2022-2023学年湖南省湘西州花垣县华鑫教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数范围内有意义，则的取值范围( )
A. B. C. D.
2. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3. 计算：( )
A. B. C. D.
4. 下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5. 已知，等边的边长，则的面积为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，在中，，，，那么边上的高为( )
A. B. C. D.
7. 如图所示，在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
8. 下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线垂直的四边形是菱形
C. 对角线垂直相等的四边形是正方形
D. 若四边形的对角线，那么这个四边形的面积
9. 顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形
10. 如图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 化简： ______ ．
12. 计算： ______ ．
13. 若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______．
14. 命题“对顶角相等”的逆命题是：如果______ ，那么______ ．
15. 在 中，，那么 ______ ．
16. 如图，矩形的对角线、相交于点，是等边三角形，且，矩形的面积为______ ．
17. 如图所示，正方形在正方形的外部绕着点可以转动，且，连，，当的面积为时，的面积是______ ．
18. 如图所示，中，，，，，斜边上的高，以，，的长为三角形的三边构造一个新，若按角分类，是______ 三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
如图，中，，，．
求：，的长．
21. 本小题分
已知：，分别是的整数部分和小数部分．
求：，的值；
比较与的大小．
22. 本小题分
如图，在中，，于，设，，，．
求证：．
23. 本小题分
平行四边形中，对角线与相交于，、是上的两点，并且求证：四边形是平行四边形．
24. 本小题分
如图所示四边形，已知，，，，，求该四边形的面积．
25. 本小题分
如图，在菱形中，，点是上的动点，点是上的动点．
若，求证：；
若，猜想形状不写证明过程．
26. 本小题分
如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，设运动时间为秒．
为何值时，四边形为矩形．
为何值时，．
在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形是菱形？若存在，请你求出的值；若不存在，请你改变点的运动速度，使四边形在某一时刻为菱形？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，，
解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的性质结合最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
利用完全平方公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，
设为边上的高，则为中点，
，
，
则的面积．
故选：．
根据等边三角形的边长可以计算等边三角形的高，根据等边三角形的边长和高即可求的面积，即可解题．
本题考查了三角形面积的计算，等边三角形三线合一的性质，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
解得，
故选：．
根据勾股定理可以求得的长，再根据等积法，即可求得的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出的长．
7.【答案】
【解析】解：、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故选项A不符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由，，能判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由，，能判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的判定逐个进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线垂直相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、若四边形的对角线，那么这个四边形的面积，正确，是真命题，符合题意．
故选：．
利用矩形、菱形、正方形的判定方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9.【答案】
【解析】解：连接，
已知任意四边形，、、、分别是各边中点．
在中，、分别是、中点，
所以，．
在中，、分别是、中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形．
故选：．
根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状．
本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半以及平行四边形的判定．
10.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，连接，，过点作于点，交于点，如图：
由对称性可得，
，
当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小．
，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
作点关于的对称点，连接，，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再运用锐角三角函数即可解答．
本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，解题的关键在于作出适当的辅助线．
11.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
首先判断，再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．
此题考查了二次根式的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
12.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据平方差公式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】解：当是直角边时，第三边长，
当是斜边时，第三边长，
故答案为：或．
分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
14.【答案】两个角相等 这两个角是对顶角
【解析】解：命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
故答案为：两个角相等，这两个角是对顶角．
将题设与结论对调即可．
本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．掌握命题的概念是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由在 中，，根据平行四边形对角相等，易求得的度数，又由平行线的性质，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与平行线的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形对角相等，邻角互补的知识的应用是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
矩形的面积．
故答案为：．
由等边三角形的性质得，，则，，由含角的直角三角形的性质得，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：过作交延长线于，过作交延长线于，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，，
≌，
，
的面积，的面积，
的面积的面积．
故答案为：．
过作交延长线于，过作交延长线于，得到，由正方形的性质得到，，，由余角的性质得到，又，，即可证明≌，推出，即可得到的面积的面积．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
18.【答案】直角
【解析】解：在中，，，，，
；
又是斜边上的高，，
，即，
，即，
以，，的长为边的三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
根据勾股定理、三角形面积公式求得、，可得，然后根据勾股定理的逆定理推得该三角形是直角三角形．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】根据乘法分配律计算，然后化简即可；
根据二次根式的乘法将题目中的式子展开，再合并同类二次根式和同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：在中，，，，
，
．
【解析】根据直角三角形的边角关系和勾股定理，解答出即可；
本题主要考查了含度角的直角三角形的性质和勾股定理，知道度角所对的直角边等于斜边的一半．
21.【答案】解：，
，
，
的整数部分，小数部分，
答：，；
；，
，
．
．
【解析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可得出、的值；
倒数法比较即可．
本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些．
22.【答案】证明：在直角中，，，则∽∽，
，即，
，
．
【解析】要证明，只需证明即可，在直角中根据求证．
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解本题的关键是求证，即，使得．
23.【答案】证明：如图所示：
的对角线、相交于点，、是上的两点，
，，
，
，则，
四边形是平行四边形．
【解析】根据题意画出图形，再利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出，，即可证明四边形是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定方法有五种，具体选择哪一种方法解答应先分析题目中的已知条件，并仔细体会它们之间的联系与区别，才能合理、灵活地选择方法．
24.【答案】解：，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积
，
四边形的面积为．
【解析】先在中，根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后再根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
25.【答案】证明：连接，
四边形是菱形，，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：是等边三角形，
证明：作交于点，则，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形．
【解析】连接，由菱形的性质得，，则和都是等边三角形，所以，，因为，所以，即可证明≌，得；
作交于点，可证明是等边三角形，则，因为，所以，而，即可证明≌，得，则是等边三角形．
此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：在四边形中，，，
，
当时，四边形是矩形，
即，
解得：，
当时，四边形是矩形；
过点作于，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
根据勾股定理得，，
过点作于，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
根据勾股定理得，，
或，
故答案为：或；
不存在，
理由：
四边形是菱形，
，
，
，
此时，，
而，
四边形不可能是菱形．
若四边形为菱形，
，
，
，
设点的运动速度为，
，
．
即点的运动速度为，使四边形为菱形．
【解析】当时，四边形是矩形，可得，即可求解；
构造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；
先利用求出时间，再求出，进而得出，由菱形的判定可判断结论，由菱形的性质即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，勾股定理，构造出直角三角形是解本题的关键．
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