2023年河北省石家庄二十八中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若，则？是( )
A. B. C. D.
2. 如图，将折叠，使点落在边上处，展开后得到折痕，则是的( )
A. 高 B. 中线 C. 中位线 D. 角平分线
3. 下列式子的计算结果与的结果相等的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，五边形中，，、、是外角，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 如表所示的是琳琳作业中的一道题目，“”处都是但发生破损，琳琳查阅后发现本题答案为，则破损处“”的个数为( )
已知：，求的值．
A. B. C. D.
7. 依据所标数据，下列一定为矩形的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图是正方体的组合体，若将号小正方体重新放一个位置，移动前后的俯视图保持不变，则移动的位置有( )
A. 处
B. 处
C. 处
D. 处
9. 如果，那么代数式的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，边长为的正六边形螺帽，中心为点，垂直平分边，垂足为，，用扳手拧动螺帽旋转，则点在该过程中所经过的路径长为．( )
A. B. C. D.
11. 观察下列尺规作图的痕迹，不能判断是等腰三角形的是( )
A. B.
C. D.
12. 某商城推出免利息分期付款购买电脑的活动，在活动期间王先生要购买一款标价为元的电脑，前期付款元，后期每个月付相同的金额，设后期每个月付款金额为千元，付款月数为正整数，选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是( )
A. B.
C. D.
13. 某工程队在合作路改造一条长米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为( )
A. 实际每天比原计划多铺设米，结果延迟天完成
B. 实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成
C. 实际每天比原计划少铺设米，结果提前天完成
D. 实际每天比原计划少铺设米，结果延迟天完成
14. 如图，电路图上有个开关，，，和个小灯泡，同时闭合开关，或同时闭合开关，都可以使小灯泡发光同时闭合两个开关小灯泡发光的概率是( )
A. B. C. D.
15. 平行四边形的对角线分别为和，一边长为，则和的值可能是下面各组的数据中的( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
16. 如图，动点在线段上不与点，重合，分别以，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为，线段的长为当点从点移动到点时，随的变化而变化，则阴影面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）
17. 在甲、乙两位同学的次数学模拟竞赛成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则应选拔______ 同学参加数学竞赛填“甲”、“乙”中的一个
18. 如图，已知的面积为，点和点分别为边和边上的中点，分别连接、相交于点．
： ______ ；
的面积为______ ．
19. 如图，是等腰直角三角形，，，点为线段上一点以点为圆心作扇形，当扇形绕点旋转时，线段与交于点，线段与直线交于点．
当点为中点时，
若于点，则 ______ ；
若，则 ______ ；
若点为的三等分点，且，则，两点间的距离为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
已知，
若，，，求的值．
以下是佳佳同学的计算过程：
第一步
第二步
第三步
上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的值；
若，，，当为何值时，的值为．
21. 本小题分
某学校为了了解学生日常在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题：
某校学生在锻炼情况的扇形统计图： 组别 平均每日体育锻炼时间分 人数
本次调查共______ 人；
抽查结果中，组有______ 人；
在抽查得到的数据中，中位数位于______ 组填组别；
若该校共有学生人，则估计平均每日锻炼超过分钟的学生有多少人．
22. 本小题分
发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；
验证：连续整数，， ______ 填“满足”或“不满足”这种关系；
连续整数，，，______ 填“满足”或“不满足”这种关系；
延伸：设中间整数为
列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简；
再写出一组符合“发现”要求的连续整数直接写结果．
23. 本小题分
小明和小亮周末一起去公园锻炼两人同时从公园里的甲景点出发，沿相同路线到公园里的乙景点后再以原速度立即按原路返回小亮的步行速度是米分设小明行走的时间为分钟，如图为小明和小亮距乙景点的距离米和分钟之间的函数关系的部分图象．
甲、乙两景点的距离为______ 米，小明的步行速度为______ 米分；
