
（1）若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费；
（2）A款电动车汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150km的路程到达乙地．行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的，求原计划的速度．
【答案】（1）解：设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元；
（2）解：设原计划的速度为，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为（x+0.6）元，根据充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，列出分式方程，解得 x=0.2，注意检验即可；
（2） 设原计划的速度为ykm/h， 根据行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 ，列出分式方程 ，解得y=75，注意检验即可.
24．在中，，．D是射线上一点，连接，把绕着点A逆时针旋转，得到．
（1）如图1，当点D在的延长线上时，连接，求证：；
（2）如图2，当点D在边上时，若，过点E作，分别交，，于点F，M，N．求证：．
【答案】（1）证明：∵，D是射线上一点，连接，把绕着点A逆时针旋转，得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
（2）证明：过点E作，分别交，，于点F，M，N，如下图：
∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵把绕着点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∵，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到∠BAC=∠DAE，AD=AE，再利用三角形全等的判定定理SAS，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD=CE；
（2）先根据 ，， 证明△ABC是等边三角形，得出∠B=∠ACB=60°，再由EF∥CB得出∠AFE=60°，进而得出∠AFE=∠ACB，再结合旋转的性质得出∠DAC=∠AEF，利用三角形全等的判定定理AAS证明出△CAD≌△FEA，进而得出AF=CD，再由等边三角形ABC中AB=BC，得到BD=BF.
25．某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元．
（1）求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？
（2）若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元，
依题意可得：，解得：，
答：购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元；
（2）解：设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套，
依题意可得：，解得，
∵为整数，
∴的值为20，21，22，
则有以下三种购买方案，
方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套，
方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套，
方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套；
（3）解：由（2）可知：
方案一所需费用：元，
方案二所需费用：元，
方案三所需费用：元，
即：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1）设购进一套A种实验器材需要x元，一套B种实验器材需要y元，根据购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元，购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元，列出二元一次方程组，解得；
（2） 设购买A种实验器材a套，则购买B种实验器材（45-a）套 ，根据 学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，列出不等式组，计算得出， 根据a为整数，确定出方案；
（3）利用（1）的计算结果，分别计算出三种方案的费用，比较三种方案，得出费用最少的方案即可.
26．已知，是的中线，过点C作．
（1）如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接．
①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②取中点，连接，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，则
∴，则，
设，由勾股定理可得：，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
∴．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，再根据中线的定义得到BD=DC，利用三角形全等的判定定理ASA证明出△ABD≌△EDC，进而根据平行四边形的判定定理完成证明；
（2） ①延长，交于，取中点，连接，利用平行线的性质得出∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，然后根据AD是中线以及H是CG中点，得出DH是△BCG的中位线，由中位线性质得出BG=2DH，再证明四边形PDHG是平行四边形，得到DH=PG，进而得出BP=PG，证明出△ABP≌△EPG，然后由全等三角形的性质得出AB=EP，根据平行四边形判定定理得出四边形ABPE是平行四边形；
② 取BQ中点M，连接DM，利用中位线性质得出MD=，设BC=a，再由勾股定理得出，利用平行线的性质以及30°直角三角形的性质得出PD=2MP，结合勾股定理得到，进而得出，再利用30°直角三角形的性质得出AP的长，由勾股定理计算得出AQ，从而得到答案.
