广东省湛江市2022-2023学年八年级下册数学期末试卷
一、单选题
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≤﹣2 D．x≤2
2．已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．2 C．8 D．7
3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
4．（2022八下·高平期末）已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022八上·莲都期末）若一次函数y=(m-1)x＋m－2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤2
8．（2023八下·宜春期中）如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023八下·兴宁期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）
A．m B．m C．6m D．m
二、填空题
11．（2023八下·大同期中）计算的结果是　 　．
12．如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为　 　．
13．如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为　 　米．
14．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是　 　．
三、解答题
15．计算．
16．某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校（1）班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．
跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6
人数 6 12 2 7 10 5
求八（1）班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？
17．如图，在中，线段分别交、、于点E、O、F，．求证：．
18．设一次函数（k，b为常数，且），图象过，．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求直线与x轴的交点坐标C．
19．（2023八下·南宁期中）如图，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，，，．
（1）连接，求两个送奶站之间的距离．
（2）有一人从点C处出发，沿永定路路边向右行走，速度为，多长时间后这个人距B送奶站最近？
20．如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，，分别过点、作，，连接OE．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）设AC＝12，BD＝16，求的长．
21．如图所示，中，点O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
（1）求证：．
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
（3）若要使四边形是正方形，应该满足什么条件？（直接写出具体条件，不需要证明）
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，平分．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴2-x≥0，
∴x≤2.
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则2-x≥0，求解即可.
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵平均数为6，
∴=6，
∴x=6，
∴该组数据为3、6、6、7、8，
∴中位数为6.
故答案为：A.
【分析】根据平均数的计算方法可得x的值，然后将该组数据按照由小到大进行排列，找出最中间的数据即为中位数.
3．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、32+42=52，属于勾股数，故不符合题意；
B、52+122=132，属于勾股数，故不符合题意；
C、72+252=674，262=676，674≠676，不属于勾股数，符合题意；
D、62+82=102，属于勾股数，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：
随着x的增大而增大
点A和点在一次函数的图象上，
故答案为：C.
【分析】由知，可得y随着x的增大而增大，据此解答即可.
5．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得b<0|a|，
∴b-a<0，
∴=|b-a|=a-b.
故答案为：D.
【分析】由数轴可得b<0|a|，则b-a<0，然后根据二次根式的性质进行化简.
6．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得Q=40-0.2t.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：t分钟流出的油量为0.2t，利用原有的量减去流出的量=剩余油量就可得到对应的关系式.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y＝（m 1）x＋m 2的图象不经过第二象限，
∴ ，
解得：1＜m≤2，
故答案为：D.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＞0，b=0，图象经过一、三象限，当a＜0，b=0，图象经过二、四象限，据此列出不等式组，求解即可.
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB，
∵平分，平分，
∴∠ABF=∠CBF，∠BCE=∠DCE，
∴∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
∴AB=AF=6，CD=DE=6，
∴BC=AD=6+6-2=10，
故答案为：D
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD=6，AD∥BC，AD=BC，进而得到∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB，再根据角平分线的性质得到∠ABF=∠CBF，∠BCE=∠DCE，再结合题意进行边角转化即可求解。
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC.
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=9cm，
∴图2中的对角线AC==cm.
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，结合∠B=60°可得△ABC为等边三角形，则AB=BC=AC=9cm，然后利用勾股定理求解即可.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知∠ADC=90°，DE=CF=4cm，
∵BE=1cm，
∴DB=DE-BE=4-1=3cm，
设AC=x，则AD=AB=x-3，
∴（x-3）2+62=x2，
解得：x= m ，
即AC= m ；
故答案为：A.
【分析】由题意知∠ADC=90°，DE=CF=4cm，DB=DE-BE=3cm，设AC=x，则AD=AB=x-3，在Rt△ADC中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
11．【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】原式=
=
=8+4
【分析】括号前的数要在打开括号后给括号里的每一项都乘上
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得：不等式2x≤kx+b的解集为x≤-1.
故答案为：x≤-1.
【分析】根据图象，找出y=2x在y=kx+b的图象下方部分以及重叠部分所对应的x的范围即可.
13．【答案】0.8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠O=90°，
∴△AOB、△COD均为直角三角形.
∵AB=CD=2.5米，BO=0.7米，
∴AO==2.4米.
∵AC=0.4米，
∴OC=AO-AC=2米，
∴OD==1.5米，
∴梯子的底部向外滑出的距离为1.5-0.7=0.8米.
故答案为：0.8.