求段的函数解析式，并直接写出小明第一次回到甲景点时对应的坐标；
在函数图象中画出小明、小亮在途中第一次相遇时的点，并通过计算说明第一次相遇所用的时间；
在小明从乙景点返回甲景点的途中，请直接写出小明和小亮之间的距离不超过米的时长．
24. 本小题分
如图，已知点、在直线上，且，于点，且，以为直径在的左侧作半圆，于，且向右沿直线平移得到，设平移距离为．
若的边经过点，则平移的距离 ______ ；
如图，若截半圆得到的的长为，求的度数；
当的边与半圆相切时，直接写出的值．
25. 本小题分
如图，已知抛物线：与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点．
若该抛物线过点，
求该抛物线的表达式，并求出此时、两点坐标；
将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为，点的对应点为，求点移动的最短距离；
点关于：的对称轴的对称点坐标为______ 用含的代数式表示；
将抛物线：上的一段图象记作，若与直线有唯一公共点，直接写出的取值范围______ ．
26. 本小题分
如图，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点参考数据：，，
面积的最大值是______ ；
当时，求点运动的路径长；
当点落在的垂直平分线上时，点到直线的距离是______ ；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
故？表示的数为，
故选：．
根据同底数幂相乘法则，逆推即可解答．
本题考查了同底数幂相乘的逆用，熟知计算法则是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：将折叠，使点落在边上处，展开后得到折痕，
，即是的高，
故选：．
根据折叠性质可知，，由三角形高的定义即可得到答案．
本题考查折叠性质及三角形高的定义，熟记相关性质及定义是解决问题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
原式变形得到结果，即可作出判断．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，故本选项正确，符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法，合并同类二次根式，二次根式的性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次根式的除法，合并同类二次根式，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：延长，，
，
．
多边形的外角和为，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质得出，再由多边形的外角和为即可得出结论．
本题考查的是多边形的外角与内角，熟知多边形的外角和等于是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：本题答案为，
，
又，
，
，
破损处“”的个数为．
故选：．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．
7.【答案】
【解析】解：、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故A不符合要求；
B、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故B不符合要求；
C、两个角是直角得出一组对边平行，且这组对边相等，是平行四边形，且有一个角是直角，故可得是矩形，符合题意；
D、两个角是直角的四边形不一定是矩形，故D不符合要求；
故选：．
根据矩形的判定即可得到答案．
本题主要考查矩形的判定，平行四边形的判定，掌握相关判定定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：该组合体的俯视图如图所示：
当号正方体放在图中的，，，，，五处时，俯视图保持不变；
故选：．
先确定该组合体的俯视图，再依次判断位置即可．
本题考查了常见组合体的俯视图，解题关键是理解俯视图的定义．
9.【答案】
【解析】解：
，
，
，
原式，
故选：．
先将所求式子去括号、合并同类项，将变成，再整体代入计算即可求解．
本题考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是把所求式子化简，变形后整体代入．
10.【答案】
【解析】解：连接，．
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点在该过程中所经过的路径长．
故选：．
利用正六边形的性质求出的长度，进而得到的长度，根据弧长公式进行计算即可．
本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：、根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形，不符合题意；
B、根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形，不符合题意；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，，，
根据角平分线的作法可知，，