重庆市南岸区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．把多项式a2+2a分解因式得（　　）
A．a（a+2） B．a（a﹣2）
C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
2．（2022·齐齐哈尔）下面四个交通标志中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，下列一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·四川）分式 有意义的条件是（　　）
A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0
5．在中（如图），连接，已知，，则（　　）
A． B． C． D．
6．方程的解是（　　）
A． B． C． D．
7．（2019八下·港南期中）已知一个多边形的内角和等于900 ，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点E．若，，，则的长为（　　）
A． B．6 C． D．7
9．如图，在中，，，点D是边上一点，连接，把绕点D旋转至，连接．若，∠DEB＝90°，则的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
10．关于x的一元一次不等式组的解集是，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．0 B．1 C．5 D．6
二、填空题
11．不等式的解集是　 　．
12．如图，如果只用一种若干个正多边形镶嵌整个平面，如图是由其拼成的无缝隙且不重叠的图形的一部分，这种正多边形的边数是　 　．
13．在中，，，则的度数为　 　．
14．若，则　 　．
15．如图，已知，，当时，x的取值范围为　 　．
16．（2022·北京市）如图，在中，平分若则　 　．
17．如图，，，D为上一点，，，交于点E，点F为直线上一点，则的最小值为　 　．
18．用表示十位数字为m，个位数字为5的两位数，其中，且m是整数，例如，当时，表示的两位数是65
当时，；
当时，；
……
（1）请仿照上面的等式，用含m的式子表示：　 　；
（2）若与的差为6425，则　 　．
三、解答题
19．如图所示，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为，，．
⑴在图中，画出向左平移8个单位得到的；
⑵在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的；
⑶直接写出点，，的坐标．
20．（2017·天门）解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．计算：
（1）；
（2）
22．在学习三角形的过程中，亮亮遇到这样一个问题：如图，在中，，，把分成三个全等三角形，并说明理由．聪明的亮亮经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，得到两条相等线段，从而构造出全等三角形，使问题得到了解决．请根据亮亮的思路完成下面的作图并填空
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，
∴BE= ▲ ，．
在和中，∵，
∴．∴ ▲ ．
∵在中，，，
∴ ▲ °．
∴ ▲ °．
∴．
在和中，∵，
∴．
∴．
23．2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对A款电动汽车和B款燃油车的对比调查发现，A款电动车汽车平均每千米的充电费比B款燃油车平均每千米的加油费少0.6元．
（1）若充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，求A款电动汽车平均每千米的充电费；
（2）A款电动车汽车从甲地出发，计划按照一定的速度匀速行驶150km的路程到达乙地．行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，这样，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的，求原计划的速度．
24．在中，，．D是射线上一点，连接，把绕着点A逆时针旋转，得到．
（1）如图1，当点D在的延长线上时，连接，求证：；
（2）如图2，当点D在边上时，若，过点E作，分别交，，于点F，M，N．求证：．
25．某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元．
（1）求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？
（2）若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
26．已知，是的中线，过点C作．
（1）如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接．
①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2+2a =a（a+2），
故答案为：A.
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A：图形旋转180°后能与原图形重合，故是中心对称图形；
B：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
C：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
D：图形旋转180°后不能与原图形重合，故不是中心对称图形；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴x+1＞y+1，A不成立；
B、∵x＞y，∴2x＞2y，B不成立；
C、∵x＞y，∴x-1＞y-1，C不成立；
D、∵x＞y，∴-x＜-y，D成立.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的基本性质依次判断即可.
4．【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：3+x≠0，
解得 ：x≠－3 .
故答案为：B.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，依此列不等式解答即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BAC=40°，∠ACB=80°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=120°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠B，再利用平行四边形的性质得到∠BCD的度数.
6．【答案】C
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以x（x-1）得，
2x=3（x-1），
2x=3x-3，
x=3，
经检验x=3是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】去分母，解分式方程即可。
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2）可列方程求解。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
根据题意可知，EN垂直平分BC，
∵BE=4，
∴CE=BE=4，
∵∠B=45°，
∴∠ECB=∠B=45°，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEC=90°，
∵AC=5，CE=4，
∴由勾股定理得，=9， ∴AE=3， ∴AB=AE+BE=7,
故答案为：D.
【分析】由垂直平分线的作图方法可知，EN是线段BC的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得出CE=4，再利用CE=BE，∠B=45°，得出∠CEB=90°，进而利用勾股定理得出AE的长，计算得出线段AB长.
9．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：作DF⊥AC，垂足为F，则∠AFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴DF∥BC，
∵∠ABC=30°，
∴∠ADF=∠ABC=30°，
∴AD=2AF，
设AF=a，则AD=2a，
∴在Rt△ADF中，由勾股定理得，DF2=AD2-AF2，
∴DF2=3a2，
∵AC=2，AF=a，
∴CF=2-a，
∴在Rt△CDF中， 由勾股定理得，CD2=DF2+CF2=3a2+（2-a）2，
∵CD绕点D旋转得到DE，
∴DE=CD，
∴DE2=CD2=3a2+（2-a）2，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
∴BD=AB-AD=4-2a，
在Rt△BDE中， 由勾股定理得，BD2=DE2+BE2，
∴（4-2a）2=3a2+（2-a）2+4，
∴a=，
∴，
故答案为：B.