【分析】由题意可得：AB=CD=2.5米，BO=0.7米，利用勾股定理可得AO的值，然后求出OC，再利用勾股定理可得OD，据此求解.
14．【答案】①③④
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD.
∵AE=AP，∠EAB=∠PAD，AB=AD，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB.
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°.
∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°.
∵PE==，
∴BE==，
∴BF=EF=，故②错误；
④∵BF=EF=，AE=1，
∴AB2=(AE+EF)2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】由同角的余角相等可得∠EAB=∠PAD，由已知条件可知AE=AP，根据正方形的性质可得AB=AD，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得∠APD=∠AEB，根据外角的性质可得∠APD=∠AEP+∠PAE，由角的和差关系可得∠AEB=∠AEP+∠BEP，则∠BEP=∠PAE=90°，据此判断③；过B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，则∠AEP=∠APE=45°，∠FEB=∠FBE=45°，由勾股定理可得PE、BE，进而可判断②；根据AB2=(AE+EF)2+BF2可得AB2，结合正方形的面积公式可判断④.
15．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式、负整数指数幂的运算性质可得原式=5++4-(-2)-，然后根据有理数的加减法法则以及二次根式的减法法则进行计算.
16．【答案】解：由题意得：（个），
答：八（1）班42人一分钟内平均每人跳绳102个．
【知识点】正数和负数的认识及应用；运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【分析】利用跳绳个数与标准数量的差值×对应的人数，然后除以总人数，接下来加上每人每分钟的标准个数即可.
17．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，利用AAS证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，然后根据线段的和差关系进行证明.
18．【答案】（1）解：把，分别代入，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：将代入，得：
解得：，
∴直线与x轴的交点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将A（2，7）、B（0，3）代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得一次函数的解析式；
（2）将y=0代入求出x的值，据此可得直线AB与x轴的交点C的坐标.
19．【答案】（1）解： ∵AC=8km，BC=15km，AC⊥BC，
∴AB==17km，
∴ 两个送奶站之间的距离为17km.
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，
如图，过点B作公路的垂线交公路于点D，
，
，
在中，，
，
，
∴3h后这人距离B送奶站最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）知∠ACB=90°，过点B作BD⊥CD， 由平角的定义求出∠BCD=60°，利用三角形内角和求出∠CBD=30°，根据直角三角形的性质可得CD=BC=7.5km，根据时间=路程÷速度即得结论.
20．【答案】（1）解：∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
在中，，
由（1）知四边形为矩形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题意可得平行四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得OC=AC=6，OD=BD=8，由勾股定理可得CD的值，根据矩形的性质可得OE=CD，据此解答.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴；
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（3）解：要使四边形是正方形，应该满足是的直角三角形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的定义；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠3=∠2，根据角平分线的概念可得∠1=∠2，则∠1=∠3，推出FO=CO，同理可得EO=CO，据此证明；
（2）当点O运动到AC的中点时，有AO=CO，推出四边形AECF是平行四边形，由（1）可知FO=CO，则AO=CO=EO=FO，结合线段的和差关系可得AC=EF，然后根据矩形的判定定理进行解答；
（3）由（2）知：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，有平行线的性质可得∠AOE=∠ACB=90°，则AC⊥EF，然后根据正方形的判定定理进行解答.
22．【答案】（1）解：令，则，解得；
令，则；
∴点A的坐标为、B的坐标为；
（2）解：过点C作于点E，
∵点A的坐标为、B的坐标为，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，即，
解得，
∴；
（3）解：如图，作轴于点F，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
同理，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；
∴点D的坐标为或或或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B的坐标；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，根据点A、B的坐标可得OA、OB、AB的值，有角平分线的性质可得OC=CE，利用HL证明△AOC≌△AEC，得到AE=OA=3，设OC=CE=x，则BE=2，BC=4-x，接下来利用勾股定理计算即可；
（3）作DF⊥y轴于点F，由题意可得AB=BD，∠ABD=90°，根据同角的余角相等可得∠ABO=∠BDF，利用AAS证明△ABO≌△BDF，得到DF=OB=4，BF=OA=3，据此可得点D的坐标，同理可得点D1、D2、D3的坐标.
广东省湛江市2022-2023学年八年级下册数学期末试卷
一、单选题
1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≤﹣2 D．x≤2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴2-x≥0，
∴x≤2.
故答案为：D.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则2-x≥0，求解即可.
2．已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．2 C．8 D．7
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：∵平均数为6，
∴=6，
∴x=6，
∴该组数据为3、6、6、7、8，
∴中位数为6.
故答案为：A.
