2022-2023学年江苏省镇江市重点中学高一（下）期中数学试卷
1. 等于( )
A. B. C. D.
2. 复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列各式中，值为的是( )
A. B.
C. D.
4. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在中，若，则的形状一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形
6. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7. 函数，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8. 在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，若，则余弦值的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的是( )
A. 圆台的任意两条母线延长后一定交于一点
B. 空间中没有公共点的两条直线一定平行
C. 过一个点以及一条直线可以确定唯一一个平面
D. 若直线和平面满足，那么平面内有无数条直线与直线平行
10. 已知向量、、是三个非零向量，下列说法正确的有( )
A. 若，则与共线且反向
B. 若，，则
C. 向量、、是三个非零向量，若，则
D. 若，则
11. 若，是方程的两个虚数根，则( )
A. 的取值范围为 B. 的共轭复数是
C. D. 为纯虚数
12. 在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半为，满足，的面积，则( )
A. B.
C. D.
13. 若，则 ______ ．
14. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线与的位置关系为______ ．
15. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则 ______ ．
16. 如图，在中，，圆为单位圆．
若点在圆上，，则 ______ ．
若点在与圆的公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为______ ．
17. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为．
若为纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
18. 已知，向量与的夹角．
若，求的值；
求．
19. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面．
20. 已知函数，向量，，在锐角中内角，，的对边分别为，，．
若，求角的大小；
在的条件下，，求的取值范围．
21. 老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成个功能区：区域规划为枇杷林和放养走地鸡，区域规划为民宿供游客住宿及餐饮，区域规划为鱼塘养鱼供垂钓为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏，已知，，，．
若，求护栏的长度即的周长；
若鱼塘的面积是民宿面积的倍，求．
22. 在锐角中，角，，所对的边分别是，，，已知，．
求角；
若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
若是中上的一点，且满足，求：的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用向量的加法、减法法则求解．
本题主要考查了向量的加法、减法运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题得，
即复平面内对应的点为，在第一象限．
故选：．
根据复数运算及复数的几何意义即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，，符合；
对于，，不符合；
对于，，符合；
对于，，不符合．
故选：．
利用和差角的余弦公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答．
本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：设原图形的四边形为，
则根据斜二测法规则及题意可知：
原图形中，，
又原图形中，
原图形中，
原图形的周长是．
故选：．
根据斜二测法规则，即可求解．
本题考查根据斜二测法规则，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：已知：
利用正弦定理：
解得：
所以：或
解得：或
所以：的形状一定是等腰或直角三角形
故选：．
首先利用正弦定理求得，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于基础题型．
6.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接，，，
在正方体中，，分别为，的中点，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以，所以或其补角为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，
则，
，
，
在中，由余弦定理得：
，
故异面直线与所成角的余弦值是．
故选：．
正方体模型容易找平行线，通过构造平行四边形，运用平行线平移法作出异面直线所成的角，然后在三角形通过余弦定理求解．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
函数的最大值为，最小值为，
，
在，出取得最大值和最小值，
设在处有最大值，则，在处有最小值，则，
则，，，
的最小值为．
故选：．
利用倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可．
本题考查三角函数的最值，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：如图：
，，，分别是和的中点，且，，
，
，
由，可得，
，
，
当且仅当，即时取等号，
余弦值的最小值为．
故选：．
根据向量加法和数乘的几何意义可得出，，根据可得出，从而得，然后将表示出来，根据基本不等式即可求出最小值．
本题考查平面向量基本定理，平面向量夹角和数量积的运算，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：由圆台的定义可知，圆台的任意两条母线延长后一定交于一点，故A正确；