【分析】先作DF⊥AC，利用30°直角三角形的性质，设AF=a，得出AD=2a，在Rt△ADF中， 由勾股定理得，DF2=AD2-AF2=3a2，在Rt△CDF中， 由勾股定理得，CD2=DF2+CF2=3a2+（2-a）2，根据CD=DE，得到DE2，然后再在Rt△BDE中， 由勾股定理得，BD2=DE2+BE2，计算得出a的值，从而得出AD的长.
10．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ,
由①×2得，2x-a+3≤x+3，
解得，x≤a，
由②×2得，3x+1＜2x+6，
解得，x＜5，
∵此不等式组的解集是x≤a，
∴a＜5，
∵，
方程两边同时乘以y-1得，y-a+2y-4=y-1，
解得，
∵有非负整数解，，
∴或或，
解得，a=-3或a=1或a=3，
∴符合条件的所有整数a的和是-3+1+3=1.
故答案为：B.
【分析】先计算不等式组的解集，根据已知解集x≤a判断a的取值范围，再解分式方程求得，根据分式方程有非负整数解，求出整数a的值，再计算符合条件的所有整数a的和.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵3x-12＜0，
∴3x＜12，
∴x＜4.
故答案为：x＜4.
【分析】利用不等式的性质解不等式即可.
12．【答案】6
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵ ∠1+∠2+∠3=360°，∠1=∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=120°，
∴这个正多边形的每个内角都是120°，
设这个正多边形的边数是n，
则，解得n=6，
∴这个正多边形的边数是6.
故答案为：6.
【分析】先计算出∠1=∠2=∠3=120°，再利用正多边形内角和等于（n-2）·180°，以及正多边形的每个内角都相等，计算得到正多边形的边数n.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠B=∠C==40°.
故答案为：40°.
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠B.
14．【答案】6
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵x+y=1，
∴.
故答案为：6.
【分析】先利用平方差公式对x2-y2进行因式分解，再将x+y=1整体代入，进而整理得出答案.
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴ 时，3x-4＞-x+3，
解得，.
故答案为：.
【分析】根据 列出一元一次不等式3x-4＞-x+3，计算求得不等式的解集即可.
16．【答案】1
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作于点F，
∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】先求出，再利用三角形的面积公式求解即可。
17．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，
作点A关于直线DE的对称点A'，连接AA'，A'F，A'B，延长ED交AA'于点H，
由轴对称性质可知，FA'=FA，AH=A'H，∠AHD=90°，
∴FA+FB=FA'+FB≥A'B，
∴FA+FB的最小值，就是线段A'B的长，
∵∠BAC=45°，DE∥AB，
∴∠HDA=∠BAC=45°，
∴∠HAD=∠HDA=45°，
∴HD=HA，
∵AD=2cm，
∴在Rt△HDA中，由勾股定理得，HA2+HD2=AD2，
∴cm，
∴cm，
∵AB=6cm，
∴在Rt△ABA'中，由勾股定理得，AA'2+AB2=A'B2，
∴cm，
即FA+FB的最小值为cm，
故答案为：cm.
【分析】作点关于直线DE的对称点A'，连接AA'，A'F，A'B，延长ED交AA'于点H，根据轴对称性质以及三角形三边关系，得到FA+FB的最小值，就是线段A'B的长，再由∠BAC=45°，得出AH的长，然后得出AA'，根据勾股定理求得A'B的长.
18．【答案】（1）
（2）8
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）∵m=1时，152=100×1×2+25=100×1×（1+1）+25，
m=2时，252=100×2×3+25=100×2×（2+1）+25，
∴，
故答案为：m（m+1）.
（2）∵与100m的差为6425，
∴100×m（m+1）+25-100m=6425，
解得m=8，
故答案为：8.
【分析】（1）通过观察m=1时，152=100×1×2+25=100×1×（1+1）+25，
m=2时，252=100×2×3+25=100×2×（2+1）+25，得出规律；
（2）根据与100m的差为6425，列出算式，解得m的值即可.