【分析】根据平均数的计算方法可得x的值，然后将该组数据按照由小到大进行排列，找出最中间的数据即为中位数.
3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、32+42=52，属于勾股数，故不符合题意；
B、52+122=132，属于勾股数，故不符合题意；
C、72+252=674，262=676，674≠676，不属于勾股数，符合题意；
D、62+82=102，属于勾股数，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.
4．（2022八下·高平期末）已知点，在一次函数的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：
随着x的增大而增大
点A和点在一次函数的图象上，
故答案为：C.
【分析】由知，可得y随着x的增大而增大，据此解答即可.
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得b<0|a|，
∴b-a<0，
∴=|b-a|=a-b.
故答案为：D.
【分析】由数轴可得b<0|a|，则b-a<0，然后根据二次根式的性质进行化简.
6．油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得Q=40-0.2t.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：t分钟流出的油量为0.2t，利用原有的量减去流出的量=剩余油量就可得到对应的关系式.
7．（2022八上·莲都期末）若一次函数y=(m-1)x＋m－2的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）
A．m＞1 B．m＜2 C．1＜m＜2 D．1＜m≤2
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵y＝（m 1）x＋m 2的图象不经过第二象限，
∴ ，
解得：1＜m≤2，
故答案为：D.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＞0，b=0，图象经过一、三象限，当a＜0，b=0，图象经过二、四象限，据此列出不等式组，求解即可.
8．（2023八下·宜春期中）如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB，
∵平分，平分，
∴∠ABF=∠CBF，∠BCE=∠DCE，
∴∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
∴AB=AF=6，CD=DE=6，
∴BC=AD=6+6-2=10，
故答案为：D
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=CD=6，AD∥BC，AD=BC，进而得到∠AFB=∠FBC，∠DEC=∠ECB，再根据角平分线的性质得到∠ABF=∠CBF，∠BCE=∠DCE，再结合题意进行边角转化即可求解。
9．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC.
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=9cm，
∴图2中的对角线AC==cm.
故答案为：B.
【分析】由菱形的性质可得AB=BC，结合∠B=60°可得△ABC为等边三角形，则AB=BC=AC=9cm，然后利用勾股定理求解即可.
10．（2023八下·兴宁期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时（即水平距离m），踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）
A．m B．m C．6m D．m
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知∠ADC=90°，DE=CF=4cm，
∵BE=1cm，
∴DB=DE-BE=4-1=3cm，
设AC=x，则AD=AB=x-3，
∴（x-3）2+62=x2，
解得：x= m ，
即AC= m ；
故答案为：A.
【分析】由题意知∠ADC=90°，DE=CF=4cm，DB=DE-BE=3cm，设AC=x，则AD=AB=x-3，在Rt△ADC中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
二、填空题
11．（2023八下·大同期中）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】原式=
=
=8+4
【分析】括号前的数要在打开括号后给括号里的每一项都乘上
12．如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点A，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可得：不等式2x≤kx+b的解集为x≤-1.
故答案为：x≤-1.
【分析】根据图象，找出y=2x在y=kx+b的图象下方部分以及重叠部分所对应的x的范围即可.
13．如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为　 　米．
【答案】0.8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵∠O=90°，
∴△AOB、△COD均为直角三角形.
∵AB=CD=2.5米，BO=0.7米，
∴AO==2.4米.
∵AC=0.4米，
∴OC=AO-AC=2米，
∴OD==1.5米，
∴梯子的底部向外滑出的距离为1.5-0.7=0.8米.
故答案为：0.8.
【分析】由题意可得：AB=CD=2.5米，BO=0.7米，利用勾股定理可得AO的值，然后求出OC，再利用勾股定理可得OD，据此求解.
14．如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形的外角性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD.
∵AE=AP，∠EAB=∠PAD，AB=AD，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB.
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°.
∵EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°.
∵PE==，
∴BE==，
∴BF=EF=，故②错误；
④∵BF=EF=，AE=1，
∴AB2=(AE+EF)2+BF2=4+，
∴S正方形ABCD=AB2=4+，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】由同角的余角相等可得∠EAB=∠PAD，由已知条件可知AE=AP，根据正方形的性质可得AB=AD，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得∠APD=∠AEB，根据外角的性质可得∠APD=∠AEP+∠PAE，由角的和差关系可得∠AEB=∠AEP+∠BEP，则∠BEP=∠PAE=90°，据此判断③；过B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，则∠AEP=∠APE=45°，∠FEB=∠FBE=45°，由勾股定理可得PE、BE，进而可判断②；根据AB2=(AE+EF)2+BF2可得AB2，结合正方形的面积公式可判断④.
