第13章：轴对称（填空题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、填空题
1．在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ．
2．如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）

3．如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点，分别在边，上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 ．

4．已知点与点关于轴对称，则 ．
5．如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．

6．如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等 ．

7．若，关于y轴对称，则 ．
8．如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小是 ．

9．已知a、b为整数，，则关于y轴对称点的坐标为 ．
10．如图，在中，．以为一边在的右侧作等边，连接，则的度数为 ．

11．如图，将沿折叠使得恰好落在边上的点处，在上，点在线段上运动，若，，，则的周长的最小值为 ．

12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为 ．

13．如图，将一块三角形木板过边的中点锯成一个直角三角形和一个四边形，若，则四边形中最大内角的度数为 ．

14．如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为 ．

15．在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为 ．

16．如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为 ．

17．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．
18．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
19．如图，在中，，作边的垂直平分线，与、分别相交于点D、E，连接，若，则的度数为 ．

20．如图，现有一张长方形纸片，点E，F在上，点G，H在上，分别沿折叠，使点D和点A都落在点M处，点c的对应点为点．点B对应点为点．若，则的度数为

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第13章：轴对称（填空题）-2023-2024学年初中数学单元培优提升题型练习（人教版）
一、填空题
1．在锐角中，，将沿翻折得到，直线与直线相交于点E，若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分三种情形：当，点E在和的延长线上，当，点E在和的延长线上，分别画出图形，分别求解即可．
【详解】解：①如图，当，点E在和的延长线上，

∵，
∴，
由折叠得：，，
设，则，，，
在中，由三角形内角和定理得：，
∴，
即，
∴，
∵，
∴此时为锐角三角形，符合题意；
②如图，当，点E在和的延长线上，

∵，
∴，
由折叠得：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时为锐角三角形，符合题意；
综上所述，满足条件的的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
2．如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）

【答案】
【分析】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可．
【详解】解：，
，
，
，
，
由折叠性质得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题．
3．如图，在中，，两锐角的角平分线交于点，点，分别在边，上，且都不与点重合，若，连接，当，，时，则的周长为 ．

【答案】4
【分析】根据题意过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接，，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，在上取一点，使得，连接，．

平分，平分，，，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的周长，
，
，
的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．
4．已知点与点关于轴对称，则 ．
【答案】
【分析】根据关于轴对称的点坐标变化规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出，的值，再代入所求式子计算即可．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律，代数式求值，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．

【答案】2
【分析】作于点G，根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点G，

∵点E在的平分线上，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等；含角的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
6．如图所示的人字梯撑开后侧面是一个等腰三角形，若梯子长等于，梯子完全撑开后顶端离地面的高度等于，则此时梯子侧面宽度等 ．

【答案】
【分析】根据勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一得出，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线重合．
7．若，关于y轴对称，则 ．
【答案】
【分析】根据关于坐标轴对称点的坐标特征，求出a和b的值，再将a和b的值代入，即可解答．
【详解】解：∵，关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．
8．如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小是 ．

【答案】
【分析】在的下方作等边，证明，推出，从而算出，发现点在射线上运动，当时，的值最小．
【详解】如图，在的下方作等边，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是定点，是定值，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
最小值，
故答案为．

【点睛】本题考查了垂线段最短，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加正确的辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．已知a、b为整数，，则关于y轴对称点的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据无理数的估算求出的值，再根据关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】解：∵，
即：，
∴，
∴关于y轴对称点的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查无理数的估算，坐标与轴对称．解题的关键是掌握夹逼法估算无理数，以及关于轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同．
10．如图，在中，．以为一边在的右侧作等边，连接，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】根据等边三角形的性质得出，得到，进一步求出结果．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，运用好等边对等角是解题关键．
11．如图，将沿折叠使得恰好落在边上的点处，在上，点在线段上运动，若，，，则的周长的最小值为 ．

【答案】
【分析】作于，于，于，根据同一三角形的面积相等求出，在根据翻折变换，把周长的最小值，转化为求 的最小值即可．
【详解】如图，作⊥于，于，于，

由折叠的性质可知：，，，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
要求周长的最小值，就转化为求的最小值，
∵，
∴当与重合时，取最小值，即，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了翻折变换，轴对称以及三角形三边之间的关系，关键是把求周长的最小值转化为的最小值，即取最小值．
12．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为 ．

【答案】
【分析】连接，根据三角形内角和定理和等边对等角求得，根据垂直平分线的性质可得，再利用含的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：连接，如图：

∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形与含的直角三角形的性质是解本题的关键．
13．如图，将一块三角形木板过边的中点锯成一个直角三角形和一个四边形，若，则四边形中最大内角的度数为 ．

【答案】122
【分析】求出的度数，再找出四边形中最大的角即可求解．
【详解】如图，连接，

，E为的中点，
，，
，
，
．
中，，
，
，
，
∴四边形中最大内角的度数为．
故答案为：122．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为 ．

【答案】4
【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，则，，最后根据含角直角三角形的特征，即可求解．
【详解】解：过点E作于点F，
∵平分，，，，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，等角对等边，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半．
15．在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为 ．

【答案】/70度
【分析】由折叠的性质可知，，再利用平行线的性质，得出，然后根据三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
16．如图，在中，平分，于点，连接，若的面积为，的面积为，则的面积为 ．

【答案】
【分析】延长交于，由垂直的定义得到，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理得到，推出，由等腰三角形的性质推出，于是得到，，即可得到的面积．
【详解】解：如图，延长交于，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线定义，关键是由等腰三角形的性质推出．
17．如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为 ．
【答案】10
【分析】根据轴对称的性质可得，，进而得出，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵点A与点E关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴的周长．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称的图象对应边相等，对应角相等．
18．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】15
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论底边长和腰长分别是多少，再求出周长．
【详解】解：若3是底边长，6是腰长，三边长为3，6，6，构成等腰三角形，
则等腰三角形的周长为；
若6是底边长，3是腰长，则等腰三角形三边长为3，3，6，
∵不能构成等腰三角形，
∴此种情况不存在，
∴等腰三角形的周长为15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义，在讨论底边长和腰长时需要注意三边长要满足构成三角形的条件．
19．如图，在中，，作边的垂直平分线，与、分别相交于点D、E，连接，若，则的度数为 ．

【答案】/96度
【分析】先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
20．如图，现有一张长方形纸片，点E，F在上，点G，H在上，分别沿折叠，使点D和点A都落在点M处，点c的对应点为点．点B对应点为点．若，则的度数为

【答案】/度
【分析】由平行线的性质得到，．根据得到，由折叠得到，．即可由得到答案．
【详解】解：由题意得．
∴，．
∴，
由折叠得，．
∴
．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行线的性质、折叠的性质、邻补角等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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