，是等腰三角形，不符合题意；
D、不能判断是等腰三角形，符合题意，
故选：．
根据基本的作图方法，结合等腰三角形的判定，逐一进行判断，即可得到答案．
本题考查了作图复杂作图，等腰三角形的判定等知识，掌握基本作图方法是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，后期所需付款为元，
后期每个月付相同的金额，
，
即，
是的反比例函数，
故选：．
先求出后期所需付款为元，再根据后期每个月付相同的金额，可得答案．
本题考查了点的坐标以及反比例函数的应用，得出与的函数关系式是解答本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为
实际每天比原计划多铺设米，结果提前天完成．
故选：．
根据题意和题目中的方程，可以写出“”表示的缺失的条件．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容．
14.【答案】
【解析】解：画树状图得：
共有种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有种情况，
小灯泡发光的概率为，
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
根据三角形三边关系可得：，，
即：，，
然后代入数值，即可得符合要求．
故选：．
由平行四边形的两条对角线长分别是，，一边长为，根据平行线的性质与三角形三边关系，即可得，，然后验证即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质与三角形的三边关系，有一定的难度，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想应用．
16.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
阴影部分面积的最大值为，
故选：．
根据阴影部分的面积大半圆的面积减去两个小半圆的面积，列出与的函数解析式，把解析式画出顶点是即可求得函数的最大值．
本题考查扇形的面积，动点问题的函数图象和性质，关键是求出函数解析式．
17.【答案】乙
【解析】解：两组数据，平均数相同的情况下，方差小的稳定性强，应选乙；
故答案为：乙．
根据方差所代表的数据特性处理．
本题考查方差所代表的数据特征；理解方差代表的统计数据特征是解题的关键．
18.【答案】：
【解析】解：点和点分别为边和边上的中点，
是的中位线，
，，
，，
∽，
，
即：：，
故答案为：：；
的面积为，点为边上的中点，
，
由知：：，
：：，
即，
，
故答案为：．
先得出是的中位线，再根据三角形中位线定理得出，，于是可证得∽，根据相似三角形对应边成比例即可求出：的值；
根据的面积为，点为边上的中点，得出的面积为，再结合中的结论得出：：，而和的高相同，所以，于是可以求出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的面积的求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图，是等腰直角三角形，点是的中点，
，，，
，
与重合，
，
，
又，，
，
故答案为：；
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：；
由可知，∽，
，
是的三等分点，
或，
或，
，
无论或，的值不变，
即，
，
，，
，
即，两点间的距离为，
故答案为：．
当点为中点时，可知与重合，则；
利用∽，得，可得的长；
根据点为的三等分点知，或，则或，求出的长，再利用勾股定理求出即可．
本题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明∽是解题的关键．
20.【答案】解：第一步，
；
当，，时，
，
解得：．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，开平方，按照计算法则计算即可解答；
列方程，解出即可解答．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，开平方，解一元一次方程，熟知计算法则是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：人，即本次调查共人，
故答案为：．
抽查结果中，组有人，
故答案为：．
个数据按照从小到大排列后，处在中间的两个数位于组，
在抽查得到的数据中，中位数位于组，
故答案为：．
人，
答：平均每日锻炼超过分钟的学生有人．
利用组的人数除以对应的百分比即可求得答案；
用总人数减去、、三个组的人数即可得到组的人数；
根据中位数的求法即可判断中位数所在小组；
用全校总人数乘以被调查人数中平均每日锻炼超过分钟的学生的占比，即可得到答案．
此题考查了扇形统计图和统计表，读懂题意计算正确列出算式是解题的关键．
22.【答案】满足 不满足
【解析】解：验证：，，
，
，，满足这种关系；
，，，
，
，，不满足这种关系．
故答案为：满足；不满足；
延伸：设中间整数为，则三个连续整数可表示为：，，，
三个连续整数的和可表示为：，
三个连续整数的积可表示为：，
当时，
解得：，或，
符合要求的一组连续整数为：，，．
先分别计算和的值，比较两组值是否相等；再分别计算和的值，比较两组值是否相等即可；
设中间整数为，则三个连续整数可表示为：，，，将，，三数相加得其和；将，，三数相乘得其积；