三、解答题
15．计算．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式、负整数指数幂的运算性质可得原式=5++4-(-2)-，然后根据有理数的加减法法则以及二次根式的减法法则进行计算.
16．某中学积极倡导阳光体育运动，提高中学生身体素质，开展跳绳比赛，下表为该校（1）班42人参加跳绳比赛的情况，若标准数量为每人每分钟100个．
跳绳个数与标准数量的差值 0 4 5 6
人数 6 12 2 7 10 5
求八（1）班42人一分钟内平均每人跳绳多少个？
【答案】解：由题意得：（个），
答：八（1）班42人一分钟内平均每人跳绳102个．
【知识点】正数和负数的认识及应用；运用有理数的运算解决简单问题
【解析】【分析】利用跳绳个数与标准数量的差值×对应的人数，然后除以总人数，接下来加上每人每分钟的标准个数即可.
17．如图，在中，线段分别交、、于点E、O、F，．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，利用AAS证明△AOE≌△COF，得到AE=CF，然后根据线段的和差关系进行证明.
18．设一次函数（k，b为常数，且），图象过，．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求直线与x轴的交点坐标C．
【答案】（1）解：把，分别代入，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）解：将代入，得：
解得：，
∴直线与x轴的交点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）将A（2，7）、B（0，3）代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得一次函数的解析式；
（2）将y=0代入求出x的值，据此可得直线AB与x轴的交点C的坐标.
19．（2023八下·南宁期中）如图，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，，，．
（1）连接，求两个送奶站之间的距离．
（2）有一人从点C处出发，沿永定路路边向右行走，速度为，多长时间后这个人距B送奶站最近？
【答案】（1）解： ∵AC=8km，BC=15km，AC⊥BC，
∴AB==17km，
∴ 两个送奶站之间的距离为17km.
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，
如图，过点B作公路的垂线交公路于点D，
，
，
在中，，
，
，
∴3h后这人距离B送奶站最近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）知∠ACB=90°，过点B作BD⊥CD， 由平角的定义求出∠BCD=60°，利用三角形内角和求出∠CBD=30°，根据直角三角形的性质可得CD=BC=7.5km，根据时间=路程÷速度即得结论.
20．如图，点O是平行四边形ABCD对角线的交点，，分别过点、作，，连接OE．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）设AC＝12，BD＝16，求的长．
【答案】（1）解：∵四边形为平行四边形，，
∴平行四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
在中，，
由（1）知四边形为矩形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题意可得平行四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得OC=AC=6，OD=BD=8，由勾股定理可得CD的值，根据矩形的性质可得OE=CD，据此解答.
21．如图所示，中，点O是边上一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．
（1）求证：．
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
（3）若要使四边形是正方形，应该满足什么条件？（直接写出具体条件，不需要证明）
【答案】（1）解：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴；
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（3）解：要使四边形是正方形，应该满足是的直角三角形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；矩形的判定；正方形的判定；角平分线的定义；四边形的综合
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠3=∠2，根据角平分线的概念可得∠1=∠2，则∠1=∠3，推出FO=CO，同理可得EO=CO，据此证明；
（2）当点O运动到AC的中点时，有AO=CO，推出四边形AECF是平行四边形，由（1）可知FO=CO，则AO=CO=EO=FO，结合线段的和差关系可得AC=EF，然后根据矩形的判定定理进行解答；
（3）由（2）知：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，有平行线的性质可得∠AOE=∠ACB=90°，则AC⊥EF，然后根据正方形的判定定理进行解答.
22．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，平分．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段的长；
（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令，则，解得；
令，则；
∴点A的坐标为、B的坐标为；
（2）解：过点C作于点E，
∵点A的坐标为、B的坐标为，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，即，
解得，
∴；
（3）解：如图，作轴于点F，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
同理，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；
∴点D的坐标为或或或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此可得点A、B的坐标；
（2）过点C作CE⊥AB于点E，根据点A、B的坐标可得OA、OB、AB的值，有角平分线的性质可得OC=CE，利用HL证明△AOC≌△AEC，得到AE=OA=3，设OC=CE=x，则BE=2，BC=4-x，接下来利用勾股定理计算即可；
（3）作DF⊥y轴于点F，由题意可得AB=BD，∠ABD=90°，根据同角的余角相等可得∠ABO=∠BDF，利用AAS证明△ABO≌△BDF，得到DF=OB=4，BF=OA=3，据此可得点D的坐标，同理可得点D1、D2、D3的坐标.