19．【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶由图可知，，，．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】(1)利用平移知识画图即可；
（2）利用中心对称的性质画图即可；
（3）根据坐标系写出点的坐标即可.
20．【答案】解：解不等式5x+1＞3（x﹣1），得：x＞﹣2，
解不等式 x﹣1≤7﹣ x，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将解集表示在数轴上如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
21．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用分式的除法法则，将除法变成乘法，再对a3-ab2和a2-ab进行因式分解，然后约分完成化简；
（2）先对 进行通分，再对x2-3x和x2+6x+9进行因式分解，然后约分完成化简.
22．【答案】解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接．
∵垂直平分线段，
∴，．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∵在中，，，
∴．
∴．
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】先作图，根据垂直平分线的性质得到BE=CE，利用三角形全等的判定定理SAS以及全等三角形的性质得到∠DBE=∠C=30°，计算得出∠ABD=30°，再利用三角形全等的判定定理AAS，证明出△DBA≌△DBE，进而得出 ．
23．【答案】（1）解：设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为元，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：A款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元；
（2）解：设原计划的速度为，
依题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）设A款电动汽车平均每千米的充电费为元，则B款燃油车平均每千米的加油费为（x+0.6）元，根据充电费和加油费均为200元时，A款电动汽车可行驶的总路程是B款燃油车的4倍，列出分式方程，解得 x=0.2，注意检验即可；
（2） 设原计划的速度为ykm/h， 根据行驶了后，到了一段平坦且车少的路段，决定在原来速度的基础上每小时增加15km，到达乙地所用的总的时间是原计划时间的 ，列出分式方程 ，解得y=75，注意检验即可.
24．【答案】（1）证明：∵，D是射线上一点，连接，把绕着点A逆时针旋转，得到，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
（2）证明：过点E作，分别交，，于点F，M，N，如下图：
∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵把绕着点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∵，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到∠BAC=∠DAE，AD=AE，再利用三角形全等的判定定理SAS，证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到BD=CE；
（2）先根据 ，， 证明△ABC是等边三角形，得出∠B=∠ACB=60°，再由EF∥CB得出∠AFE=60°，进而得出∠AFE=∠ACB，再结合旋转的性质得出∠DAC=∠AEF，利用三角形全等的判定定理AAS证明出△CAD≌△FEA，进而得出AF=CD，再由等边三角形ABC中AB=BC，得到BD=BF.
25．【答案】（1）解：设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元，
依题意可得：，解得：，
答：购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元；
（2）解：设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套，
依题意可得：，解得，
∵为整数，
∴的值为20，21，22，
则有以下三种购买方案，
方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套，
方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套，
方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套；
（3）解：由（2）可知：
方案一所需费用：元，
方案二所需费用：元，
方案三所需费用：元，
即：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 （1）设购进一套A种实验器材需要x元，一套B种实验器材需要y元，根据购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元，购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元，列出二元一次方程组，解得；
（2） 设购买A种实验器材a套，则购买B种实验器材（45-a）套 ，根据 学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，列出不等式组，计算得出， 根据a为整数，确定出方案；
（3）利用（1）的计算结果，分别计算出三种方案的费用，比较三种方案，得出费用最少的方案即可.
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②取中点，连接，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，则
∴，则，
设，由勾股定理可得：，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
∴．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，再根据中线的定义得到BD=DC，利用三角形全等的判定定理ASA证明出△ABD≌△EDC，进而根据平行四边形的判定定理完成证明；
（2） ①延长，交于，取中点，连接，利用平行线的性质得出∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，然后根据AD是中线以及H是CG中点，得出DH是△BCG的中位线，由中位线性质得出BG=2DH，再证明四边形PDHG是平行四边形，得到DH=PG，进而得出BP=PG，证明出△ABP≌△EPG，然后由全等三角形的性质得出AB=EP，根据平行四边形判定定理得出四边形ABPE是平行四边形；
② 取BQ中点M，连接DM，利用中位线性质得出MD=，设BC=a，再由勾股定理得出，利用平行线的性质以及30°直角三角形的性质得出PD=2MP，结合勾股定理得到，进而得出，再利用30°直角三角形的性质得出AP的长，由勾股定理计算得出AQ，从而得到答案.