令中的和等于积，解方程，求得的值，从而可得符合要求的连续整数．
本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：小亮的步行速度是米分，分钟从甲景点到乙景点，
甲、乙两景点的距离为米；
小明分钟从甲景点到乙景点，
小明的步行速度为米分，
故答案为：，；
由得，
设段函数表达式为，把，代入得：
，
解得：
段函数解析式为，
由题图可知小明到乙景点所用时间为分钟，
匀速步行，甲乙两地距离为米，
小明第一次回到甲景点时对应的坐标为；
画出函数图象如图：
由，得的函数解析式为，
由，得的函数解析式为，
联立方程组得，
解得：，
小明和小亮第一次相遇所用的时间为分钟；
由知，小亮从乙景点返回甲景点的途中，，小明从乙景点返回甲景点的途中，，
当小明在小亮前面米时，，
解得，
时，小明和小亮之间的距离不超过米；
当小明到达甲景点后，小亮在距甲景点米及以内，小明和小亮之间的距离不超过米，
分，
此时的时长为分；
，
在小明从乙景点返回甲景点的途中，小明和小亮之间的距离不超过米的时长分钟．
由小亮的步行速度是米分，分钟从甲景点到乙景点，可得两景点的距离为米；用路程除以时间可得小明的步行速度为米分；
用待定系数法可得段函数解析式为，由小明到乙景点所用时间为分钟，可得小明第一次回到甲景点时对应的坐标为；
按题意画出图象，求得的函数解析式为，的函数解析式为，联立解析式可解得小明和小亮第一次相遇所用的时间为分钟；
分两种情况：当小明在小亮前面米时，，当小明到达甲景点后，小亮在距甲景点米及以内，小明和小亮之间的距离不超过米，此时的时长为分；把两段时长相加即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
24.【答案】
【解析】解：如图，
于点，
，
，
，
，
，
平移的距离，
故答案为：；
连接、、，如图所示：
则半圆的半径，
设，
截半圆的的长为，
，
解得：，
，
，
是等边三角形，
．
，
，
，
，
答：的度数为；
分两种情况：当半圆与相切时，如图所示：
，
是半圆的切线，
，，
，
；
当半圆与相切时，如图所示：
则，
，
，
，
如图所示，
，
，
，
；
综上所述，当半圆与的边相切时，的值为或．
根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义即可得到结论；
连接、、，则半圆的半径，由弧长公式求出，得出是等边三角形，证出，得出，求出，由等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，再由圆内接四边形的性质即可得出结果；
分两种情况：当半圆与相切时，由切线长定理得出，由直角三角形的性质得出，得出平移距离；当半圆与相切时，由切线长定理和弦切角定理得出，由直角三角形的性质得出，即可得出平移距离．
本题是圆的综合题目，考查了切线的性质与判定、弧长公式、切线长定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
25.【答案】 或
【解析】解：将代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
，；
将向上平移个单位可以得到，
点向上平移最短距离是两个单位得；
当时，，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
故答案为：；
当有唯一实数根时，，
解得，此时图象与抛物线有唯一公共点；
当抛物线经过时，，此时图象与抛物线有两个公共点，
当抛物线经过时，，此时图象与抛物线有一个公共点，
时，图象与抛物线有唯一公共点；
综上所述：或时，图象与抛物线有唯一公共点；
故答案为：或．
将代入，求出的值即可确定函数解析式；
根据平移的性质可得点向上平移最短距离是两个单位得；
先求点坐标，再求抛物线的对称轴为直线，则点关于对称轴的对称点为，
当有唯一实数根时，，此时图象与抛物线有唯一公共点；当抛物线经过时，，此时图象与抛物线有两个公共点，当抛物线经过时，，此时图象与抛物线有一个公共点，结合图象可知时，图象与抛物线有唯一公共点．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：如图所示，的运动轨迹，过点作，
由图可知，当落在边上时，最长，即面积最大，此时，
，
由旋转性质可得：，
此时是等腰直角三角形，，
．
故答案为：；
当时，点在边上，
是矩形，
，
，
，
，
点运动的路径长是：；
点落在的垂直平分线上，如图所示，
，
由旋转性质可得：，
点落在的垂直平分线上，
，
，
，
，
．
即点到直线的距离是．
故答案为：；
解：当点在上时，如图所示，
，，，
，
由旋转性质可得：，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
过作于点，
，，
；
当点在上时，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
即，
，
过作于点，
，
∽，
，即，
，，
，
；
的值为或．
当落在边上时，面积最大，此时是等腰直角三角形，即可求解；
先求出，即可求出，用弧长公式求解即可；
根据题意画出图形，用勾股定理求出即可求解；
分两种情况讨论：当点在上；点在上．解直角三角形求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、作辅助线、勾股定理等，熟练掌握知识点是解题关键．
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