2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，点，，均在上，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
2. 如图，已知，分别是，上的点，且，，，，那么等于( )
A. B. C. D.
3. 二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
4. 如图，正六边形内接于，的半径为，则边心距的长为( )
A.
B.
C.
D.
5. 将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，则点的对应点的坐标是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7. 在同一平面内，已知的半径为，，则点与的位置关系是( )
A. 点在圆外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法确定
8. 若某人沿倾斜角为的斜坡前进，则他上升的最大高度是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知一个扇形的半径为，圆心角为，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是，影长是，旗杆的影长是，则旗杆的高度是______ ．
12. 如图是水平放置的水管截面示意图，已知水管的半径为，水面宽，则水深约为______．
13. 已知函数图象上两点，，则与的大小关系是 ______ 填“”、“”或“”
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为：，点、在第一象限，若点的坐标为，则点的坐标是______．
15. 如图，在中，弦，点是圆上一点，且，则的半径是______ ．
16. 如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为
三、解答题（本大题共9小题，共92.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程：；
计算：．
18. 本小题分
如图，，，，，求的长．
19. 本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
将绕原点顺时针方向旋转得到的，写出，，的坐标；
求中线段扫过的图形面积．
20. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
求与的值；
求函数的最大值；
是抛物线上的任意一点，当时，利用函数图象写出的取值范围．
21. 本小题分
如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度结果保留小数点后一位参考数据：，，，．
22. 本小题分
如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米，苗圃园的面积为平方米．
求关于的函数表达式．
当为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
23. 本小题分
如图，是的直径，与交于点，点是半径上一点点不与点，重合连接交于点，连接，若，．
求证：是的切线；
若，，则的长是______．
24. 本小题分
如图，中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点运动，过点作交的直角边于点，以为边向右侧作正方形设点的运动时间为秒，正方形与的重叠部分的面积为．
用含的代数式表示线段的长；
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
25. 本小题分
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图，在中，，，点在上，点在上，，点在延长线上，连接、，，探究线段与的数量关系并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等”
小亮：“通过观察和度量，发现与也相等”
小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段与的数量关系”
求证：；
求的值用含有的式子表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
利用圆周角定理，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：
∽
：：
设
，，，
：：，
解得．
故选：．
根据已知可证∽，可得：：，即可求的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．
3.【答案】
【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：连接，
六边形是内接正六边形，
，
；
故选：．
根据正六边形的性质求出，利用余弦的定义计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是：，即，
故选：．
根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：原点为位似中心，将放大为原来的倍，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
7.【答案】
【解析】解：的半径为，，
点到圆心的距离大于圆的半径，
点在外．
故选：．
根据点与圆的位置关系的判定方法对点与的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
，
，
故选：．
根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记正弦的定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过作轴于，如图，
点的坐标为，
，，
，
在中，．
故选：．
过作轴于，如图，先利用勾股定理计算出，然后在中利用正弦的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的定义，充分利用勾股定理和解直角三角形计算三角形的边或角．也考查了坐标与图形性质．
10.【答案】
【解析】解：设这个圆锥的底面半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面半径为．
故选：．
设这个圆锥的底面半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11.【答案】
【解析】解：设旗杆的高度为，
根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：，
，
旗杆的高度是．
故答案为：．
因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的比值等于旗杆的高与其影子长的比值．
本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．
12.【答案】
【解析】解：连接、如图，设的半径为，
为水深，即点为弧的中点，，
必过圆心，即点、、共线，，
在中，，，，
，
，解得，
即水深约为为．
故答案为；
连接，设为，由于点为弧的中点，，根据垂径定理的推理和垂径定理得到必过圆心，即点、、共线，，在中，利用勾股定理得，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
13.【答案】
【解析】解：，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
，
．
故答案为：．
先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数的增减性，时，随的增大而减小解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为：，
，，即，，
解得，，，
则点的坐标为，
故答案为：．
根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
，
而，
为等边三角形，
，
即的半径为．
故答案为：．
连接、，根据圆周角定理得，而，于是可判断为等边三角形，所以．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单，根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间．
【解答】
解：依题意，令得：
，
得，
解得舍去或，
即小球从飞出到落地所用的时间为．
故答案为．
17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
原式
．
【解析】方程利用配方法求出解即可；
原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂意义计算即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：，，，，
，
，
∽，
，
．
故CD的长为．
【解析】由，，，，，即可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
19.【答案】解：如图，即为所求；
，
线段扫过的图形面积．
【解析】根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可；
利用扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
20.【答案】解：点坐标为，
，
坐标为，
代入可求得；
由可知抛物线解析式为，，
函数的最大值为，
在抛物线，令，可得，
解得或，又二次函数开口向下，
当时，．
【解析】把、两点坐标代入抛物线解析式可求得、；
把二次函数化成顶点式可求得其最大值；
在抛物线中令，求得值，根据图象可得出的取值范围．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握二次函数顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用．
21.【答案】解：在中，，
，
在中，，
，
．
答：旗杆的度约为．
【解析】在中，利用正切函数求得，在中，利用正切函数求得，即可根据求得旗杆的高度．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
22.【答案】解：根据题意得：，
关于的函数表达式为；
由题意得：，
解得，
由知，，
，，
当时，有最大值，最大值为，
答：当时，苗圃的面积最大，最大值为平方米．
【解析】根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；
由函数的性质求函数的最值．
本题考查二次函数的应用，明确题意列出函数解析式是解答本题的关键．
23.【答案】解：是的直径，
，
．
又，
，
又，
，
即，
是的切线；
．
【解析】根据圆周角定理得到，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，进而得出结论；
由可得，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，，
∽，
，
即，
解得，．
本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
24.【答案】解：如图中，过点作于则，设．
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
当时，如图中，，
．
当时，如图中，
，，
，
在中，，
．
当点落在上时，如图中，由题意，，
，
，
，
当时，重叠部分是正方形，如图中，．
当时，重叠部分是五边形，如图中，，
在中，，
，
在中，，
．
当时，重叠部分是四边形，如图中，，
综上所述，．
【解析】如图中，过点作于则，设分两种情形：当时，如图中．当时，如图中，分别求解即可．
首先确定点落在上的时间，分三种情形：当时，重叠部分是正方形，如图中．当时，重叠部分是五边形，如图中．当时，重叠部分是四边形，如图中，分别求解即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25.【答案】证明：，
，
，，
，
，
．
解：如图，过点作，交于点，
，
∽，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】根据等角的补角相等证明即可．
如图，过点作，交于点证明∽，可得，因为，推出，，，再证明∽，可，求出即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
第1页，共1页