空间中没有公共点的两条直线平行或异面，故B错误；
过一个点以及不过该点的一条直线可以确定唯一一个平面，故C错误；
若直线和平面满足，那么平面内有无数条直线与直线平行，故D正确．
故选：．
由圆台的结构特征判定；由空间中两直线的位置关系判定；由公理的推论判断；由直线与平面平行的性质判断．
本题考查圆台的结构特征，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由两边同时平方可得：，
即，即，
、都是非零向量，，
，，即与共线且反向，故A正确；
对于，、、是三个非零向量，且，
则存在非零实数、，使得，，则，，故B正确；
对于，向量、、是三个非零向量，
若，则，
或，即或，故C错误；
对于，，两边同时平方有：，
，整理可得，
、都是非零向量，，故D正确．
故选：．
利用平面向量数量积的运算性质可判断选项；
利用平面向量共线的基本定理可判断选项；
利用平面向量垂直的数量即表示可判断选项．
本题考查平面向量的数量积运算和平行与垂直的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，是方程的两个虚数根，，，
方程的两个虚数根为，
不妨取，，
对于，，故A错误；
对于，和互为共轭复数，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，，为纯虚数，故D正确．
故选：．
求出复数的根，，再逐一判断选项即可．
本题考查复数的四则运算，共轭复数、一元二次方程的虚根问题等知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：内切圆半为，满足的面积，
所以，整理得；
满足，
所以，
整理得．
故选：．
直接利用三角形的面积公式和正弦定理及三角函数关系式的变换的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角形的面积公式，正弦定理和三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法求值作答．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
14.【答案】异面
【解析】解：如图得到正方体的直观图，
则在正方体中直线与的位置关系为异面．
故答案为：异面．
利用题给正方体的平面展开图，还原得到正方体的直观图，即可得到在正方体中直线与的位置关系．
本题考查空间中直线与直线的位置关系判断，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：将利用正弦定理化简得：，
代入得，即，
由余弦定理得：，
为三角形的内角，
．
故答案为：．
已知利用正弦定理化简，代入第一个等式用表示出，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的与代入求出的值，即可确定出的度数．
此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：在中，，，，，
则，
即；
法一：，
因为，所以，
故的取值范围为．
法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，
设，，，
所以，，
则，
，则，，，
即．
故答案为：；．
根据结合的运算律即可求出；
法一：根据，结合余弦函数的性质即可得解
法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，设，再根据数量积的坐标运算结合三角函数的性质即可得解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题，
则，
由为纯虚数，
得，
解得：．
，
在复平面内的对应点在第四象限，
则，即，
解得：，
即的取值范围是
【解析】由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得的值；
计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得的取值范围．
本题考查了复数的有关概念，考查复数的几何意义以及转化思想，是基础题．
18.【答案】解：由题意可得：，
若，则，
所以．
因为，
所以．
【解析】根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解；
根据模长公式结合数量积的运算律运算求解．
本题考查向量数量积的运算，化归转化思想，属基础题．
19.【答案】证明：在四棱锥中，平面，
平面，
平面平面，
．
取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
【解析】根据线面平行的性质定理即可证明；
取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．
本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
20.【答案】解：
，
，
；
由正弦定理得：
，
，，
在锐角三角形中，，
，
，
，
，
，
的取值范围为．
【解析】由数量积得到即得，结合为锐角，可得；
利用正弦定理把，化为角，再进一步利用三角公式化为，结合的范围求解即可．
此题考查了数量积，三角函数求值，三角变换等，难度适中．
21.【答案】解：在中，因为，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
所以，即，
在中，，
所以护栏的长度为．
因为鱼塘的面积是民宿面积的倍，
所以，
设，则，，
在中，由正弦定理得，，所以，
在中，由正弦定理得，，所以，
所以，即，
因为，所以，即，
故．
【解析】在中，由余弦定理可得，进而可证，再由三角函数的知识求得和的长，即可；
易知，设，在、中，分别运用正弦定理，用含的式子表示出和，再运算求解，即可．
本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：，，
由正弦定理得，
即，
，
，又，，，
又，；
点是内的一动点，，
，，
由余弦定理可知，，，
由基本不等式可得，即，，
，当且仅当时等号成立，
；
，，，
又余弦函数在上单调递减，，即平分，
又，，，
又，，，
由可得，所以，
，
又，且为锐角三角形，，
，，
．
【解析】利用正弦定理边化角以及三角恒等变形即可求解；
先利用向量的线性运算得，进而可得，再利用余弦定理以及基本不等式即可求解；
由，可知平分，利用三角形面积公式可得，最后利用正弦定理及三角恒等变形即可求解．
本题考查了正余弦定理的应用，涉及基本不等式，向量的数量积，正切函数的最值，属于难题．
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